4. Формула Остроградского — Грина
Рассмотрим на плоскости Оху область а, ограниченную кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям, не более чем в двух точках (рис. 256). Пусть далее 
функции, непрерывные вместе со своими частными производными 
в области 
. Тогда имеет место следующая формула, называемая формулой Остроградского—Грина:
где двойной интеграл берется по области а, а криволинейный интеграл — вдоль замкнутого контура L, ограничивающего область 
Рис. 256
При этом контур L проходится в положительном направлении, т. е. при движении вдоль него область а остается слева (см. рис. 256). Для вывода этой формулы рассмотрим вначале двойной интеграл
Пусть 
(
- уравнение дуги 
) — уравнение дуги 
(см. рис. 256). Тогда по правилу вычисления двойного интеграла получим
Так как 
при постоянном 
есть одна из первообразных для 
, то
Поэтому
Интеграл 
как это следует из формулы (46) предыдущего пункта, равен криволинейному интегралу 
вдоль
Аналогично
Следовательно,
Изменив направление вдоль дуги 
на противоположное по свойству 1 криволинейного интеграла, имеем
Поэтому
Так как дуги 
дают в совокупности границу L области а, проходимую в положительном направлении, то, принимая во внимание свойство аддитивности, получим
Следовательно,
Аналогично доказывается, что
Вычитая почленно из равенства (48) равенство (47), получим формулу Остроградского—Грина
Эта формула выведена в предположении, что контур L пересекается прямыми, параллельными осями координат, не более чем в двух точках, однако, как можно показать, она остается справедливой, когда это условие не выполнено (например, для области а, изображенной на рис. 234).
Применим формулу Остроградского—Грина к вычислению площади плоской области с помощью криволинейного интеграла. Рассмотрим функции 
. Так как 
то, применяя формулу Остроградского—Грина, получим
или
Но интеграл 
численно равен площади области а. Поэтому окончательно имеем
Аналогично, полагая 
можно получить еще одну формулу для вычисления площади области с помощью криволинейного интеграла:
Эти формулы дают возможность с помощью криволинейного интеграла подсчитать площадь плоской области 
.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом, заданным параметрическими уравнениями
Решение. Если обходить эллипс в положительном направлении, то параметр t изменяется от 0 до 
Применяя формулу (49) и правила вычисления криволинейного интеграла, получим
