Квантовая теория излучения состоит в рассмотрении по методу возмущений члена $е \alpha$. А (а часто и члена $Z e^{2} / r$ ) в гамильтониане (49.15). Производились расчеты ряда физически интересных процессов, описывающихся выражениями различного порядка относительно электрического заряда $e^{1 \text { ). }}$. В большинстве случаев нет необходимости пользоваться квантованным уравнением Дирака [что предполагается в (49.15)]. Действительно, обычно в каждый

данный момент времени рассматривается только один электрон и можно пользоваться теорией § 43.

В настоящем параграфе будут рассмотрены только простейшие процессы испускания и поглощения света атомом, причем мы по-прежнему будем пользоваться полным аппаратом теории квантованных полей. Будем считать, что взаимодействие рассматриваемого электрона с атомным ядром и с другими электронами можно описать с помощью эффективной потенциальной энергии $V(r)$ типа Хартри (см. § 38). Получаемые выражения совпадают с найденными в гл. X полуклассическим путем. В конце этого параграфа будет показано, каким образом с помощью квантовой электродинамики можно дать количественное объяснение диффракционного опыта, рассматривавшегося в § 2. Уравнения (49.15) или (50.2) описывают как волновые свойства излучения (появление диффракционной қартины), так и его корпускулярные свойства (ионизация атома в результате поглощения светового кванта).

Формулировқа в терминах вероятностей переходов.
Квантовая теория поля, развивавшаяся в последних двух главах, основывалась исключительно на гейзенберговской форме уравнений движения для компонент поля (ср. § 23). При таком подходе в центре внимания находятся не состояния системы, а динамические переменные. Однако теперь задача состоит в вычислении вероятностей переходов между состояниями системы электронов и электромагнитного поля, что позволит найти число квантов, испускаемых и поглощаемых атомом в единицу времени. Для этой цели можно воспользоваться нестационарной теорией возмущений (см. § 29), развитой впервые Дираком [14] как раз в связи с данной задачей.

Состояния поля характеризуются волновыми функционалами, подчиняющимися уравнениям типа Шредингера:
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \dot{\Psi}=H \Psi, \\
-i \hbar \dot{\Psi}^{*}=\Psi^{*} H,
\end{array}
\]

где гамильтониан $H$ дается выражением (49.15). В связи с этим можно показать, что временная зависимость матриц, характеризующих динамические переменные типа $\psi$ и А, обусловлена соответствующей зависимостью волновых функционалов $\Psi$, применяемых при вычислении матричных элементов (см. задачу 16 гл. XIII). Таким образом, теперь зависимость динамических переменных от времени переносится на волновые функционалы.

Прежде чем идти дальше, упростим гамильтониан, приближенно изобразив действие ядра и других электронов на данный электрон при помощи потенциальной энергии типа Хартри $V(r)$. Тогда выражение (49.15) примет вид
\[
\begin{array}{c}
H=H_{0}+H^{\prime}, \\
H_{0}=\int \psi^{*}\left[i \hbar c \alpha \cdot \operatorname{grad} \psi+V(r) \psi-m c^{2} \beta \psi\right] d \tau+ \\
+\int\left[2 \pi c^{2} \mathbf{P}_{1}^{2}+\frac{1}{8 \pi}(\operatorname{rot} \mathbf{A})^{2}\right] d \tau, \\
H^{\prime}=e \int \psi^{*} \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{A} \psi d \tau .
\end{array}
\]

Невозмущенный гамильтониан $H_{0}$ перепишем в другом виде, разложив А по плоским волнам, а $\psi$ по собственным функциям уравнения (49.17), в котором ядерный потенциал $-Z e^{2} / r$ заменяется на $V(r)$. При помощи (49.20) и (48.32) получим
\[
\begin{array}{l}
H_{0}=\sum_{n} N_{n} E_{n}+\sum_{\mathrm{k} \lambda} \hbar c k\left(N_{\mathrm{k} \lambda}+\frac{1}{2}\right), \\
N_{n}=b_{n}^{*} b_{n}, \quad N_{\mathbf{k} \lambda}=\frac{k}{2 \pi \hbar c} a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} a_{\mathbf{k} \lambda} .
\end{array}
\]

