§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

Пусть нам известны значения функции которые она принимает в точках . Требуется найти многочлен степени

значения которого в точках совпадают со значениями функций Так поставленную задачу называют задачей интерполирования, а многочлен — интерполяционным многочленом. Принимая интерполяционный многочлен за приближенное аналитическое выражение функции мы можем, например, находить приближенные значения функции в точках лежащих между Покажем теперь, что задача интерполяции имеет единственное решение. Для простоты ограничимся случаем интерполяционного многочлена второй степени

который в точках (узлы интерполяции) принимает соответственно значения

Покажем, что при этих условиях коэффициенты определяются однозначно. В самом деле, подставляя в уравнение получим для нахождения коэффициентов систему трех уравнений первой степени:

Эта система имеет единственное решение, так как ее определитель

(числа различны).

Замечание. Так как графиком квадратного трехчлена является парабола, ось симметрии которой параллельна оси (см. гл. II, § 2, п. 7), то тем самым мы доказали, что через три точки можно провести единственную параболу, ось симметрии которой параллельна оси

В общем случае для многочлена степени получим систему из уравнения с неизвестными Решение этой системы связано с громоздкими вычислениями.

Поэтому интерполяционный многочлен будем искать в другой форме, позволяющей проще определить неизвестные коэффициенты:

Для случая интерполяционный многочлен запишется в виде

Покажем, как находятся его коэффициенты . Так как по условию

то подставляя последовательно в равенство получим:

Отсюда

Подставляя найденные значения в равенство (107), получим искомый интерполяционный многочлен, который принимается за приближенное аналитическое выражение функции

Аналогично, интерполяционный многочлен третьей степени имеет вид

Формулы (108) и (109) называются интерполяционными формулами Лагранжа для случая

Пример, Нижеследующая таблица дает значения функции для некоторых значений (в радианах). Найти .

Решение. Здесь:

Применяя интерполяционную формулу Лагранжа (108), при найдем:

Заметим, что табличное значение с четырьмя верными знаками будет .