Проекцию вектора АВ на ось l будем обозначать следующим образом: 
Рассмотрим некоторые основные теоремы о проекциях.
Рис. 66
Теорема 1, Проекция вектора а на ось l равна модулю вектора а, умноженному на косинус угла 
между вектором и осью:
Доказательство. Проекция вектора 
не изменится при любом его переносе параллельно самому себе, так как при этом 
изменяются на одно и то же число.
Рис. 67
Рис. 68
Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом 0 оси l (рис. 67). Так как координата начала равна нулю, то
где 
— координата проекции конца вектора. По определению косинуса 
откуда
или
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть 
(рис. 68). Обозначим через 
координаты проекций 
на ось l точек А, В и С.
Тогда
Но
Теорема доказана.
Замечание. Эту теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
Теорема 3. Если вектор а умножается на число 
, то его проекция на ось также умнооюается на это число:
(48)
Доказательство. Прежде всего заметим, что если вектор составляет с осью угол 
и число 
, то вектор 
имеет то же направление, что и вектор а, и составляет с осью также угол 
. Если же 
, то направление вектора А, а противоположно направлению вектора а и вектор 
составляет с осью угол 
. На основании теоремы 1 имеем:
Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.
Доказательство предоставляем читателю.
Определение. Произведение проекции вектора на ось l на единичный вектор 1° этой оси называется составляющей вектора а по оси 
Обозначив эту составляющую символом 
по определению получим
или
где 
— координаты проекций 
на ось l соответственно начала А и конца В вектора а - АВ.
Нетрудно заметить, что
В самом деле, модули обоих векторов равны расстоянию между точками 
Направлены эти векторы также одинаково, так как направление каждого из них либо совпадает с положительным направлением оси l (если 
) либо противоположно ему (если 
)
Таким образом, составляющая вектора по оси есть вектор, соединяющий проекцию начала вектора с проекцией его конца.
-некоторая ось, а АВ — вектор, произвольно расположенные в пространстве. Обозначим через 
проекции на ось 
соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 65). Предположим, что 
имеет координату 
— координату 
на оси 
между координатами проекций конца и начала вектора АВ на ось l называется проекцией вектора А В на эту ось.
и проекция 
положительна; если угол между осью 
и вектором АВ — тупой, то 
и проекция 
отрицательна. Наконец, если вектор АВ перпендикулярен оси l, то 
и проекция 
равна нулю (рис. 66).