Правила перестановки определяются соотношениями и (48.28):

Операторы $a$ и $b$ коммутируют друг с другом.
Энергию возмущения $H^{\prime}$ также можно переписать в другом виде при помощи разложений (49.18) и (48.35). Поскольку теперь переменные поля зависят от времени только через волновые функционалы, в этих разложениях можно приравнять $t$ произвольной постоянной (например, положить $t=0$ ). В результате получим
\[
\begin{aligned}
H^{\prime}=e L^{-3 / 2} \sum_{n n^{\prime} \mathbf{k} \lambda} \int \sum_{j l} & b_{n}^{*} \bar{w}_{j}(n, \mathbf{r}) \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \alpha_{j l} \times \\
& \times\left(a_{\mathbf{k} \lambda} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+a_{\mathbf{k} \lambda}^{*} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right) b_{n^{\prime}} w_{l}\left(n^{\prime}, \mathbf{r}\right) d \tau .
\end{aligned}
\]

Чтобы определить невозмущенные волновые функционалы, нужно задать квантовые числа $n$ для состояний, занятых электронами, а также числа световых квантов $n_{\mathbf{k} \lambda}$ с данным волновым вектором и поляризацией:
\[
\begin{array}{l}
N_{n} \Psi=\left\{\begin{array}{l}
\Psi, \text { если состояние } n \text { занято, } \\
0, \text { если состояние } n \text { свободно. }
\end{array}\right. \\
N_{\mathrm{k} \lambda} \Psi=n_{\mathrm{k} \lambda} \Psi .
\end{array}
\]

Тогда из уравнений (50.1) (где оператор $H$ заменен на $H_{0}$ ), (50.3) и (50.5) следует, что $\Psi$ гармонически зависит от времени с часто-

Матричные элементы оператора возмущения.

В нерелятивистском случае приближенное выражение для (50.8) можно получить, заменяя одноэлектронные волновые функции Дирака $w_{j}(n, \mathbf{r})$ на волновые функции Шредингера $w_{n}(\mathbf{r})$. Из соотношения (43.21) и результата задачи 6 гл. XII следует, что оператор скорости равен – $\alpha$; в нерелятивистском случае его можно заменить на ( $-i \hbar / m$ ) grad. Тогда матричный элемент (50.8) примет вид
\[
H_{21}^{\prime}=\frac{i e \hbar}{m c} L^{-3 / 2}\left(\frac{2 \pi \hbar c n_{\mathrm{k}} \lambda}{k}\right)^{1 / 2} \int \widetilde{w}_{n}(\mathbf{r}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathrm{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n^{\prime}}(\mathbf{r}) d \tau .
\]

Множитель $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ можно поместить как до оператора grad, так и после него, поскольку в подинтегральное выражение входит только компонента градиента в направлении вектора $\varepsilon_{\mathrm{k} \lambda}$, перпенидкулярного $\mathbf{k}$.

Вероятность перехода с поглощением.
В дальнейшем мы будем пользоваться нерелятивистским приближением, так как получающиеся в этом случае результаты допускают непосредственное сравнение с результатами гл. Х. Амплитуда некоторого волнового функционала в момент времени $t$ дается формулой (29.9), откуда, принимая во внимание (50.9), получаем (отнесенную к единице времени) полную вероятность поглощения светового кванта в состоянии $\mathbf{k}, \lambda$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{t} \sum_{\mathbf{k} \lambda} \frac{4\left|H_{21}^{\prime}\right|^{2}}{\hbar^{2}} \frac{\sin ^{2}\left(\omega_{21} t / 2\right)}{\omega_{21}^{2}}= \\
=\sum_{\mathbf{k} \lambda} \frac{8 \pi e^{2} \hbar n_{\mathbf{k}} \lambda}{m^{2} \omega L^{3}}\left|\int \bar{w}_{n} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{\mathbf{k} \lambda}} \cdot \operatorname{grad} w_{n^{\prime}} d \tau\right|^{2} \frac{\sin ^{2}\left(\omega_{21} t / 2\right)}{\omega_{21}^{2} t} . \\
\omega \equiv k c .
\end{array}
\]

