6. Сложные функции. Элементарные функции

До сих пор речь шла о функциях, аргумент которых являлся независимой переменной. Однако во многих случаях приходится рассматривать функции, аргумент которых в свою очередь является функцией новой переменной.

Рассмотрим функцию , аргумент и которой является функцией переменной

Тогда переменная у также будет функцией х. Эта функция называется сложной функцией или функцией от функции. Она обозначается следующим образом:

Переменная и называется промежуточным аргументом сложной функции.

Например, если , то у есть сложная функция .

При определении сложной функции мы предполагали, что у есть функция от u. Следовательно, и принимает лишь такие значения, для которых функция определена. Но тогда и значения надо брать лишь такие, для которых соответствующие значения и входят в область определения функции . Например, сложная функция определяется лишь для тех значений для которых так как логарифмическая функция определена лишь для положительных значений ее аргумента.

Пользуясь понятием сложной функции, можно дать определение элементарной функции.

Определение. Элементарной функцией называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и операций взятия функции от функции, последовательно примененных конечное число раз.

Основные элементарные функции также относятся к классу элементарных функций. В нашем курсе мы, за редкими исключениями, будем рассматривать именно элементарные функции.

Примерами элементарных функций могут служить функции

С некоторыми неэлементарными функциями читатель встретится, например, в гл. VII, § 6, п. 2.