2. Максимум и минимум функции

Рассмотрим график непрерывной функции изображенный на рис. 149. Как видно из рисунка, значение функции в точке будет больше значений функции во всех «соседних» точках как слева, так и справа от . В этом случае говорят, что функция имеет в точке максимум. В точке функция, очевидно, также имеет максимум.

Рис. 148

Рис. 149

Определение 1. Функция имеет максимум в точке с, если существует такая окрестность точки с, что для всех точек хфсу принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство

В точке значение функции меньше всех «соседних» значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке минимум. В точке функция, очевидно, также имеет минимум.

Определение 2. Функция имеет минимум в точке если существует такая окрестностс точки с, что для всех точек принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство

Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции. Следует отметить, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области ее определения. Из определения максимума следует только то, что это самое большее значение функции в точках, достаточно близких к точке с. Так, на рис. 149 функция в точке имеет максимум, хотя имеются точки, в которых значение функции больше, чем в точке Аналогичное замечание можно сделать относительно минимума функции.

В частности, может оказаться, что минимум функции будет больше максимума (см. значения функции в точках на рис. 149).

Теорема (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то ее производная при обращается в нуль, т. е.

Доказательство. Пусть, например, функция имеет в точке с максимум. Согласно определению максимума, должна существовать окрестность точки с такая, что для всех точек этой окрестности

т. е. значение будет наибольшим значением функции в этой окрестности. Так как по условию функция имеет в точке с производную , то по теореме Ферма § 6) должно быть

Подобным же образом доказывается теорема и для случая минимума функции.

До сих пор рассматривался только случай, когда функция имела производную в точке экстремума. Могут, однако, встретиться случаи, когда в точках экстремума функция не имеет производной. Рассмотрим следующие примеры.

Пример График этой функции изображен на рис. 134. При эта функция не имеет производной (см. § 1, п. 5 и 6). Но очевидно, что в точке функция имеет минимум.

Пример 2. . Здесь и при производная не существует. График функции изображен на рис. 145, Несмотря на то что при производная не существует (терпит бесконечный разрыв), функция при имеет максимум.

Рассмотренные примеры позволяют дополнить сформулированный необходимый признак существования экстремума следующим образом.

Если непрерывная функция имеет в точке экстремум, то производная функции обращается в этой точке в нуль или не существует.

Следует отметить, что условие не существует), будучи необходимым для существования экстремума, не является достаточным. Например, функция имеет производную обращающуюся в нуль при однако при функция не имеет экстремума (см. рис. 19).

Определение. Значение аргумента при котором производная обращается в нуль или терпит разрыв (в частности, обращается в бесконечность), называется критическим (критическая точка).

Таким образом, экстремум функции, если он существует может иметь место только в критических точках. Однако, как мы видели, не во всякой критической точке функция имеет экстремум.

Рассмотрим теперь так называемые достаточные условия существования экстремума, обеспечивающие его наличие в критической точке.

Предварительно условимся для дальнейшего, в тех случаях, когда производная слева от критической точки имеет один знак, а справа от нее — другой знак, говорить, что производная при переходе через критическую точку меняет знак.

Теорема (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку с (за исключением, может быть, самой точки с), и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус, то функция в точке с имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс—минимум.

Рис. 150

Доказательство. Пусть с — критическая точка и пусть, для определенности, при переходе аргумента через точку с производная меняет знак с плюса на минус, т. е. слева от с производная положительна, а справа от с — отрицательна. Это значит, что существует достаточно малое такое, что если если с .

На основании теорем о возрастании и убывании функции заключаем, что возрастает на сегменте и убывает на сегменте .

Следовательно, в точке с функция будет иметь значение большее, чем значение функции во всех точках сегмента , а это и означает, что в точке с функция имеет максимум.

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума (рис. 150).

Замечание. Если производная не меняет знака при пере-Коде через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Рассмотрим примеры на нахождение максимума и минимума функций.

Пример

Решение. Эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

1. Находим производную:

2. Приравниваем производную нулю и находим корни производной (критические точки):

Эти числа разбивают всю область определения данной функции на три интервала:

3. В каждом из этих интервалов производная сохраняет свой знак (так как смена знака может произойти только при переходе через критическую точку). Поэтому при исследовании знака производной в каждом интервале достаточно взять любую точку этого интервала.

Рис. 151

В интервале берем, например, точку . В этой точке

Поэтому во всем интервале — производная положительна.

Аналогично находим, что в интервале производная отрицательна, а в интервале производная положительна.

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Вычисляем его:

При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, а следовательно, в этой точке функция имеет минимум:

Полученные результаты запишем в таблицу:

График функции изображен на рис. 151.

Пример

Решение. Эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

1. Находим производную:

2. Приравниваем производную нулю и находим корни производной:

Это число разбивает всю область определения функции на два интервала:

3. Исследуем знаки производной в каждом из этих интервалов. В интервале берем, например, значение , тогда

Рис. 152

В интервале для значения имеем:

Так как при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то при функция имеет минимум»

Полученные данные запишем в таблицу:

График функции изображен на рис. 152.