Предположим теперь, как и в § 35, что состояния $n$ и $n^{\prime}$ принадлежат дискретному спектру, а частоты $\omega$ падающего излучения распределены в некотором интервале около точки $\left(E_{n}-E_{n^{\prime}}\right) / \hbar$. Тогда излучение можно охарактеризовать его интенсивностью $I(\omega) d \omega$ в бесконечно малом интервале частот $d \omega$. Суммирование по состояниям поля излучения $\mathbf{k}, \lambda$ удобно заменить интегрированием по $\omega$. Қаждый квант дает вклад $\hbar \omega / L^{3}$ в плотность энергии, что соответствует возрастанию интенсивности на величину $\hbar c \omega / L^{3}$. Поэтому можно заменить сумму $\sum_{\mathbf{k} \lambda}\{\quad\} n_{\mathbf{k} \lambda}$ интегралом
\[
\int\{\quad\} \frac{L^{3} I(\omega) d \omega}{\hbar c \omega} .
\]

Зависящий от времени множитель в правой части (50.10) имеет резкий максимум при $\omega_{21}=0$, что в силу (50.7) эквивалентно равенству
\[
\hbar \omega=E_{n}-E_{n^{\prime}} .
\]

Другие множители изменяются относительно медленно; после замены (50.11) их можно вынести за знак интеграла по $\omega$, который тогда принимает вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ^{2}\left(\omega_{21} t / 2\right)}{\omega_{21}^{2} t} d \omega_{21}=\frac{1}{2} \pi .
\]

Поэтому для вероятности поглощения (50.10) находим
\[
\frac{4 \pi^{2} e^{2} I(\omega)}{m^{2} c \omega^{2}}\left|\int \bar{w}_{n} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n^{\prime}} d \tau\right|^{2},
\]

что совпадает с соответствующим выражением (35.17), полученным в гл. X.

Вероятность перехода с излучением.
Соотношение (50.7) означает, что в состоянии $n$ электрон обладает большей энергией, чем в $n^{\prime}$. Теперь мы можем найти (отнесенную к единице времени) вероятность перехода электрона из состояния $n$ в $n^{\prime}$ с излучением одного светового кванта. При этом существен член с $a_{\mathrm{k} \lambda}^{*}$ в (50.4), и матричный элемент, аналогичный (50.9), имеет вид
\[
\frac{i e \hbar}{m c} L^{-3 / 2}\left(\frac{2 \pi \hbar c\left(n_{\mathbf{k} \lambda}+1\right)}{k}\right)^{1 / 2} \int \bar{w}_{n^{\prime}} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n} d \tau,
\]

где $n_{\mathbf{k} \lambda}$ представляет число световых квантов, первоначально имевшихся в электромагнитном поле в состоянии $\mathbf{k}, \lambda$. Расчет, аналогичный тому, который привел нас от формулы (50.9) к (50.12), дает следующее выражение для вероятности излучения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{4 \pi e^{2} I(\omega)}{m^{2} c \omega^{2}}\left|\int \bar{w}_{n^{\prime}} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n} d \tau\right|^{2}+ \\
\quad+\sum_{\mathbf{k} \lambda} \frac{8 \pi e^{2} \hbar}{m^{2} \omega L^{3}}\left|\int \bar{w}_{n^{\prime}} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n} d \tau\right|^{2} \frac{\sin ^{2}\left(\omega_{21} t / 2\right)}{\omega_{21}^{2} t} .
\end{array}
\]

Два члена здесь, очевидно, обусловлены соответственно слагаемыми $n_{\mathbf{k} \lambda}$ и 1 в множителе $\left(n_{\mathbf{k} \lambda}+1\right)^{1 / 2}$, фигурирующем в (50.13). Первый член, пропорциональный интенсивности падающего излучения, совпадает с выражением (35.19) для вероятности вынужденного излучения. Второй член не зависит от интенсивности первоначально имевшегося излучения; покажем теперь, что он совпадает с вероятностью спонтанного излучения, полученной в гл. X.

