Так, например, рассмотрим криволинейный интеграл
и две точки 
. Вычислим этот интеграл, во-первых, вдоль отрезка прямой 
, соединяющей точки А и В, и, во-вторых, вдоль дуги 
параболы 
соединяющей эти же точки. Применяя правила вычисления криволинейного интеграла, найдем
а) вдоль отрезка 
б) вдоль дуги 
параболы:
Таким образом, мы видим, что значения криволинейного интеграла 
зависят от пути интегрирования, т. е. зависят от вида линии, соединяющей точки А и В. Наоборот, как нетрудно проверить, криволинейный интеграл 
вдоль тех же линий 
, соединяющих точки 
дает одно и то же значение, равное 
.
Разобранные примеры показывают, что криволинейные интегралы, вычисленные по различным путям, соединяющим две данные точки, в одних случаях различны между собой, а в других случаях принимают одно и то же значение.
Пусть А и В — две произвольные точки области G. Рассмотрим различные кривые, лежащие в области G и соединяющие точки А и В.
Если криволинейный интеграл 
по любому из этих путей принимает одно и то же значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования.
В следующих двух теоремах приводятся условия, при которых криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования.
Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл 
в некоторой области G не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.
Доказательство. Достаточность.
Пусть интеграл 
по любому замкнутому контуру, проведенному в области G, равен нулю. Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. В самом деле, пусть А и В две точки, принадлежащие области G. Соединим эти точки двумя различными, произвольно выбранными кривыми 
лежащими в области G (рис. 257).
Рис. 257
Покажем, что дуги 
образуют замкнутый контур 
Учитывая свойства криволинейных интегралов, получим
так как 
. Но по условию 
как интеграл по замкнутому контуру.
Следовательно, 
или 
Таким образом, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Необходимость. Пусть в области G криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю. В самом деле, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, и возьмем на нем две произвольные точки А я В (см. рис. 257). Тогда
так как по условию 
. Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю.
Следующая теорема дает удобные для практического использования условия, при соблюдении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Теорема 2.
Для того чтобы криволинейный интеграл 
не зависел от пути интегрирования в односвязной области 
необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие
Доказательство. Достаточность. Пусть в области 
Покажем, что криволинейный интеграл 
по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю. Рассмотрим площадку а, ограниченную контуром L. В силу односвязности области G площадка а целиком принадлежит этой области. На основании формулы Остроградского—Грина 
частности, на площадке 
Поэтому а следовательно, 
. Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L в области G равен нулю. На основании теоремы 1 заключаем, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Необходимость. Пусть криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования в некоторой области Q. Покажем, что во всех точках области 
Предположим противное, т. е. что в некоторой точке 
области 
Пусть для определенности 
. В силу предположения о непрерывности частных производных 
и разность 
будет непрерывной функцией. Следовательно, около точки 
можно описать круг а (лежащий в области G), во всех точках которого, как и в точке 
разность будет положительной. Применим к кругу формулу Остроградского-Грина:
где 
- граница круга 
. Так как во всех точках круга а 
, то на основании свойства двойного интеграла 
Следовательно, 
Итак, криволинейный интеграл, взятый по границе L круга а, не равен нулю. Это противоречит тому, что по условию интеграл не зависит от пути интегрирования. Полученное противоречие доказывает, что во всех точках области G имеет место равенство 
Пример 1, Криволинейный интеграл 
не зависит от пути интегрирования, так как для него выполняются условия теоремы 2. Действительно, здесь 
и, следовательно,
Пример 2. Рассмотрим криволинейный интеграл 
Выше мы уже видели, что этот интеграл зависит от пути интегрирования (см. стр. 484). Это подтверждается и доказанной теоремой. Здесь
. В дальнейшем мы будем предполагать, что функции Р и Q непрерывны вместе со своими производными 
и в некоторой области О плоскости 
Эти точки можно соединить различными линиями, лежащими в области 
вдоль которых значения криволинейного интеграла 
вообще говоря, различны.
