§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
1. Векторное поле
В гл. IX, § 7 было введено понятие скалярного поля и изучены его основные свойства. Однако во многих вопросах приходится иметь дело с векторными полями.
Определение. Векторным полем называется область пространства или плоскости, каждой точке М которой поставлен в соответствие вектор 
.
Проекции Р, Q и R вектора 
на координатные оси являются функциями координат точки М:
Таким образом,
В частности, если поле задано на плоскости, то
В качестве примера векторного поля рассмотрим поле сил тяготения. Если в начале координат помещена масса 
, то эта масса создает поле сил тяготения, так как в каждой точке М пространства на помещенную в ней единичную массу действует сила, равная по величине, согласно закону Ньютона, и направленная к началу координат. Здесь 
— постоянная тяготения.
Следовательно,
где 
— единичный вектор 
(рис. 254).
Рис. 254
Пусть 
— координаты точки М. Тогда
Следовательно,
Здесь
