4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби

Выше (см. п. 2) мы видели, что интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Мы сейчас выясним, каким образом всякая правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие дроби. При разложении правильной рациональной дроби на простейшие дроби существенное значение имеет разложение знаменателя дроби на произведение линейных и квадратных множителей (см. п. 1).

Пусть для определенности знаменатель разлагается на множители следующим образом:

где квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Тогда имеет место следующая теорема, которую приводим без доказательства.

Теорема. Правильную рациональную дробь , где можно единственным образом разложить в сумму простейших дробей:

где - действительные числа

Из формулы (14) видим, что линейным множителям знаменателя соответствуют простейшие дроби I и II типа, а квадратным множителям соответствуют простейшие дроби III и IV типа. При этом число простейших дробей, соответствующих данному множителю (линейному или квадратному), равно степени, с которой этот множитель входит в разложение знаменателя дроби на множители. Правило разложения правильной рациональной дроби остается справедливой при любом конечном числе линейных и квадратных множителей, входящих в разложение знаменателя