Поскольку уравнение (8.2) однородно по $u$, постоянную $C$ можно выбрать так, чтобы функция и была нормирована. Тогда частное решение волнового уравнения будет иметь вид
\[
\varphi(\mathrm{r}, t)=u(\mathrm{r}) e^{-i E t / h} .
\]

Смысл константы разделения $\boldsymbol{E}$.
Применим к функции (8.3) оператор (6.13), содержащий производную по времени и соответствующий полной энергии. Мы получим
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=E \psi
\]

Говорят, что уравнение типа (8.4) определяет задачу ні собственные значения; при этом $\psi$ представляет собой собственную функцию оператора, стоящего слева, а постоянный множитель $E$ в правой части — соответствующее ей собственное значение ${ }^{1}$ ). Поскольку для функции $\psi$, описываемой выражением типа (8.3), $|\psi|^{2}$ не зависит от времени, про собственные функции оператора энергии говорят, что они характеризуют стационарное состояние частицы.

Уравнение (8.2) также определяет задачу на собственные значения. Из него следует, что $и$ (а следовательно, и $\psi$ ) предста-

вляет собой собственную функцию оператора $\left[-\left(\hbar^{2} / 2 m\right)
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right]$, принадлежащую тому же собственному значению E. Разумеется, заранее следовало ожидать, что если $\psi$ является собственной функцией оператора дифференцирования по времени, то она будет и собственной функцией данного оператора. Действительно, в силу волнового уравнения (6.16) оба оператора эквивалентны не только в применении к функциям типа (8.3), но и в самом общем случае.

Вопрос о физическом смысле собственных функций и собственных значений будет полностью рассмотрен в гл. III. Однако уже сейчас, предвосхищая сделанные там выводы, мы допустим, что собственные значения представляют собой единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы.

В связи с этим интересно выяснить, при всех ли вещественных значениях $E$ уравнение (8.2) имеет физически интересные ‘решения $u(\mathrm{r})$. Ответ можно получить, только уточнив понятие „физически интересные\» решения в терминах граничных условий, накладываемых на функцию $u(\mathbf{r})$. Этому вопросу, а также исследованию общего характера собственных значений при различных видах потенциальной энергии $V(\mathbf{r})$ и будет посвящена остальная часть настоящего параграфа.

Граничные условия на бесконечности.
До сих пор мы имели дело только с двумя классами волновых функций: с хорошо локализованными волновыми пакетами, для которых нормировочный интеграл $\int|\psi|^{2} d \tau$ сходится, и с бегущими гармоническими волнами типа (6.10), для которых модуль волновой функции на больших расстояниях остается постоянным и нормировочный интеграл (взятый по всему бесконечному пространству) расходится. Можно считать, что функции первого класса описывают либо свободные частицы, координаты которых в начальный момент известны довольно точно, либо же частицы, удерживаемые в конечной области пространства благодаря действию внешних сил [характеризуемых потенциальной энергией $V(\mathbf{r})$ ]. Функции второго класса описывают частицы, которые не локализованы и не удерживаются в рассматриваемой области, а проходят из одной удаленной части пространства в другую. Такие функции, окажутся полезными при рассмотрении рассеяния частиц силовым полем ${ }^{2}$. В обоих случаях волновые функции остаются ограниченными на бесконечности.

Условия непрерывности.
Не зависящее от времени волновое уравнение (8.2) представляет собой линейное дифференциальное

уравнение второго порядка по r. Поэтому если функция $V$ (r) конечна (хотя и не обязательно непрерывна), ‘ то, зная волновую функцию и ее производные на некоторой поверхности, можно проинтегрировать волновое уравнение и найти значение $u(\mathrm{r})$ в любой точке. Соответственно, коль скоро волновая функция должна однозначно изображать состояние частицы, естественно потребовать, чтобы она вместе со своим градиентом была всюду непрерывна, конечна и однозначна. Из этих условий вытекает, в частности, ограниченность и непрерывность плотности координат $P(\mathbf{r})$ и плотности тока вероятности $\mathbf{S}(\mathbf{r})$ во всех точках пространства.

Граничные условия в точках, где потенциальная энергия обращается в бесконечность. Если функция $V(\mathbf{r})$ где-либо обращается в бесконечность, то соответствующие граничные условия можно найти с помощью предельного процесса исходя из условий непрерывности, указанных выше для случая конечного $V$.

Пусть, например, функция $V$ претерпевает бесконечный скачок на некоторой непрерывной поверхности, так что на одной ее стороне потенциальная энергия конечна, а на другой равна $+\infty$. Надо определить условия, которым должны удовлетворять величины $u(\mathbf{r})$ и $\mathrm{g}$ ad $u$ на этой поверхности. Характерные особенности задачи останутся неизменными, если в интересующей нас точке заменить непрерывную поверхность касательной к ней плоскостью, а потенциальную энергию, непрерывно изменяющуюся на одной стороне поверхности, постоянной величиной, которую без ущерба для общности можно выбрать равной нулю (постоянная добавка к $V$ эквивалентна просто соответствующему изменению $E$ ). Выберем начало координат в интересующей нас точке, а ось $x$ проведем перпендикулярно касательной плоскости.

