Будем следовать методике, развитой в § 45. Уравнениями движения электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, и мы начнем с нахождения функции Лагранжа, вариация которой приводит к этим уравнениям. Зная функцию Лагранжа, можно ввести и канонические импульсы и составить функцию Гамильтона. Квантование производится путем замены классических скобок Пуассона квантовыми. Мы не будем рассматривать возможность антикоммутации амплитуд поля, так как из опыта известно, что сильные электрические и магнитные поля можно изменить классическим путем и что фотоны подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна.

Уравнения Лагранжа.
Уравнения Максвелла для вакуума можно получить, если в (35.2) приравнять нулю $\varrho$ и $\mathbf{J}$ :
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rot} \mathbf{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=0, \quad \operatorname{rot} \mathbf{H}-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=0, \\
\operatorname{div} \mathbf{E}=0, \quad \operatorname{div} \mathbf{H}=0 .
\end{array}
\]

Функцию Лагранжа удобнее всего выразить через потенциалы $\mathbf{A}, \varphi$, частично определяемые равенствами
\[
\mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad} \varphi, \quad \mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Қак отмечалось в § 35, эти формулы не определяют потенциалов полнөстью, так қак напряженности электрического и магнитного полей (48.2) не изменяются при градиентном преобразовании потенциалов.
Плотность лагранжиана можно записать в виде
\[
\boldsymbol{L}=\frac{1}{8 \pi}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\operatorname{grad} \varphi\right)^{2}-\frac{1}{8 \pi}(\operatorname{rot} \mathbf{A})^{2} .
\]

Если величины $A_{x}, A_{y}, A_{z}$ и $\varphi$ рассматриваются как переменные поля, то уравнения Лагранжа следуют из (45.8). Вариация по компонентам Ӓ дает три уравнения, которые совместно можно записать в виде
\[
-\frac{1}{4 \pi} \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}-\frac{1}{4 \pi c} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\operatorname{grad} \varphi\right)=0 .
\]

Это есть не что иное, как второе из уравнений (48.1). Варьируя по $\varphi$, получаем
\[
-\frac{1}{4 \pi} \operatorname{div}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\operatorname{grad} \varphi\right)=0,
\]

что совпадает с третьим уравнением (48.1). Два других уравнения Максвелла автоматически вытекают из определения потенциалов (48.2).

Уравнения Гамильтона.
На основании (45.15) и (48.3) можно определить импульс, канонически сопряженный с $A_{x}$;
\[
P_{x}=\frac{1}{4 \pi c}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial A_{x}}{\partial t}+\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) .
\]

Аналогичные выражения получаются и для двух других импульсов. Поскольку $\dot{\varphi}$ не входит в плотность лагранжиана, импульс, канонически сопряженный с $\varphi$, тождественно равен нулю. Так же обстояло дело с функцией $\bar{\psi}$ в нерелятивистском уравнении Шредингера (§ 46) и в уравнении Дирака (§ 47); как и там, это означает, что потенциал $\varphi$ нельзя рассматривать как переменную поля и надо исключить его из функции Гамильтона ${ }^{1}$.
Равенство (45.24) дает плотность функции Гамильтона
\[
\boldsymbol{H}=\mathbf{P} \cdot \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\boldsymbol{L}=2 \pi c^{2} \mathbf{P}^{2}+\frac{1}{8 \pi}(\operatorname{rot} \mathbf{A})^{2}-c \mathbf{P} \cdot \operatorname{grad} \varphi
\]

[производная $\partial \mathbf{A} / \partial t$ при помощи (48.4) заменена членами, содержащими P]. Уравнения Гамильтона (45.19) имеют вид
\[
\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=4 \pi c^{2} \mathbf{P}-c \operatorname{grad} \varphi, \quad \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}=-\frac{1}{4 \pi} \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Первое из них совпадает с (48.4). Его необходимо было получить снова, так как в гамильтоновском формализме мы имеем дело только с выражением (48.5) и с каноническими переменными А и P. Теперь можно воспользоваться этим уравнением, чтобы определить величину $\mathbf{E}=-4 \pi c \mathbf{P}$. Тогда, если определить также Н как rot A, второе уравнение (48.6) совпадает со вторым уравнением Максвелла (48.1). Первое и четвертое уравнения (48.1) удовлетворяются автоматически – по определению Е и $\mathbf{H}$.

