или
Следовательно,
Таким образом,
3. Производная показательной функции 
Давая приращение 
произвольно выбранному значению аргумента 
получим следующее приращение показательной функции:
Следовательно,
так как 
(см. гл. V, § 2, п. 2, пример 3).
Таким образом,
В частности, при 
получим
так как 
4. Производная логарифмической функции 
Возьмем любое значение 
из области определения логарифмической функции и дадим ему приращение 
Тогда приращение функции
Поэтому
Для того чтобы найти этот предел, сделаем следующее преобразование:
Принимая во внимание, что величина 
постоянна и что при 
также и 
по формуле (25) гл. V, § 2 получим
Итак,
(19)
или
так как
В частности, при 
получим
так как 
5. Производные функций 
Пусть 
— приращение произвольно выбранного значения аргумента 
функции 
Тогда приращение этой функции
Следовательно,
так как по формуле (18) гл. V, § 1, п. 7
Таким образом,
Аналогично выводится формула для производной функции 
Рекомендуем читателю вывести формулу (22) самостоятельно.
степенной функции 
с натуральным показателем 
, показательной функции 
логарифмической функции 
и тригонометрических функций 
.
Так как функция 
сохраняет постоянное значение на всей числовой оси, то в произвольно выбранной точке 
любому приращению аргумента 
соответствует приращение функции 
, равное нулю. Поэтому
с натуральным показателем 
. Пусть х — произвольно выбранная точка, 
-приращение аргумента в этой точке и 
— соответствующее приращение данной функции. Тогда по формуле бинома Ньютона