В рассматриваемом случае волновое уравнение (8.2) распадается на три уравнения, каждое из которых содержит лишь одну из трех пространственных координат, причем разрывный характер потенциальной энергии на плоскости $x=0$ не влияет на зависимость $u$ от $y$ и $z$. Таким образом, задача сводится к решению одномерного волнового уравнения
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}+V(x) u=E u,
\]

где $V(x)=0$ при $x<0, V(x)=V_{0}$ при $x>0$ и в конечном результате надо перейти к пределу $V_{0} \rightarrow+\infty$. Пусть $0 \leqslant E \leqslant V_{0}$. Тогда общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид
\[
\begin{array}{lll}
u(x)=A \sin \alpha x+B \cos \alpha x, & x<0, & \alpha=+\left(\frac{2 m E}{\hbar^{2}}\right)^{1 / 2}, \\
u(x)=C e^{-\beta x}+D e^{\beta x}, & x>0, & \beta=+\left[\frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}\right]^{1 / 2} .
\end{array}
\]

В силу условия ограниченности $u$ на бесконечности константу $D$ следует положить равной нулю. Далее, условие непрерывности а при $x=0$ дает соотношение $B=C$, а условие непрерывности производной $d u / d x$ — равенство $\alpha A=-\beta C$. Поскольку $\beta$ обращается в бесконечность вместе с $V_{f}$, а решение при $x<0$ должно оставаться конечным, из второй формулы следует, что $C$ при $V_{0} \rightarrow \infty$ обращается в нуль, а тогда и $B=0$. Константа $A$ этими соотношениями не определяется, но ее можно найти из условия нормировки.

Таким образом, на поверхности, где потенциал испытывает бесконечный скачок, волновая функция должна обращаться в нуль, а производная от нее по нормали к поверхности остается неопределенной. Сделанное выше допущение о том, что $E<V_{0}$, очевидно, не является ограничением, так как в итоге $V_{0}$ становится бесконечным. Если $E<0$, то синус и косинус в решении для $x<0$ заменяются гиперболическими синусом и косинусом (что допустимо, так как решение должно быть справедливо только вблизи точки $x=0$ ); конечный результат при этом не изменяется. Следует отметить, что как $P$, так и $S_{x}$ обращаются в нуль, когда $x \rightarrow 0$ со стороны отрицательных значений $x$; таким образом эти величины непрерывны в точке $x=0$, хотя производная $d u / d x$ в этой точке испытывает разрыв.

Граничная поверхность данного типа описывает идеально твердую непроницаемую стенку. Действительно, в аналогичном классическом случае значение $x$-компоненты импульса частицы при столкновении ее с такой поверхностью мгновенно изменяется на противоположное. (Энергия частицы может быть любой, но конечной.)

Собственные значения оператора энергии в одномерном случае. Собственные функции первого класса, описывающие частицы, удерживаемые внешними силами в некоторой конечной области пространства, всегда принадлежат дискретным собственным значениям; функциям же второго класса, не исчезающим на бесконечности, соответствует непрерывный спектр собственных значений. Качественным образом в этом можно убедиться, рассматривая решения одномерного волнового уравнения (8.5).

Предположим сначала, что $V(x)$ при достаточно больших положительных и отрицательных значениях $x$ становится равной некоторой константе, которую можно принять за нуль, и пусть $E<0$. При таком значении полной энергии классическая частица не может уйти на бесконечность; она может находиться лишь в области, где $E$ не меньше минимального значения потенциальной энергии $V_{\text {ми.н }}$. Если $|x|$ достаточно велик, так что $V=0$, то, очевидно, волновая функция имеет вид $e^{-\beta|x|}$, где $\beta=+\left(-2 m E / \hbar^{2}\right)^{1 / 2}$ (возрастающие решения мы условились отбрасывать). Пользуясь

волновым уравнением и условиями непрерывности, два таких решения, взятых для больших положительных и отрицательных значений $x$, можно продолжить до некоторой промежуточной точки, скажем $x=0$. Непрерывности $u$ в этой точке всегда можно добиться соответствующим подбором произвольных постоянных множителей в обоих решениях. Но легко убедиться, что при
$\Phi$ иг. 5. Потенциальная энергия $V(x)$ и решения при больших $x$.
$a$ — потенциальная энергия $V(x) ; 6$ — решение $u(x)$ при больших $|x| ;$ в и $\partial-$ решения в случае, когда энергия меньше или больше (алгебраически) собственного эначения $E$, которому соответствует случай $z$; как видно из крнвых, лнбо волновая функция, лнбо ее производная испытывает разрыв в точке $x=0$.

произвольных значениях $E$ производная $d u / d x$ в точке их встречи будет, вообще говоря, испытывать разрыв. Могут, однако, найтись отдельные значения $E$, для которых в точке $x=0$ как $u$, так и $d u / d x$ являются непрерывными. Условия, при которых это имеет место, можно найти следующим образом.