Третье уравнение Максвелла нельзя получить как уравнение Гамильтона, связанное с выражением (48.5). Однако можно условиться придавать смысл лишь таким решениям уравнений Гамильтона, для которых в некоторый определенный момент времени $\operatorname{div} \mathbf{E}=0$ или $\operatorname{div} \mathbf{P}=0$. Если при этом удастся поқазать, что приведенные равенства представляют собой интегралы движения, то принятое условие будет непротиворечиво и отбираемые таким путем решения образуют замкнутую совокупность. Согласно второму из уравнений (48.6), производная по времени от $\operatorname{div} \mathbf{P}$ равна
\[
\frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf{P}=-\frac{1}{4 \pi} \operatorname{div} \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=0 .
\]

Поскольку уравнения поля являются уравнениями первого порядка по времени, это означает, что, наложив условие $\operatorname{div} \mathrm{E}=0$ в один момент времени, мы действительно обеспечиваем справедливость третьего из уравнений (48.1) в любой другой момент.

Отсюда видно, что последний член в (48.5) ничего не вносит в гамильтониан. Действительно, интегрируя по частям, интеграл по объему можно преобразовать к виду $c \int \varphi \operatorname{div} \mathbf{P} d \tau=0$; поверхностный интеграл обращается в нуль либо в силу достаточно быстрого убывания $\mathbf{P}$ на больших расстояниях, либо вследствие периодических граничных условий, наложенных на P на стенках большого куба. Таким образом, гамильтониан поля имеет вид
\[
H=\int\left[2 \pi c^{2} \mathbf{P}^{2}+\frac{1}{8 \pi}(\operatorname{rot} \mathrm{A})^{2}\right] d \tau
\]

и потенциал $\varphi$ в него не входит. Этот результат находится в соответствии с обычным выражением для полной энергии әлектромагнитного поля $(1 / 8 \pi) \int\left(\mathbf{E}^{2}+\mathbf{H}^{2}\right) d \tau$.

Квантовые уравнения.
Квантование классического электромагнитного поля производится следующим образом. Будем исходить из гамильтониана (48.7) и канонических переменных поля А, P.

Подобно классическому случаю, третье уравнение Максвелла нужно рассматривать как дополнительное условие. Если в какойлибо момент времени $\operatorname{div} \mathbf{P}=0$, то это соотношение будет выполняться и в любой другой момент времени, так как производная от него по времени равна нулю. Тогда из (48.9) видно, что производная по времени от div $\mathbf{A}$ всегда равна нулю, т. е. что $\operatorname{div} \mathbf{A}$ сохраняется. Удобно воспользоваться оставшейся у нас свободой в выборе калибровки так, чтобы в некоторый момент времени $\operatorname{div} \mathbf{A}$ была всюду равна нулю. Тогда $\operatorname{div} \mathbf{A}$ будет равна нулю всюду и в любой момент времени. Ясно, однако, что это дополнительное условие не совместимо с правилами перестановки (48.8). Например, поскольку $\operatorname{div} \mathbf{P}=0$, коммутатор $A_{x}$ и $\operatorname{div} \mathbf{P}$ должен был бы обращаться в нуль ; однако в силу (48.8) он равен
\[
\left[A_{x}(\mathbf{r}, t), \operatorname{div}^{\prime} \mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=i \hbar \frac{\partial}{\partial x^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\]

Возникновение такого несоответствия не может вызывать удивления. Действительно, в уравнении (48.8) предполагается существование трех независимых пар канонических переменных, в то время как условия $\operatorname{div} \mathbf{P}=0$ и $\operatorname{div} \mathbf{A}=0$ оставляют только две линейно независимые пары. Поэтому следует изменить правила перестановки так, чтобы они соответствовали дополнительному условию.

