Главная > КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(Л.ШИФФ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Поскольку уравнение (8.2) однородно по u, постоянную C можно выбрать так, чтобы функция и была нормирована. Тогда частное решение волнового уравнения будет иметь вид
φ(r,t)=u(r)eiEt/h.

Смысл константы разделения E.
Применим к функции (8.3) оператор (6.13), содержащий производную по времени и соответствующий полной энергии. Мы получим
iψt=Eψ

Говорят, что уравнение типа (8.4) определяет задачу ні собственные значения; при этом ψ представляет собой собственную функцию оператора, стоящего слева, а постоянный множитель E в правой части — соответствующее ей собственное значение 1 ). Поскольку для функции ψ, описываемой выражением типа (8.3), |ψ|2 не зависит от времени, про собственные функции оператора энергии говорят, что они характеризуют стационарное состояние частицы.

Уравнение (8.2) также определяет задачу на собственные значения. Из него следует, что и (а следовательно, и ψ ) предста-

вляет собой собственную функцию оператора [(2/2m)abla2+V(r)], принадлежащую тому же собственному значению E. Разумеется, заранее следовало ожидать, что если ψ является собственной функцией оператора дифференцирования по времени, то она будет и собственной функцией данного оператора. Действительно, в силу волнового уравнения (6.16) оба оператора эквивалентны не только в применении к функциям типа (8.3), но и в самом общем случае.

Вопрос о физическом смысле собственных функций и собственных значений будет полностью рассмотрен в гл. III. Однако уже сейчас, предвосхищая сделанные там выводы, мы допустим, что собственные значения представляют собой единственно возможные результаты точных измерений полной энергии частицы.

В связи с этим интересно выяснить, при всех ли вещественных значениях E уравнение (8.2) имеет физически интересные ‘решения u(r). Ответ можно получить, только уточнив понятие „физически интересные\» решения в терминах граничных условий, накладываемых на функцию u(r). Этому вопросу, а также исследованию общего характера собственных значений при различных видах потенциальной энергии V(r) и будет посвящена остальная часть настоящего параграфа.

Граничные условия на бесконечности.
До сих пор мы имели дело только с двумя классами волновых функций: с хорошо локализованными волновыми пакетами, для которых нормировочный интеграл |ψ|2dτ сходится, и с бегущими гармоническими волнами типа (6.10), для которых модуль волновой функции на больших расстояниях остается постоянным и нормировочный интеграл (взятый по всему бесконечному пространству) расходится. Можно считать, что функции первого класса описывают либо свободные частицы, координаты которых в начальный момент известны довольно точно, либо же частицы, удерживаемые в конечной области пространства благодаря действию внешних сил [характеризуемых потенциальной энергией V(r) ]. Функции второго класса описывают частицы, которые не локализованы и не удерживаются в рассматриваемой области, а проходят из одной удаленной части пространства в другую. Такие функции, окажутся полезными при рассмотрении рассеяния частиц силовым полем 2. В обоих случаях волновые функции остаются ограниченными на бесконечности.

Условия непрерывности.
Не зависящее от времени волновое уравнение (8.2) представляет собой линейное дифференциальное

уравнение второго порядка по r. Поэтому если функция V (r) конечна (хотя и не обязательно непрерывна), ‘ то, зная волновую функцию и ее производные на некоторой поверхности, можно проинтегрировать волновое уравнение и найти значение u(r) в любой точке. Соответственно, коль скоро волновая функция должна однозначно изображать состояние частицы, естественно потребовать, чтобы она вместе со своим градиентом была всюду непрерывна, конечна и однозначна. Из этих условий вытекает, в частности, ограниченность и непрерывность плотности координат P(r) и плотности тока вероятности S(r) во всех точках пространства.

Граничные условия в точках, где потенциальная энергия обращается в бесконечность. Если функция V(r) где-либо обращается в бесконечность, то соответствующие граничные условия можно найти с помощью предельного процесса исходя из условий непрерывности, указанных выше для случая конечного V.

Пусть, например, функция V претерпевает бесконечный скачок на некоторой непрерывной поверхности, так что на одной ее стороне потенциальная энергия конечна, а на другой равна +. Надо определить условия, которым должны удовлетворять величины u(r) и g ad u на этой поверхности. Характерные особенности задачи останутся неизменными, если в интересующей нас точке заменить непрерывную поверхность касательной к ней плоскостью, а потенциальную энергию, непрерывно изменяющуюся на одной стороне поверхности, постоянной величиной, которую без ущерба для общности можно выбрать равной нулю (постоянная добавка к V эквивалентна просто соответствующему изменению E ). Выберем начало координат в интересующей нас точке, а ось x проведем перпендикулярно касательной плоскости.