Для упрощения второго члена в (50.14) заменим суммирование по $\mathbf{k}$ интегрированием по $\omega$ или по $\omega_{21}$. Для этого нужно

вычислить число состояний электромагнитного поля с круговой частотой в интервале от $\omega$ до $\omega+d \omega$. В § 11 при рассмотрении периодических граничных условий было показано [см. (11.3)], что число плоских волн с волновыми векторами в интервале $d k_{x} d k_{y} d k_{z}$ равно $(L / 2 \pi)^{3} d k_{x} d k_{y} d k_{z}$. Поэтому, если в некоторой фиксированной системе координат направление волнового вектора $\mathbf{k}$ характеризовать полярными углами $\theta, \varphi$, то число плоских волн с круговой частотой в интервале $d \omega$ и направлением распространения в телесном угле $d \theta d \varphi$ будет равно
\[
\left(\frac{L^{3} \omega^{2}}{8 \pi^{3} c^{3}}\right) \sin \theta d \theta d \varphi d \omega .
\]

Как и раньше, во втором члене (50.14) можно произвести интегрирование по $\omega$; в результате получим
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sum}{\lambda} \frac{e^{2} \hbar \omega}{2 \pi m^{2} c^{3}}\left|\int \bar{w}_{n^{\prime}} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \operatorname{grad} w_{n} d \tau\right|^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
\]

Выражение под знаком суммы в (50.15) представляет собой (отнесенную к единице времени) вероятность спонтанного излучения светового кванта с волновым вектором $\mathbf{k}$ и поляризацией $\lambda$ в угловой интервал $d \theta d \varphi$. Следовательно, выражение (50.15) дает полную вероятность спонтанного излучения при переходе $n \rightarrow n^{\prime}$. Чтобы сравнить еe с соответствующим выражением в § 36, рассмотрим частный случай дипольного излучения, заменяя в связи с этим в подинтегральном выражении $e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ на единицу, a grad на – $(m \omega / \hbar)$ r [см. (35.20)]. Тогда получим
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \sum_{\lambda} \frac{e^{2} \omega^{3}}{2 \pi \hbar c^{3}}\left|\varepsilon_{\mathbf{k} \lambda} \cdot \int \bar{w}_{n^{\prime}} \mathbf{r} w_{n} d \tau\right|^{2} \sin \theta d \theta d \varphi .
\]

Направления поляризации волнового вектора можно выбирать как угодно, лишь бы они были перпендикулярны друг другу и вектору k. Пусть одно из них лежит в плоскости векторов $\mathbf{k}$ и матричного элемента (r) $n_{n^{\prime} n}$, а другое – в плоскости, перпендикулярной ей. Тогда будет иметь место излучение только в первом направлении, и в подинтегральное выражение войдет множитель $\sin ^{2} \theta$, где $\theta$-угол между $\mathbf{k}$ и (r) $)_{n^{\prime} n}$. Таким образом, поляризация и угловое распределение испускаемого излучения согласуются с найденными в § 36. Полная вероятность спонтанного дипольного излучения в силу (50.16) составляет
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{e^{2} \omega^{3}}{2 \pi \hbar c^{3}} \sin ^{2} \theta\left(\overline{\bar{w}_{n^{\prime}} \mathbf{r} w_{n} d \tau} \cdot \int \bar{w}_{n^{\prime}} \mathrm{r} w_{n} d \tau\right) \sin \theta d \theta d \varphi= \\
=\frac{4 e^{2} \omega^{3}}{3 \hbar c^{3}}\left|(\mathbf{r})_{n^{\prime} n}\right|^{2},
\end{array}
\]

что совпадает с выражением (36.22).

В квантовой электродинамике вероятности спонтанного и вынужденного излучения получаются единым образом, тогда как в гл. X они вычислялись совершенно различными способами. Қак указывалось выше, спонтанное испускание связано с наличием единицы под знаком корня $\left(n_{\mathbf{k} \lambda}+1\right)^{\frac{1}{2}}$, фигурирующего во второй из формул (48.34). Эта единица в свою очередь получается из правил перестановки (48.28), так что здесь мы имеем дело с чисто квантовым эффектом. С формальной точки зрения можно сказать, что вероятность спонтанного излучения равна вероятности вынужденного излучения, которое имело бы место при наличии в каждом состоянии электромагнитного поля по одному кванту (см. задачу 4 гл. Х). Но, согласно (48.32), наименьшая возможная энергия поля соответствует наличию половины кванта в каждом состоянии. Это наводит на мысль, что спонтанное излучение можно было бы рассматривать как результат действия нулевых колебаний электромагнитного поля. Однако нужно отметить, что в отношении переходов с излучением эти колебания оказываются вдвое эффективнее настоящих квантов, а поглощаться они вообще не могут.

