2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Выясним геометрический смысл частной производной функции двух переменных Как известно, графиком функции является некоторая поверхность. Рассмотрим точку в плоскости и соответствующую точку на поверхности (рис. 219). Сделаем параллельный перенос осей с новым началом в точке и рассмотрим плоскую кривую которая получится при сечении поверхности новой координатной плоскостью (т. е. плоскостью в старой системе координат). Эту кривую можно рассматривать как гграфик функции одной переменной в плоскости (т. е. в плоскости в старой системе). Но тогда, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной, где - угол с осью или, что то же, с осью касательной, проведенной к кривой в точке другой стороны,

Отсюда следует, что . Итак, значение частной произеодной в точке равно тангенсу угла у составленного с осью касательной, проведенной в точке к линии пересечения поверхности и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной Аналогично выясняется геометрический смысл частной производной

Рис. 219