Пусть независимая переменная t получает приращение 
; тогда переменные х и у получат соответственно приращения 
, а функция 
— приращение 
. Так как функция 
по предположению дифференцируема, то ее полное приращение 
может быть представлено в следующем виде:
причем
Разделив обе части равенства (29) на 
и переходя к пределу при 
получим
Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого равенства, существует, то существует и предел, стоящий в левой части этого равенства, т. е. производная Но 
существуют по предположению.
Найдем
Рассмотрим сначала 
Этот предел существует, так как существуют производные 
. Прежде чем находить 
отметим, что при 
также 
Но тогда 
и, следовательно, 
Учитывая это, формулу (30) можно записать в следующем виде:
Пример 1. Найти производную, если 
Решение. Применяя формулу (31), получим
Рассмотрим теперь функцию 
при условии, что 
Здесь переменная 
есть функция одной переменной 
Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет 
По формуле (31) имеем
Но 
и поэтому
В правой и левой частях этой формулы имеются производные 
по 
Одна из них — частная производная функции двух переменных 
, которая находится так, как если бы у не зависел от 
. В отличие от нее производная 
стоящая в левой части формулы (32), есть производная сложной функции одной переменной 
Эту производную мы будем называть полной производной.
Предположим теперь, что 
, причем 
. Тогда z будет сложной функцией двух независимых переменных 
. Найдем частные производные этой сложной функции 
Частные производные 
находятся так, как если бы 
и 
были функциями одной переменной 
. Но тогда можно пользоваться формулой (31), заменив в ней производные, 
соответствующими частными производными: и 
Аналогично можно получить выражение для 
Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов.
В частности, для функции трех переменных 
имеем
Пример 2. Убедиться, что функция 
, где 
удовлетворяет соотношению:
Решение. Находим и
Теперь имеем
что и требовалось доказать.
, причем аргументы этой функции являются функциями одной независимой переменной 
. Тогда 
есть сложная функция одной независимой переменной 
. Поставим задачу найти производную этой сложной функции зная частные производные 
и производные 
. При решении этой задачи мы будем предполагать, что функции 
имеют производные в точке t, а функция двух переменных 
в соответствующей точке 
дифференцируема.