Это сделано в задаче 2. Оказывается, что коммутатор $\mathbf{A}(\mathrm{r}, t)$ и $\mathbf{P}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)$ не обращается в нуль при конечных значениях $\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}$. На первый взгляд могло бы показаться что это противоречит физическому принципу, согласно которому измерения, проводимые в один и тот же момент времени в различных точках пространства, не должны влиять друг на друга (см. § 47). Однако векторный потенциал А сам по себе не является физической величиной; непосредственно доступны измерению только напряженности электрического и магнитного полей. Покажем теперь с помощью (48.8), что правила перестановки для Е и Н удовлетворяют названному принципу и, кроме того, согласуются с дополнительным условием $\operatorname{div} \mathbf{E}=0$. Можно показать также (см. задачу 3), что такие же результаты получатся, если воспользоваться видоизмененными правилами перестановки, приведенными в задаче 2.

Правила перестановки для Е и Н.
Напряженности электрического и магнитного полей определяются соотношениями
\[
\mathbf{E}=-4 \pi c \mathbf{P}, \quad \mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A} .
\]

Пусть правила перестановки для А и Р имеют вид (48.8). Сразу же видно, что
\[
\left[\mathrm{E}_{s}(\mathbf{r}, t), \mathrm{E}_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=\left[\mathrm{H}_{s}(\mathbf{r}, t), \mathrm{H}_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=0
\]

где индексы $s, s^{\prime}$ принимают значения $x, y, z$. Коммутатор параллельных составляющих Е и Н равен
\[
\left[\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r}, t), \mathrm{H}_{x}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=-4 \pi c\left\{P_{x},\left(\frac{\partial A_{z}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial A_{y}^{\prime}}{\partial z^{\prime}}\right)\right]=0
\]
(аналогичное соотношение имеет место для $y$-и $z$-компонент). С другой стороны, для перпендикулярных составляющих Е и $\mathbf{H}$ мы получим
\[
\begin{aligned}
{\left[\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r}, t), \mathrm{H}_{y}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=-4 \pi c\left[P_{x},\left(\frac{\partial A_{x}^{\prime}}{\partial z^{\prime}}-\frac{\partial A_{z}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}\right)\right]=} \\
=-4 \pi c \frac{\partial}{\partial z^{\prime}}\left[P_{x}, A_{x}^{\prime}\right]=4 \pi c i \hbar \frac{\partial}{\partial z^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Аналогичные соотношения дпя других пар компонент получаются циклической перестановкой $x, y, z$.

Из (48.11) сразу же следует, что div $\mathbf{E}$ коммутирует со всеми компонентами Е. При помощи (48.13) можно найти коммутатор $\operatorname{div} \mathbf{E}$ с компонентами $\mathbf{H}$ :
\[
\begin{aligned}
{\left[\operatorname{div} \mathbf{E}, \mathrm{H}_{x}^{\prime}\right] } & =\left[\frac{\partial \mathrm{E}_{y}}{\partial y}, \mathrm{H}_{x}^{\prime}\right]+\left[\frac{\partial \mathrm{E}_{z}}{\partial z}, \mathrm{H}_{x}^{\prime}\right]= \\
& =4 \pi c i \hbar\left[-\frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)+\frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Поскольку
\[
\frac{\partial}{\partial y^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right)=-\frac{\partial}{\partial y} \delta\left(\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}\right),
\]

правая часть (48.14) обращается в нуль. Таким образом, $\operatorname{div} \mathbf{E}$ коммутирует с Е и Н и, следовательно, с гамильтонианом, который, согласно (48.7), можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{8 \pi} \int\left(\mathbf{E}^{2}+\mathbf{H}^{2}\right) d \tau .
\]

Это означает, что div $\mathrm{E}$ представляет собой интеграл движения. Следовательно, если эта вегичина в какой-либо момент времени всюду равна нулю, то она обращается в нуль и во всех пространственновременных точках.

