3. Предел функции при х->х0

Мы ввели понятия предела функции при и при Введем теперь понятие предела при Рассмотрим сперва случай, когда независимая переменная приближается к слева.

Определение. Число b называется пределом функции у при слева, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число N (меньшее что для всех лежащих между N и ), выполняется неравенство (1)

Понятие предела функции при слева сходно с понятием предела функции при и отличается от него лишь тем, что для предела функции при неравенство (1) выполняется для всех превосходящих N, а для предела функции при - для всех превосходящих N, но меньших, чем

Рис. 107

Предел функции при слева обозначают так: Символ означает, что стремится к слева.

Геометрический смысл предела функции при заключается в следующем: каково бы ни было найдется такое число что для всех заключенных между N и график функции лежит в полосе, ограниченной прямыми (рис. 107, а).

Аналогично пределу функции при слева вводят понятие предела при справа.

Определение. Число b называется пределом функции у при справа, если, каково бы ни было положительное число , найдется такое число М (большее ), что для всех лежащих между выполняется неравенство

Предел функции при справа обозначают так:

Если функция при справа имеет пределом число b, то геометрически это означает, что график функции будет лежать в полосе, ограниченной прямыми для всех заключенных между и М (рис. 107, б).

Пределы функции при слева и при справа называются односторонними пределами.

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет двусторонний предел при или просто имеет предел при

Определение. Число b является пределом функции при если, каково бы ни было можно найти такие числа М и что для всех лежащих в интервале (за исключением, быть можету точки выполняется неравенство

Рис. 108

Рис. 109

Назовем окрестностью точки любой интервал, содержащий эту точку. Таким образом, если b есть предел функции при то неравенство выполняется для всех точек некоторой окрестности точки (за исключением быть может

ТОЧКИ

Если при функция имеет предел, равный b, то это записывают так: Геометрический смысл предела при , ясен из рис. 108.

Замечание 1. В определении предела при или рассматривались значения . В самой точке функция может быть и не огределена. В дальнейшем это замечание будет неоднократно исполььовано.

Замечание 2. Числа М и N, встречающиеся в определениях пределов при или зависят от

Пример 1. Рассмотрим функцию Ее значение при равно 9. Покажем, что при приближении независимой переменной слева и справа к числу 4 значения функции неограниченно приближаются к числу 9, т. е. что

Для этого возьмем произвольное положительное число и убедимся в том, что разность между функцией и числом 9 по абсолютной величине может быть сделана меньше для значений близких к :

Это неравенство равносильно неравенствам

или

Итак, разность между функцией и числом 9 становится (по абсолютной величине) меньше для всех лежащих между числами Поэтому функция имеет предел

Пример 2. Рассмотрим функцию определенную на сегменте [0; 4] следующим образом:

График этой функции приведен на рис. 109. Очевидно, что наглядно видно из графика. Здесь предел справа и предел слева не равны друг другу. Поэтому функция не имеет предела (двустороннего) при

Покажем теперь, что если функция имеет предел, то он единственный. Это легко установить геометрически. В самом деле, допустим противное, т. е. что функция у например, при имеет два предела . Рассмотрим две полосы, одна из которых ограничена прямыми а другая — прямыми е. При этом возьмем столь малым, чтобы обе полосы не имели общих точек. Тогда при достаточно больших график функции не может находиться одновременно в каждой из этих полос. Таким образом, всякая функция либо совсем не имеет предела, либо имеет только один предел.