3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
Мы видели, что кривизна к окружности есть величина, обратная ее радиусу 
Чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. По аналогии вводится понятие радиуса кривизны кривой в данной точке.
Определение. Радиусом кривизны R в данной точке кривой называется величина, обратная кривизне 
Так как кривизна кривой, вообще говоря, изменяется при переходе от данной ее точки к другой, то и радиус кривизны является переменной величиной.
Если кривая задана уравнением 
то ее радиус кривизны 
как величина, обратная кривизне, определяется следующей формулой:
Если же кривая задана параметрически, то ее радиус кривизны выражается формулой
Пример. Найти радиус кривизны кривой 
в точке М (1; 0).
Решение. Находим 
. По формуле (78) получим
Построим теперь в данной точке М кривой отрезок МР, направленный по нормали к кривой в сторону ее вогнутости и равный по величине радиусу кривизны кривой в точке М:
(рис. 201). Окружность с центром в точке Р и радиусом, равным радиусу кривизны кривой в данной точке 
, называется кругом кривизны. Центр Р этого круга называется центром кривизны. Очевидно, данная кривая и ее круг кривизны в точке М имеют общую касательную (рис. 201).
Рис. 201
Рис. 202
Покажем, как найти координаты центра кривизны кривой, заданной уравнением 
.
Пусть 
- точка данной кривой и 
- соответствующий ее центр кривизны (рис. 202). Уравнение нормали к кривой в точке 
имеет вид
Так как точка 
лежит на нормали, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:
Кроме того, расстояние между точками 
равно радиусу кривизны R кривой:
откуда
Решая совместно систему уравнений
и заменяя R его выражением по формуле (78), найдем
Предположим для определенности, что 
. Тогда кривая вогнута и 
(см. рис. 202), т. е. в правой части формулы (80) для 
следует взять знак «плюс», и, следовательно, в правой части формулы для 
- знак «минус». При этом, поскольку 
для координат 
центра кривизны мы получим следующие формулы:
Можно показать, что в случае 
формулы (81) сохраняют свой вид.