Как и следовало ожидать, вместо первоначально развитого қанонического формализма, основанного на переменных Аи и , можно использовать правила перестановки (48.11) – (48.13) и выражение для гамильтониана (48.15). Мы уже видели, что $\operatorname{div} \mathbf{E}$ является интегралом движения. Аналогичный расчет показывает, что сохраняется и div $\mathbf{H}$, так что ее тоже можно сделать равной нулю во всех пространственно-временных точках. Тогда

первые два уравнения Максвелла (48.1) получаются как частные случаи общего уравнения движения (45.23) (см. задачу 5) :
\[
\begin{array}{l}
i \hbar \dot{\mathrm{E}}_{x}=\left[\mathrm{E}_{x}, H\right]=\frac{1}{8 \pi} \int\left[\mathrm{E}_{x},\left(\mathrm{H}_{y}^{\prime 2}+\mathrm{H}_{z}^{\prime 2}\right)\right] d \tau^{\prime}=i \hbar c(\operatorname{rot} \mathrm{H})_{x}, \\
i \hbar \dot{\mathrm{H}}_{x}=\left[\mathrm{H}_{x}, H\right]=\frac{1}{8 \pi} \int\left[\mathrm{H}_{x},\left(\mathrm{E}_{y}^{\prime 2}+\mathrm{E}_{z}^{\prime 2}\right)\right] d \tau^{\prime}=-i \hbar c(\operatorname{rot} \mathrm{E})_{x} .
\end{array}
\]

Представление через плоские волны.
В ряде применений оказывается полезным представление потенциалов и полей при помощи полной ортонормированной системы плоских волн. Последние представляют собой векторные функции r, поляризованные перпендикулярно волновому вектору (так что выполняются условия $\operatorname{div} \mathbf{A}=\operatorname{div} \mathbf{P}=0$ ), и имеют вид
\[
\mathbf{u}_{\mathbf{k} \lambda}(\mathbf{r})=L^{-3 / 2} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}, \quad \lambda=1,2 .
\]

Векторы k выбираются в соответствии с (11.3), так что функции $\mathbf{u}_{\mathbf{k} \lambda}$ удовлетворяют периодическим граничным условиям на стенках куба объемом $L^{3}$. Величины $\varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}$ представляют собой единичные векторы, образующие вместе с $\mathbf{k}$ правовинтовую систему, так что $\mathbf{k} \cdot \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}=0$ и div $\mathbf{u}_{\mathbf{k} \lambda}=0$. Легко проверить, что условие ортонормированности принимает вид
\[
\int \overline{\mathbf{u}}_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \mathbf{u}_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}} d \tau=\delta_{\mathbf{k} \mathbf{k}^{\prime}} \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}
\]

Разложим А и $\mathbf{P}$ по функциям $\mathbf{u}_{\mathrm{k} \lambda}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\sum_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}\left[q_{\mathbf{k} \lambda}(t) \mathbf{u}_{\mathbf{k} \lambda}(\mathbf{r})+q_{\mathbf{k} \lambda}^{*}(t) \overline{\mathbf{u}}_{\mathbf{k} \lambda}(\mathbf{r})\right], \\
\mathbf{P}(\mathbf{r}, t)=\sum_{\mathbf{k} \lambda}\left[p_{\mathbf{k} \lambda}(t) \mathbf{u}_{\mathbf{k} \lambda}(\mathbf{r})+p_{\mathbf{k} \lambda}^{*}(t) \overline{\mathbf{u}}_{\mathbf{k} \lambda}(\mathbf{r})\right] .
\end{array}
\]