В тех областях, где $E<V(x)$, отношение ( $\left.d^{2} u / d x^{2}\right) / u$ положительно и кривая $u(x)$ обращена выпуклостью в сторону оси $x$.

Поэтому в области, где $V>E$, знаки логарифмической производной $(1 / u)(d u / d x)$ для двух решений, приходящих из $\pm \infty$, противоположны. Для потенциала, изображенного на фиг. $\overline{5}, \boldsymbol{a}$, это иллюстрируется кривыми на фиг. 5 , б; при $x<0$ показаны оба значения $u$. Точки, в которых $E=V(x)$, называются точками поворота, так как они характеризуют границы, в пределах которых движется классическая частица с энергией $E$ : в этих точках направление ее движения изменяется на противоположное, т. е. частица поворачивает обратно. В точках поворота $d^{2} u / d x^{2}=0$, и функция $и$ имеет нулевую кривизну.

Очевидно, для того чтобы одно решение плавно переходило в другое, должна существовать такая область, в которой $E>V(x)$. Тогда отношение $\left(d^{2} u / d x^{2}\right) / u$ может быть отрицательным и функция $u$ будет вогнута по направлению к оси $x$; при этом логарифмические производные могут оказаться одинаковыми.

На фиг. 5, в показаны два решения, доведенные до общей точки $x=0$, но соответствующие меньшему, чем нужно, значению $E$. По этой причине, если значения $и$ в точке $x=0$ одинаковы (сплощная кривая), то оказываются различными значения производных; если же одинаковы производные, то будут различны сами функции $u$ (пунктирная кривая слева и сплошная кривая справа). На фиг. 5, г показана функция $u(x)$ для несколько больших (алгебраически) значений $E$, а на фиг. $5, \partial$ — случай еще большей энергии. В последних трех случаях значения $E$ и $V_{\text {мин. }}$.тмечены на оси $u$, а точки поворота (TP) указаны на оси $x$.

Дискретные уровни энергии. Таким образом, мы видим, что собственные функции оператора энергии для частицы с потенциальной энергией $V(x)$, удовлетворяющие граничным условиям и условиям непрерывности, могут существовать только для некоторых значений $E$, как это показано на фиг. 5, 2. Аналогично классическому случаю, необходимым условием существования такой собственной функции является неравенство $V_{\text {мин. }}<0$ (тогда $E$ лежит между $V_{\text {мин, }}$ и 0 ). В одномерной задаче это условие, как и в классическом случае, является достаточным; однако в трехмерном случае дело может обстоять иначе (см. задачу 10 в гл. IV, а также § 9 и 15).

Если потенциальная яма, изображенная на фиг. 5 , а, достаточно широка и глубока, то будет существовать еще одна собственная функция, принадлежащая более высокому собственному значению энергии (по-прежнему отрицательному). На фиг. 6, $a, 6$ и $\boldsymbol{B}$ изображена система волновых функций (аналогичных показанным на фиг. 5, в, с и е) для последовательно возрастающих (алгебраически) значений $E$. При $x<0$ представлены ветви функции и, соответствующие обоим знакам. На фиг. 5, 2 и 6, 6 изображены собственные функции для двух наименьших соб-

ственных значений, т. е. двух наинизших уровней энергии частицы в потенциальной яме $V(x)$. Обобщая предыдущие качественные рассуждения, легко убедиться, что при переходе к более высоким дискретным уровням энергии, если они существуют, число узлов собственной функции каждый раз возрастает на единицу.

Таким образом, если при $x \rightarrow \pm \infty$ потенциальная энергия стремится к конечному постоянному значению, то в зависимости от массы частицы и вида функции $V(x)$ число дискретных уровней
Фиr. 6. Решения для достаточно широкого или глубокого потенциала и для больших (алгебраически) эначений $E$, чем в случае, изображенном на фиг. 5.
Значение $E$ возрастает при переходе от $a$ к 6 и в. В случае 6 . когда при $x=0$ волновая функция и ее производные

энергии может быть конечным, а в отдельных случаях и бесконечным (последнее будет иметь место, если $V(x)$ достаточно медленно убывает при больших $|x|)$. Если, однако, $V(x) \rightarrow+\infty$ при $x \rightarrow \pm \infty$, то рассуждения типа приведенных выше показывают, что число дискретных уровней всегда будет бесконечно. Каждому из них (с точностью до произвольного постоянного множителя) будет принадлежать одна и только одна собственная функция $u(x)$.

Непрерывные уровни энергии. Для всех собственных значений оператора энергии, превышающих наименьшее из чисел $V(+\infty)$ и $V(-\infty)$, можно найти собственные функции, удовлетворяющие как граничным условиям, так и условиям непрерывности. Пусть, например, потенциальная кривая имеет вид, представленный на фиг. 5, a. Тогда при любых положительных значениях $E$ можно найти решения волнового уравнения. Это связано с тем, что