Анализ диффрақционного опыта.
В качестве [последнего примера рассмотрим диффракционный опыт, обсуждавшийся в § 21). Чтобы по возможности упростить вычисления, оставим в установке, изображенной на фиг. 1, только существенные части. Таковыми являются источник света $\mathcal{S}$, диафрагма с двумя щелями $A$ и приемник света, который можно располагать в различных точках плоскости $B$. Будем считать, что источником служит возбужденный атом, способный испускать световой квант. Пусть роль приемника играет атом другого типа, находящийся в основном состоянии и ионизующийся при поглощении кванта, испускаемого атомом-источником (фотоэффект). Диафрагма предполагается сделанной из идеально отражающего материала. Атомным строением диафрагмы мы пренебрегаем; роль ее сводится просто к наложению определенных граничных условий на электромагнитное поле.

Интересующий нас физический процесс состоит в том, что первоначально возбужденный атом-источник испускает световой квант, а атом-детектор поглощает его и ионизуется. Однако фактически самый процесс перехода светового кванта нельзя наблюдать, не обращаясь к установке типа изображенной на фиг. 2, а такой эксперимент нас сейчас не интересует. Величиной, которую нам действительно нужно вычислить, является вероятность перехода из состояния, в котором атом-источник возбужден, атом-детектор находится в основном состоянии и кванты отсутствуют, в состояние, где атом-источник не возбужден, атом-приемник ионизован и кванты также отсутствуют. Зная указанную

вероятность, мы сумеем ответить на вопрос о том, как зависит вероятность ионизации от положения приемника на плоскости $B$, если источник света расположен в точке $S$. Мы увидим, что эта вероятность будет пропорциональна интенсивности, вычисляемой по классической электродинамике в предположении, что источник света находится в точке $S$. Таким образом, квантовая электродинамика описывает как диффракционную картину,характерную для световых волн, так и вырывание фотоэлектронов, характерное для световых квантов.

Из вида гамильтониана [формулы (50.2) и (50.3)] следует, что электроны различных атомов взаимодействуют друг с другом только через электромагнитное поле. Поэтому интересующий нас процесс описывается лишь вторым приближением теории возмущений ${ }^{1}$. Поскольку в начале и в конце кванты отсутствуют, в промежуточных состояниях имеется один квант, а атомы либо оба находятся в основных состояниях, либо источник возбужден, а приемник ионизован. Промежуточное состояние первого типа соответствует такому процессу, когда источник переходит в основное состояние, испуская световой квант, а детектор поглощает его и ионизуется. Поскольку в промежуточных состояниях энергия может и не сохраняться, энергия светового кванта не обязана совпадать с энергией возбуждения источника (см. § 29). Промежуточное состояние второго типа соответствует такому процессу, когда детектор ионизуется, испуская световой квант, а источник поглощает его и переходит в основное состояние. Ясно, что в этом случае в промежуточном состоянии энергия не может сохраняться. Матричный элемент второго порядка для всего процесса получается суммированием выражений типа (29.20) по всем возможным промежуточным состояниям светового кванта, принадлежащим к обоим типам.

Принципиальная сторона проводимых далее вычислений не зависит от частных особенностей опыта, схема которого изображена на фиг. 1. Мы не будем явно определять фактически получающуюся диффракционную картину; вместо этого будет показано, что квантовые и классические результаты совпадают для любой установки, состоящей из идеально отражающих диафрагм как со щелями, так и без них. Такой вывод не может вызвать удивления, так как уравнения Максвелла имеют одинаковый вид как в классической, так и в квантовой электродинамике. Тем не менее интересно явно проследить, каким образом получается это сов-

падение. Ниже будет показано, что при суммировании по промежуточным состояниям светового кванта получается выражение, эквивалентное решению электромагнитного волнового уравнения для точечного источника (функция Грина).