Операторы $q_{\mathbf{k} \lambda}^{*}$ и $p_{\mathbf{k} \lambda}^{*}$ эрмитово сопряжены соответственно с $q_{\mathbf{k}} \lambda$ и $p_{\mathrm{k} \lambda}$, так что операторы А и Р эрмитовы. Штрихи показывают, что суммирование производится по половине $\mathbf{k}$-пространства, вследствие чего плоские волны $\overline{\mathbf{u}}_{\mathbf{k} \lambda}$ не совпадают с $\mathbf{u}_{-\mathbf{k}} \lambda$.
Возьмем правила перестановки для $q$ и $p$ в виде
\[
\left[q_{\mathbf{k} \lambda}(t), p_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}^{*}(t)\right]=\left[q_{\mathrm{k} \lambda}^{*}(t), p_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}(t)\right]=i \hbar \delta_{\mathbf{k k}^{\prime}} \delta_{\lambda^{\prime} \lambda}
\]
(все другие пары коммутируют) и убедимся, что отсюда вытекают должные правила перестановки для А и Р. Очевидно, что
\[
\left[A_{s}(\mathbf{r}, t), A_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=\left[P_{s}(\mathbf{r}, t), P_{\mathbf{s}^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=0 .
\]

На основании (48.17) и (48.18) мы получим также
\[
\begin{aligned}
{\left[A_{s}(\mathbf{r}, t), P_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right] } & =\sum_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime} \sum_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}^{\prime}\left\{\left[q_{\mathbf{k} \lambda}(t), p_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda}^{*}(t)\right] u_{\mathbf{k} \lambda, s}(\mathbf{r}) \bar{u}_{\mathbf{k}^{\prime} \cdot \lambda^{\prime}, s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+\right. \\
& \left.+\left[q_{\mathbf{k} \lambda}^{*}(t), p_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}(t)\right] \bar{u}_{\mathbf{k} \lambda, s}(\mathbf{r}) u_{\mathbf{k} \lambda^{\prime \prime}, s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right\}= \\
& =i \hbar L^{-3} \sum_{\mathbf{k} \lambda} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s^{\prime}} e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)}
\end{aligned}
\]

Индексы $s, s^{\prime}$ означают декартовы компоненты векторов; у последней суммы в (48.19) штрих отсутствует, так как сумма со штрихом по $\mathbf{k}$ и -k эквивалентна обычному суммированию по всему $\mathbf{k}$-пространству.

При наличии трех взаимно перпендикулярных векторов $\varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}$ три числа $\varepsilon_{\mathbf{k} \lambda \text {, s }}$ представляли бы собой направляющие косинусы, характеризующие направление $s$; при этом мы имели бы $\sum_{\lambda}^{2} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s^{\prime}}=\delta_{s s^{\prime}}$. Поскольку фактически имеется только два единичных вектора $\varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}$, перпендикулярных друг другу и k, можно написать
\[
\sum_{\lambda} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s^{\prime}}=\delta_{s s^{\prime}}-\frac{k_{s} k_{s^{\prime}}}{k^{2}} .
\]

Мы имеем также
\[
k_{s} k_{s^{\prime}} e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)}=\frac{\partial}{\partial r_{s}} \frac{\partial}{\partial r^{\prime}} e^{i} e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)} .
\]

Подставляя эти выражения в (48.19) и переходя при больших $L$ от суммирования к интегрированию $\left(L^{-3} \sum_{k} \rightarrow(2 \pi)^{-3} \int d \tau_{k}\right)$, можно переписать (48.19) в виде
\[
\begin{aligned}
{\left[A_{s}(\mathbf{r}, t), P_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)=\right.} & i \hbar \delta_{s s^{\prime}}\left[(2 \pi)^{-3} \int e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)} d \tau_{k}\right]- \\
& -i \hbar \frac{\partial}{\partial r_{s}} \frac{\partial}{\partial r^{\prime}{ }_{s^{\prime}}}\left[(2 \pi)^{-3} \int \frac{1}{k^{2}} e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)} d \tau_{k}\right]
\end{aligned}
\]