В рассматриваемом случае волновое уравнение (8.2) распадается на три уравнения, каждое из которых содержит лишь одну из трех пространственных координат, причем разрывный характер потенциальной энергии на плоскости x=0 не влияет на зависимость u от y и z. Таким образом, задача сводится к решению одномерного волнового уравнения
22md2udx2+V(x)u=Eu,

где V(x)=0 при x<0,V(x)=V0 при x>0 и в конечном результате надо перейти к пределу V0+. Пусть 0EV0. Тогда общее решение уравнения (8.5) будет иметь вид
u(x)=Asinαx+Bcosαx,x<0,α=+(2mE2)1/2,u(x)=Ceβx+Deβx,x>0,β=+[2m(V0E)2]1/2.

В силу условия ограниченности u на бесконечности константу D следует положить равной нулю. Далее, условие непрерывности а при x=0 дает соотношение B=C, а условие непрерывности производной du/dx — равенство αA=βC. Поскольку β обращается в бесконечность вместе с Vf, а решение при x<0 должно оставаться конечным, из второй формулы следует, что C при V0 обращается в нуль, а тогда и B=0. Константа A этими соотношениями не определяется, но ее можно найти из условия нормировки.

Таким образом, на поверхности, где потенциал испытывает бесконечный скачок, волновая функция должна обращаться в нуль, а производная от нее по нормали к поверхности остается неопределенной. Сделанное выше допущение о том, что E<V0, очевидно, не является ограничением, так как в итоге V0 становится бесконечным. Если E<0, то синус и косинус в решении для x<0 заменяются гиперболическими синусом и косинусом (что допустимо, так как решение должно быть справедливо только вблизи точки x=0 ); конечный результат при этом не изменяется. Следует отметить, что как P, так и Sx обращаются в нуль, когда x0 со стороны отрицательных значений x; таким образом эти величины непрерывны в точке x=0, хотя производная du/dx в этой точке испытывает разрыв.

Граничная поверхность данного типа описывает идеально твердую непроницаемую стенку. Действительно, в аналогичном классическом случае значение x-компоненты импульса частицы при столкновении ее с такой поверхностью мгновенно изменяется на противоположное. (Энергия частицы может быть любой, но конечной.)

Собственные значения оператора энергии в одномерном случае. Собственные функции первого класса, описывающие частицы, удерживаемые внешними силами в некоторой конечной области пространства, всегда принадлежат дискретным собственным значениям; функциям же второго класса, не исчезающим на бесконечности, соответствует непрерывный спектр собственных значений. Качественным образом в этом можно убедиться, рассматривая решения одномерного волнового уравнения (8.5).

Предположим сначала, что V(x) при достаточно больших положительных и отрицательных значениях x становится равной некоторой константе, которую можно принять за нуль, и пусть E<0. При таком значении полной энергии классическая частица не может уйти на бесконечность; она может находиться лишь в области, где E не меньше минимального значения потенциальной энергии Vми.н . Если |x| достаточно велик, так что V=0, то, очевидно, волновая функция имеет вид eβ|x|, где β=+(2mE/2)1/2 (возрастающие решения мы условились отбрасывать). Пользуясь

волновым уравнением и условиями непрерывности, два таких решения, взятых для больших положительных и отрицательных значений x, можно продолжить до некоторой промежуточной точки, скажем x=0. Непрерывности u в этой точке всегда можно добиться соответствующим подбором произвольных постоянных множителей в обоих решениях. Но легко убедиться, что при
Φ иг. 5. Потенциальная энергия V(x) и решения при больших x.
a — потенциальная энергия V(x);6 — решение u(x) при больших |x|; в и решения в случае, когда энергия меньше или больше (алгебраически) собственного эначения E, которому соответствует случай z; как видно из крнвых, лнбо волновая функция, лнбо ее производная испытывает разрыв в точке x=0.

произвольных значениях E производная du/dx в точке их встречи будет, вообще говоря, испытывать разрыв. Могут, однако, найтись отдельные значения E, для которых в точке x=0 как u, так и du/dx являются непрерывными. Условия, при которых это имеет место, можно найти следующим образом.