Представление электромагнитного поля.
В рассматриваемой задаче разложение напряженностей электрического и магнитного полей по плоским волнам, введенное в § 48 и применявшееся ранее в настоящем параграфе, оказывается неудобным, так как плоские волны не удовлетворяют должным граничным условиям на поверхности диафрагмы. Функции, удовлетворяющие этим условиям, очень сложны, и мы не будем пытаться найти для них явные выражения, а просто предположим, что они существуют и образуют полную систему и, следовательно, векторный потенциал можно разложить по ним. Предположение о том, что поверхность диафрагмы является идеально отражающей, означает, что, вообще говоря, эти функции должны быть вещественными. Помещая всю систему в большой, но конечный замкнутый ящик с идеально отражающими стенками, можно добиться того, чтобы наша система функций принадлежала дискретному спектру. Компоненты векторных функций $\mathbf{u}_{k}(\mathbf{r})$ в декартовой системе координат удовлетворяют волновому уравнению второго порядка
\[

abla^{2} u_{k s}+\frac{\omega_{k}^{2}}{c^{2}} u_{k_{s}}=0, \quad s=x, y, z,
\]

причем $\operatorname{div} \mathbf{u}_{k}=0$. Поскольку на идеально отражающей поверхности тангенциальные составляющие напряженности электрического поля и векторного потенциала обращаются в нуль, граничное условие имеет вид
\[
\mathbf{n} \times \mathbf{u}_{k}=0,
\]

где $\mathbf{n}$ – вектор нормали к поверхности диафрагмы или к стенкам ящика.

Покажем, что если эти функции принадлежат различным собственным значениям $\omega_{k}$, то они ортогональны. Для этой цели умножим уравнение (50.18) на $u_{k^{\prime} s}(\mathbf{r})$, соответствующее уравнение для $u_{k^{\prime} s}(\mathbf{r})$ – на $u_{k_{s}}(\mathbf{r})$, вычтем второе из первого и просуммируем результат по $s=x, y, z$. В результате с помощью теоремы Грина получим
\[
\int \sum_{s \sim x, y, z}\left(u_{k^{\prime} s} \frac{\partial u_{k s}}{\partial n}-u_{k_{s}} \frac{\partial u_{k^{\prime}}}{\partial n}\right) d A=\frac{\omega_{k^{\prime}}^{2}-\omega_{k}^{2}}{c^{2}} \int \mathbf{u}_{k^{\prime}} \cdot \mathbf{u}_{k} d \tau,
\]

где $\partial / \partial n$ означает компоненту градиента в направлении внешней нормали. Поверхностный интеграл в левой части равенства берется как по диафрагме, так и по стенкам ящика. Согласно условию (50.19), тангенциальные компоненты $\mathfrak{u}_{k}$ обращаются в нуль на граничных поверхностях, откуда следует, что и тангенциальные производные от этих компонент также равны нулю. Но, поскольку $\operatorname{div} \mathbf{u}_{k}=0$, производная по нормали от нормальной составляющей вектора $\mathbf{u}_{k}$ обращается в нуль. Следовательно, на граничных поверхностях вектор $\mathbf{u}_{k}$ перпендикулярен поверхности, а вектор $\partial \mathbf{u}_{k} / \partial n$ параллелен ей. Поэтому их скалярное произведение равно нулю, поверхностный интеграл в левой части (50.20) обращается в нуль, и если $\omega_{k^{\prime}}
eq \omega_{k}$, то $\int \mathbf{u}_{k^{\prime}} \cdot \mathbf{u}_{k} d \tau=0$. Равным образом и любые вырожденные решения (50.18) можно выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональны, и нормировать решения во всей области. Таким образом, мы имеем
\[
\int \mathbf{u}_{k^{\prime}} \cdot \mathbf{u}_{k} d \tau=\delta_{k k^{\prime}}
\]

