2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных

Пусть графическим методом найдено, что корень уравнения (100) лежит внутри сегмента . Этот сегмент выбирается настолько малым, чтобы выполнялись следующие три условия:

а) на концах сегмента функция имела значения разных знаков;

б) на сегменте производная сохраняла постоянный знак;

в) на сегменте вторая производная сохраняла постоянный знак.

Если на сегменте выполнены эти три условия, то график функции имеет один из четырех видов, изображенных на рис. 165.

(см. скан)

Рис. 165

Метод хорд и касательных ваключается в следующем: проведем сперва хорду АВ (рис. 166) и найдем абсциссу точки пересечения хорды с осью Ох.

Для этого составим уравнение прямой, проходящей через точки

Точка пересечения хорды с осью имеет координаты . Подставляя эти значения в уравнение хорды, найдем

Число дает приближенное значение корня.

Найдем теперь абсциссу точки пересечения касательной, проведенной из конца дуги АВ с осью Из рис. 165 видно, что касательную следует проводить в том конце дуги АВ, где знак функции совпадает со знаком второй производной

Рис. 166

В этом случае абсцисса а, ее точки пересечения с осью лежит внутри сегмента и корень уравнения находится между Если же касательную проводить в другом конце дуги, где знак второй производной и знак функции противоположны, то точка пересечения касательной с осью может оказаться лежащей вне сегмента [а, b] (см. рис. 165).

В дальнейшем абсциссу того конца дуги, в котором проводится касательная, будем обозначать буквой а, а абсциссу другого конца — буквой b (см. рис. 165).

Уравнение касательной, проведенной в точке с абсциссой а (см. рис. 166), таково

Точка пересечения касательной с осью Ох имеет координаты . Подставляя эти координаты в уравнение касательной, найдем

Число так же как и ранее полученное число дает приближенное значение корня. Истинное значение корня лежит между и . Применим к новому сегменту снова формулы (101) и (102). При этом касательную следует проводить в точке с абсциссой так как в этой точке имеют одинаковый знак (см. рис. 166). Получим:

Здесь - новые приближенные значения корня, расположенные ближе к корню, чем (см. рис. 166).

Действуя таким образом дальше, мы будем получать новые более точные приближения

причем при любом корень уравнения содержится между . Если -точное значение корня, то погрешность приближения или не превосходит :

Рис. 167

При вычислении корня задается какая-либо допустимая погрешность (т. е. ищут число, отличающееся от не более чем на ). Таким образом, процесс получения последовательных приближений, указанный в методе хорд, и. касательных, следует приостановить, как только разность будет меньше допустимой погрешности. Все вычисления следует проводить с одним или двумя дополнительными знаками для того, чтобы ошибка при округлении в процессе вычислений не превысила допустимой погрешности.

Пример. Вычислить с точностью до 0,001 корень уравнения

Решение. 1. Находим грубое приближенное значение корня. Для этого представим уравнение в виде

Построим графики функций (рис. 167). Из рисунка находим, что уравнение имеет единственный яорень, лежащий на сегменте . Значения являются грубыми приближенными значениями корня.

2. Уточняем найденные грубые приближенные значения. В нашедо случае Очевидно, что на сегменте

Так как

то принимаем (при знак функции совпадает со знаком второй производной).

Применяя формулы (101), (102), (103) и (104), последовательно находим приближения и т.д.

Вычисляем

Находим:

Вычисляем :

По формулам (103) находим следующие приближения:

Так как разность

меньше допустимой погрешности 0,001, то дальнейшие вычисления можно прекратить и принять