здесь первое выражение в квадратных скобках равно $\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)$ второе слагаемое представляет собой функцию Грина $G_{0}\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^{\prime}\right)$ определяемую равенством (26.12). Согласно (26.15), она равна $\left(4 \pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|\right)^{-1}$. Таким образом, коммутатор (48.20) принимает вид $\left[A_{s}(\mathbf{r}, t), P_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=i \hbar \delta_{s s^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)-\frac{i \hbar}{4 \pi} \frac{\partial}{\partial r_{s}} \frac{\partial}{\partial r^{\prime} s^{\prime}}\left(\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}\right)$,

что соответствует предположению, сделанному в задаче 2. Остальные коммутаторы обращаются в нуль. Этим подтверждается правильность выбора правил перестановки (48.18).

Равенства (48.25) и (48.26) позволяют найти $a$ и $a^{*}$ :
\[
\begin{array}{l}
a_{\mathbf{k} \lambda}=\frac{1}{2}\left(q_{\mathbf{k} \lambda}+\frac{4 \pi i c}{k} p_{\mathbf{k} \lambda}\right) e^{i k c t}, \\
a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime *}=\frac{1}{2}\left(q_{\mathbf{k} \lambda}-\frac{4 \pi i c}{k} p_{\mathbf{k} \lambda}\right) e^{-i k c t} .
\end{array}
\]

Аналогичные соотношения имеют место и для эрмитово сопряженных операторов. На основании (48.27) и (48.18) можно найти правила перестановки для $a, a^{*}$ :
\[
\left[\begin{array}{ll}
a_{\mathbf{k} \lambda}, & a_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}^{*}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}, & a_{\mathbf{k}^{\prime} \lambda^{\prime}}^{\prime *}
\end{array}\right]=\frac{2 \pi \hbar c}{k} \delta_{\mathbf{k k}^{\prime}} \delta_{\lambda \lambda^{\prime}}
\]
(все другие пары операторов коммутируют). Эти соотношения, как и следовало ожидать, не зависят от времени.
Подставляя (48.25) и (48.26) в гамильтониан (48.22), получаем
\[
H=\sum_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime} \frac{k^{2}}{2 \pi}\left(a_{\mathbf{k} \lambda} a_{\mathbf{k} \lambda}^{*}+a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime *} a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}\right) .
\]

Если, по определению, положить
\[
N_{\mathbf{k} \pi}=\frac{k}{2 \pi \hbar c} a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} a_{\mathbf{k} \lambda}, \quad N_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}=\frac{k}{2 \pi \hbar c} a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime *} a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime},
\]

то из результатов \& 46 следует, что собственные значения операторов $N_{\mathbf{k} \bar{\lambda}}$ и $N_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}$ равны $0,1,2, \ldots$ Гамильтониан (48.29) в переменных $N$ принимает вид
\[
H=\sum_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime} \hbar c k\left(N_{\mathbf{k} \lambda}+N_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}+1\right) .
\]

Из выражений (48.23) и (48.25) видно, что $a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}$ можно отождествить с $a_{-\mathbf{k} \lambda}$, а $N_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime}-$ c $N_{-\mathbf{k} \lambda}$. Тогда в сумме (48.31) можно отказаться от суммирования только по половине $k$-пространства, и мы получаем окончательно
\[
H=\sum_{\mathbf{k} \tilde{\lambda}} \hbar c k\left(N_{\mathbf{k} \lambda}+\frac{1}{2}\right) \cdot
\]

Равенство (48.32) эквивалентно квантовой гипотезе Планка: энергия каждой плоской электромагнитной волны составляет целое кратное элементарного кванта $h v=\hbar k c$. Однако, кроме энергии квантов, имеется еще нулевая энергия гармонических осцилляторов. Каждое состояние поля вносит в нее вклад, равный половине кванта, а так как число состояний бесконечно, то бесконечна и нулевая энергия. Однако появление ее не встречает возражений, так как она не взаимодействует с заряженными частицами ${ }^{1}$.