Поступим теперь так же, как и в § 48, разлагая векторы А и $\mathbf{P}$ для поля в вакууме по функциям $\mathbf{u}_{k}$ :
\[
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t)=\sum_{k} q_{k}(t) \mathbf{u}_{k}(\mathbf{r}), \quad \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)=\sum_{k} p_{k}(t) \mathbf{u}_{k}(\mathbf{r}) .
\]

Здесь $q_{k}$ и $p_{k}$ представляют собой эрмитовы операторы, удовлетворяющие правилам перестановки
\[
\begin{array}{c}
{\left[q_{k}(t), p_{k^{\prime}}(t)\right]=i \hbar \delta_{k k^{\prime}},} \\
{\left[q_{k}(t), q_{k^{\prime}}(t)\right]=\left[p_{k}(t), p_{k^{\prime}}(t)\right]=0 .}
\end{array}
\]

Подставляя (50.22) в гамильтониан электромагнитного поля (48.7) и принимая во внимание (50.21), получаем
\[
H_{e m}=\sum_{k} 2 \pi c^{2} p_{k}^{2}+\frac{1}{8 \pi} \sum_{k l} q_{k} q_{l} \int\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{k}\right) \cdot\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{l}\right) d \tau .
\]

Интеграл в правой части можно упростить, интегрируя по частям
\[
\int\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{k}\right) \cdot\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{l}\right) d \tau=\int \mathbf{u}_{k} \cdot \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{u}_{l} \cdot d \tau
\]
(поверхностный интеграл обращается в нуль в силу граничных условий). Это выражение можно еще более упростить, если выразить $\mathbf{u}_{l}$ в декартовых координатах и воспользоваться равенствами (50.18) и (50.21):
\[
\begin{aligned}
\int\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{k}\right) \cdot\left(\operatorname{rot} \mathbf{u}_{l}\right) d \tau & =-\int \mathbf{u}_{k} \cdot
abla^{2} \mathbf{u}_{l} d \tau= \\
& =\frac{\omega_{l}^{2}}{c^{2}} \int \mathbf{u}_{k} \cdot \mathbf{u}_{l} d \tau=\frac{\omega_{l}^{2}}{c^{2}} \delta_{k l} .
\end{aligned}
\]

Тогда гамильтониан поля принимает вид
\[
H_{e m}=\sum_{k}\left(2 \pi c^{2} p_{k}^{2}+\frac{\omega_{k}^{2}}{8 \pi c^{2}} q_{k}^{2}\right) .
\]

Матричные элементы.

Через $\left(H_{B}^{\prime}\right)_{i, \text { о }}$ обозначен матричный элемент для перехода атомаприемника из основного состояния (с энергией $E_{B 0}$ ) в ионизованное (с энергией $E_{B i}$ ) с поглощением кванта в состоянии $k$ :
\[
\left(H_{B}^{\prime}\right)_{i, 0 k}=\frac{i e \hbar}{m c}\left(\frac{2 \pi \hbar c^{2}}{\omega_{k}}\right)^{1 / 2} \int \bar{w}_{B i}(\mathbf{r}) \mathbf{u}_{k}(\mathbf{r}) \cdot \operatorname{grad} w_{B 0}(\mathbf{r}) d \tau .
\]

Аналогично второй член можно записать в виде
\[
\sum_{k} \frac{\left(H^{\prime} S_{0,1}{ }^{k}\left(H^{\prime}{ }_{B}\right)_{i k, 0}\right.}{E_{B 0}-E_{B i}-i \omega_{k}} .
\]

При помощи полученных ранее результатов легко показать, что
\[
\left(H_{S}^{\prime}\right)_{0,1 k}=\left(H_{S}^{\prime}\right)_{0 i, 1}, \quad\left(H_{B}^{\prime}\right)_{i k, 0}=\left(H_{B}^{\prime}\right)_{i, 0 k} .
\]

Как известно из рассмотренной в § 29 нестационарной теории возмущений, вероятность перехода, отнесенная к единице времени, имеет заметную величину, только если при переходе из начального состояния в конечное энергия сохраняется. Поэтому интерес представляют лишь такие ионизованные состояния, для которых
\[
E_{B i}-E_{B 0}=E_{S 1}-E_{S 0} .
\]

