2. Числовые ряды с комплексными членами

Рассмотрим последовательность, члены которой являются комплексными числами

Обобщим понятие предела последовательности для данного случая.

Комплексное число называется пределом последовательности если каково бы ни было положительное число , найдется такое натуральное число N, что для всех натуральных чисел выполняется неравенство

Так как , то

Но выражение равно расстоянию между точками т. е. между точками и , следовательно, точки неограниченно приближаются к точке с с возрастанием п. Пусть дан ряд, членами которого являются комплексные числа

Если существует предел частичной суммы ряда при ряд (106) называется сходящимся, а предел его суммой; если частичная сумма не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Имеет место теорема, которую мы приведем без доказательства. Теорема. Пусть дан ряд с комплексными членами

если ряд, составленный из модулей членов данного ряда

сходится, то данный ряд также сходится.

Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами обладают теми же свойствами, что и абсолютно сходящиеся ряды с действительными членами.