В силу (48.17) и (48.25) имеем
\[
\begin{aligned}
A(\mathbf{r}, t) & =L^{-3 / 2} \sum_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}\left[\left(a_{\mathbf{k} \lambda} e^{-i k c t}+a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime *} e^{i k c t}\right) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\right. \\
& \left.+\left(a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} e^{i k c t}+a_{\mathbf{k} \lambda}^{\prime} e^{-i k c t}\right) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right]= \\
& =L^{-3 / 2} \sum_{\mathbf{k} \lambda} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}\left[a_{\mathbf{k} \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}+a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}\right] .
\end{aligned}
\]

Здесь опять отождествление $a_{\mathrm{k} \lambda}^{\prime}$ с $a_{-\mathbf{k} \bar{\lambda}}$ позволяет производить суммирование по всем значениям к. Легко видеть, что выражение (48.35) для векторного потенциала является эрмитовым, как это и должно быть. Из соотношений (48.34) следует, что величины $a_{\mathrm{k} \lambda}$ и $a_{\mathrm{k} \lambda}^{*}$ представляют собой соответственно операторы уничтожения и порождения светового кванта в состоянии $\mathbf{k}$, $\lambda$. Поэтому линейный по А член в гамильтониане описывает испускание и поглощение световых кванто̀в.

Правила перестановки операторов, взятых в различные моменты времени.
Правила перестановки (48.11)-(48.13) для компонент Е и Н интересно обобщить на случай различных моментов времени ${ }^{1}$. Как и в случае квантованного уравнения Дирака (§ 47), полученные результаты показывают, при каких условиях измерения электромагнитного поля в различных пространственно-временных точках влияют друг на друга.
Подобно (48.35), легко выразить Е и Н через операторы $a_{\mathrm{k} \lambda}$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t)=L^{-3 / 2} \sum_{\mathbf{k} \lambda} i k \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}\left[a_{\mathbf{k} \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}-a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}\right], \\
\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)=L^{-3 / 2} \sum_{\mathbf{k} \lambda} i\left(\mathbf{k} \times \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda}\right)\left[a_{\mathbf{k} \lambda} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}-a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} e^{-i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-k c t)}\right] .
\end{array}
\]

В силу (48.28) коммутатор двух декартовых компонент напряженности электрического поля равен
\[
\begin{array}{c}
{\left[\mathrm{E}_{s}(\mathbf{r}, t), \mathrm{E}_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]=L^{-3} \sum_{\mathbf{k} \lambda} 4 \pi i \hbar c k \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda, s^{\prime}} \sin (\mathbf{k} \cdot \rho-k c \tau),} \\
\rho=\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}, \quad \tau=t-t^{\prime} .
\end{array}
\]

Суммирование по состояниям поляризации $\lambda$ можно провести так же, как и в случае (48.19):
\[
\begin{array}{l}
\sum_{\lambda} \varepsilon_{\mathrm{k} \lambda, s} \varepsilon_{\mathrm{k} \lambda, s^{\prime}} \sin (\mathbf{k} \cdot \varrho-k c \tau)=\frac{1}{k^{2}}\left(k^{2} \delta_{s s^{\prime}}-k_{s} k_{s^{\prime}}\right) \sin (\mathbf{k} \cdot \varrho-k c \tau)= \\
=\frac{1}{k^{2}}\left[\frac{\delta_{s s^{\prime}}}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial t^{\prime}}-\frac{\partial}{\partial r_{s}} \frac{\partial}{\partial r^{\prime}{ }_{s^{\prime}}}\right] \sin (\mathbf{k} \cdot \rho-k c \tau) . \\
\end{array}
\]