В тех областях, где E<V(x), отношение ( d2u/dx2)/u положительно и кривая u(x) обращена выпуклостью в сторону оси x.

Поэтому в области, где V>E, знаки логарифмической производной (1/u)(du/dx) для двух решений, приходящих из ±, противоположны. Для потенциала, изображенного на фиг. 5,a, это иллюстрируется кривыми на фиг. 5 , б; при x<0 показаны оба значения u. Точки, в которых E=V(x), называются точками поворота, так как они характеризуют границы, в пределах которых движется классическая частица с энергией E : в этих точках направление ее движения изменяется на противоположное, т. е. частица поворачивает обратно. В точках поворота d2u/dx2=0, и функция и имеет нулевую кривизну.

Очевидно, для того чтобы одно решение плавно переходило в другое, должна существовать такая область, в которой E>V(x). Тогда отношение (d2u/dx2)/u может быть отрицательным и функция u будет вогнута по направлению к оси x; при этом логарифмические производные могут оказаться одинаковыми.

На фиг. 5, в показаны два решения, доведенные до общей точки x=0, но соответствующие меньшему, чем нужно, значению E. По этой причине, если значения и в точке x=0 одинаковы (сплощная кривая), то оказываются различными значения производных; если же одинаковы производные, то будут различны сами функции u (пунктирная кривая слева и сплошная кривая справа). На фиг. 5, г показана функция u(x) для несколько больших (алгебраически) значений E, а на фиг. 5, — случай еще большей энергии. В последних трех случаях значения E и Vмин. .тмечены на оси u, а точки поворота (TP) указаны на оси x.

Дискретные уровни энергии. Таким образом, мы видим, что собственные функции оператора энергии для частицы с потенциальной энергией V(x), удовлетворяющие граничным условиям и условиям непрерывности, могут существовать только для некоторых значений E, как это показано на фиг. 5, 2. Аналогично классическому случаю, необходимым условием существования такой собственной функции является неравенство Vмин. <0 (тогда E лежит между Vмин,  и 0 ). В одномерной задаче это условие, как и в классическом случае, является достаточным; однако в трехмерном случае дело может обстоять иначе (см. задачу 10 в гл. IV, а также § 9 и 15).

Если потенциальная яма, изображенная на фиг. 5 , а, достаточно широка и глубока, то будет существовать еще одна собственная функция, принадлежащая более высокому собственному значению энергии (по-прежнему отрицательному). На фиг. 6, a,6 и B изображена система волновых функций (аналогичных показанным на фиг. 5, в, с и е) для последовательно возрастающих (алгебраически) значений E. При x<0 представлены ветви функции и, соответствующие обоим знакам. На фиг. 5, 2 и 6, 6 изображены собственные функции для двух наименьших соб-

ственных значений, т. е. двух наинизших уровней энергии частицы в потенциальной яме V(x). Обобщая предыдущие качественные рассуждения, легко убедиться, что при переходе к более высоким дискретным уровням энергии, если они существуют, число узлов собственной функции каждый раз возрастает на единицу.

Таким образом, если при x± потенциальная энергия стремится к конечному постоянному значению, то в зависимости от массы частицы и вида функции V(x) число дискретных уровней
Фиr. 6. Решения для достаточно широкого или глубокого потенциала и для больших (алгебраически) эначений E, чем в случае, изображенном на фиг. 5.
Значение E возрастает при переходе от a к 6 и в. В случае 6 . когда при x=0 волновая функция и ее производные

энергии может быть конечным, а в отдельных случаях и бесконечным (последнее будет иметь место, если V(x) достаточно медленно убывает при больших |x|). Если, однако, V(x)+ при x±, то рассуждения типа приведенных выше показывают, что число дискретных уровней всегда будет бесконечно. Каждому из них (с точностью до произвольного постоянного множителя) будет принадлежать одна и только одна собственная функция u(x).

Непрерывные уровни энергии. Для всех собственных значений оператора энергии, превышающих наименьшее из чисел V(+) и V(), можно найти собственные функции, удовлетворяющие как граничным условиям, так и условиям непрерывности. Пусть, например, потенциальная кривая имеет вид, представленный на фиг. 5, a. Тогда при любых положительных значениях E можно найти решения волнового уравнения. Это связано с тем, что

1
Оглавление
email@scask.ru