3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Рассмотрим некоторое тело, объем V которого мы хотим определить (рис. 186). Предположим, что нам известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Эти сечения будем называть поперечными. Положение поперечного сечения определяется абсциссой точки его пересечения с осью

С изменением будет, вообще говоря, изменяться площадь сечения. Следовательно, площадь сечения будет некоторой функцией которую мы обозначим через и будем считать известной.

Обозначим далее через а и b абсциссы крайних сечений тела . Для вычисления объема V тела поступим следующим образом: разобьем сегмент на частей точками

и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси

Рис. 186

Эти плоскости рассекут тело на слоев (рис. 187). Обозначим объем слоя, заключенного между плоскостями, проведенными через точки через . Тогда или

Рассмотрим один из слоев, образованный сечениями с абсциссами и

Рис. 187

Его объем приближенно равен объему прямого цилиндра, высота которого равна длине отрезка т. е. а основание совпадает с поперечным сечением тела, соответствующим какой-либо абсциссе где ; (см. рис. 187) и, следовательно, имеет площадь

Объем такого цилиндра равен, как и объем кругового цилиндра, произведению площади основания на высоту: Таким образом, Поэтому для объема нашего тела получим следующее приближенное равенство:

Точность этого приближенного равенства увеличивается с уменьшением шага разбиения К отрезка Поэтому точное значение объема получим, устремляя шаг разбиения к нулю. Итак,

Сумма есть интегральная сумма для функции Поэтому

Следовательно,

В этой формуле означает площадь поперечного сечения, а а и b — абсциссы крайних точек сечения тела.

Рис. 188

Пример. Определить объем тела, ограниченного эллипсоидом

Решение. Пересекая эллипсоид плоскостью получим эллипс

Следовательно (см. п. 1, пример 2), площадь сечения .

Поэтому по формуле (42), в которой заменяем на получим

В частности, при получаем шар радиуса R, объем которого равен