2. Непрерывность функции нескольких переменных
Понятие непрерывности функции нескольких переменных устанавливается с помощью понятия предела.
Определение. Функция нескольких переменных и 
называется непрерывной в точке 
если
Заметим, что функция f(Р), непрерывная в точке 
должна быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка 
в которой функция нескольких переменных 
непрерывна, называется точкой непрерывности этой функции.
Для непрерывных функций справедлива следующая теорема.
Теорема. Если функции 
переменных 
и (Р) непрерывны в точке 
то в той же точке будут непрерывными и их сумма 
разность 
и произведение 
; если, кроме того, 
, то частное также непрерывно в точке 
Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно аналогично доказательству соответствующей теоремы для функций одной переменной (см. гл. V, § 2, п. 2).
На основании приведенной теоремы легко установить непрерывность многих функций, например непрерывность многочлена относительно двух независимых переменных в любой точке плоскости 
непрерывность рациональной функции во всех точках плоскости, в которых знаменатель не обращается в нуль.