Обозначая эту разность через $\hbar \omega$, можно записать сумму (50.25) и (50.26) в виде
\[
\frac{4 \pi e^{2} \hbar^{2}}{m^{2}} \iint \sum_{s, s^{\prime}=x, y, z} \bar{w}_{S v}^{\prime} \frac{\partial w^{\prime} S_{1}}{\partial r^{\prime}{ }_{s^{\prime}}} \bar{w}_{B ;} \frac{\partial w_{B 0}}{\partial r_{s}}\left[\sum_{k} \frac{u_{k s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{k s}(\mathbf{r})}{\omega_{k}^{2}-\omega^{2}}\right] d \tau d \tau^{\prime} .
\]

Фигурирующие здесь электронные волновые функции $w$ в достаточной степени локализованы либо около источника, либо около приемника. Интересуясь главным образом макроскопическими наблюдениями, можно считать область, в которой эти функции заметно отличны от нуля, бесконечно малой. Тогда зависимость вероятности перехода от положений источника ( $\mathbf{r}^{\prime}$ ) и приемника (r) определяется выражением в квадратных скобках в (50.27). При больших размерах „ящика”, в который помещена система, суммирование по $k$ можно заменить интегрированием по $\omega_{k}$, причем контур $C$ выбирается в соответствии с (29.24). Плотность состояний $\varrho(k)$ мы определим так, чтобы величина $\varrho(k) d \omega_{k}$ представляла число состояний электромагнитного поля в интервале круговых частот $d \omega_{k}$.
Итак, можно положить
\[
[]=\int_{C} \frac{u_{k s}{ }^{\prime}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{k s}(\mathbf{r})}{\omega_{k}^{2}-\omega^{2}} \quad \omega_{k}=P+i R,
\]

в уравнение (50.32) и принимая во внимание (50.18), получаем
\[
-\frac{1}{c^{2}} \sum_{k} A_{k}\left[\omega_{k}^{2}-(\omega+i \gamma)^{2}\right] \mathbf{u}_{k}(\mathbf{r})=-\frac{4 \pi}{c} \mathrm{~J}(\mathbf{r}) .
\]

При помощи условия ортонормированности (50.21) отсюда можно найти коэффициенты $A_{k}$ :
\[
A_{k}=\frac{4 \pi c}{\omega_{k}^{2}-(\omega+i \gamma)^{2}} \int \mathbf{u}_{k}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \cdot \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\]

Подставляя (50.34) в (50.33), получаем следующее выражение для компонент вектора $\boldsymbol{f}(\mathbf{r})$ в декартовой системе координат:
\[
A_{s}(\mathbf{r})=4 \pi c \int \sum_{s^{\prime}} J_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left[\sum_{k} \frac{u_{k s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{k s}(\mathbf{r})}{\omega_{k}^{2}-(\omega+i \gamma)^{2}}\right] d \tau^{\prime} .
\]

Поскольку при конечном значении $\gamma$ полюс подинтегрального выражения лежит над вещественной осью, суммирование в квадратных скобках можно заменить интегрированием по вещественным значениям $\omega_{k}$. В пределе при $\gamma \rightarrow 0$ полюс оказывается на вещественной оси, и мы получаем интеграл по контуру $C$ в выражении (29.24). Этот интеграл совпадает с интегралом, входящим в формулу (50.28), так что выражение в квадратных скобках в (50.35) можно заменить на $P+i R$. Интенсивность света, измеряемая в точке $\mathbf{r}$, пропорциональна среднему по времени от квадрата векторного потенциала (50.31). В пределе при $\gamma \rightarrow 0$ для малого источника тока, расположенного в точке $\mathbf{r}^{\prime}$, это дает
\[
\begin{aligned}
\left\{\left[(P+i R) e^{i \omega t}+(P\right.\right. & \left.\left.-i R) e^{-i \omega t}\right]^{2}\right\}_{\text {cр. вр. }}= \\
& =4\left[(P \cos \omega t-R \sin \omega t)^{2}\right]_{\text {ср. вр. }}=2\left(P^{2}+R^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Совпадение этого результата с выражением (50.29) показывает, что вероятность обнаружить ионизованный атом в некоторой точке пространства пропорциональна классическому значению интенсивности света в этой точке.