Силу веса груза мы не учитываем, так как она уравновешивается упругой силой пружины, а весом самой пружины пренебрегаем.
Для составления дифференциального уравнения движения груза воспользуемся вторым законом Ньютона:
Здесь а — вектор ускорения и 
- сумма действующих на материальную точку сил.
В нашем случае на материальную точку (груз) действуют две силы 
направленные вдоль оси 
Проектируя векторы, стоящие в обеих частях равенства (73), на ось 
и замечая, что проекция вектора ускорения а на ось 
равна 
получаем искомое дифференциальное уравнение
или
Уравнение (74) является уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и называется уравнением свободных колебаний.
Если на груз, кроме того, действует внешняя «возмущающая» сила, направленная вдоль оси Оу, величина которой 
есть заданная функция времени t, то уравнение (74) принимает вид
и называется уравнением вынужденных колебаний.
Разделив обе части уравнения (75) на 
и введя обозначения
получим уравнение вынужденных колебаний в следующей окончательной форме
Уравнение (76) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения.
1) Пусть отсутствуют сопротивление среды 
и внешняя возмущающая сила 
. В этом случае уравнение (76) примет вид
Уравнение (77) является уравнением свободных колебаний груза при отсутствии сопротивления среды. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
и общее решение уравнения (77) запишется в форме
Введем вместо произвольных постоянных 
новые произвольные постоянные 
связанные с постоянными 
соотношениями
Отсюда 
выражаются следующим образом:
Подставляя выражения 
в равенство (78), получим
Итак, общее решение уравнения (77) можно представить в виде
Эта формула показывает, что груз совершает простое периодическое движение, которое называется гармоническим колебанием. Период колебания 
(см. гл. XI, § 6, п. 1). Величина со называется собственной частотой колебания. Величина N представляет собой наибольшее отклонение груза от положения равновесия и называется амплитудой колебания; 
называется начальной фазой.
2) Пусть теперь имеет место сопротивление среды 
но по-прежнему отсутствует внешняя возмущающая сила 
. В этом случае уравнение (76) имеет вид
Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
Рассмотрим практически наиболее интересный случай малого сопротивления, когда 
. В этом случае корни будут комплексными: 
, где 
. Общее решение уравнения (79) имеет вид
Отсюда видно, что груз будет совершать колебания, амплитуда которых 
стремится к нулю при 
Такие колебания называются затухающими.
Заметим, что при 
корни характеристического уравнения будут действительными и различными. Общее решение уравнения (79) в этом случае имеет вид
В этом случае груз, не совершая колебаний, приближается к положению равновесия (при 
). Это же обстоятельство имеет место и при 
3) Рассмотрим теперь случай, когда сопротивление среды отсутствует 
но на груз действует внешняя периодическая возмущающая сила 
. В этом случае уравнение движения (76) примет вид
Общее решение этого уравнения, как известно, есть сумма частного решения у неоднородного уравнения (80) и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (77)
Общее решение уравнения (77) было найдено выше и имело вид
Найдем теперь частное решение уравнения (80).
Допустим сначала, что частота (А внешней периодической возмущающей силы отлична от собственной частоты колебаний со. Так как в этом случае 
не является корнем характеристического уравнения 
, то согласно правилу п. 2 этого параграфа частное решение у следует искать в форме
Дифференцируя у два раза и подставляя выражения для у и в уравнение (80), найдем выражение для коэффициентов А и В:
Таким образом, частное решение уравнения (80) будет иметь вид
а общее решение этого уравнения
Из формул (81) следует, что если частота 
внешней возмущающей силы близка к собственной частоте колебаний пружины и, то разность 
близка к нулю и амплитуда колебания резко возрастает.
Если же частота 
внешней возмущающей силы совпадает с собственной частотой 
то формула (81) становится неприменимой.
Так как при этом 
является корнем характеристического уравнения 
, то согласно правилу п. 2 частное решение уравнения (80) в этом случае следует искать в форме
Подставляя у и в уравнение (80) и учитывая, что 
найдем значения коэффициентов А и В:
Поэтому частное решение у будет иметь вид
Общее решение уравнения (80) запишется следующим образом:
Наличие множителя t во втором члене указывает на то, что амплитуда колебания с течением времени неограниченно возрастает.
График функции 
изображен на рис. 277 для случая 
.
В этом случае говорят, что имеет место резонанс. Итак, резонанс при колебательном движении наступает в том случае, если собственная частота колебаний совпадает с частотой внешней силы.
Рис. 277
Рис. 278
К линейным дифференциальным уравнениям второго порядка приводят также явления, связанные с изменением силы тока в цепи.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из омического сопротивления 
, самоиндукции L, емкости С, к которой подключен источник электродвижущей силы, изменяющейся с течением времени по известному закону: 
(рис. 278). Определим, как изменяется сила тока в цепи 
в зависимости от времени t. Обозначим через 
падения напряжения соответственно на участках 
цепи.
Так как в замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения равна электродвижущей силе, то
Из физики известно, что 
— (закон Ома),
Поэтому
Дифференцируя 
обе части последнего равенства, получим
или
Таким образом, искомая сила тока 
в цепи является решением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Если внешняя электродвижущая сила U постоянна (в частности равна нулю), то 
и мы приходим к линейному дифференциальному уравнению без правой части
подвешенная к концу пружины, движется по вертикальной прямой. Требуется определить закон движения груза.
направим вертикально вниз по прямой, вдоль которой движется груз. Положение груза в произвольный момент времени t определяется отклонением у груза от начала координат (рис. 276). Для нахождения закона движения груза надо определить зависимость отклонения у от времени 
стремящаяся вернуть груз в начальное положение. Сила 
направлена вдоль оси 
и ее проекция на эту ось пропорциональна отклонению груза от положения равновесия: 
Знак «минус» в выражении проекции силы 
указывает на то, что восстанавливающая сила направлена в сторону, противоположную деформации пружины.
среды, в которой находится пружина с грузом, направлена противоположно вектору скорости движения груза. Величина силы 
как показывает опыт, пропорциональна величине скорости v груза. Поэтому проекция силы 
на ось 
запишется в виде 
