В § 23 был развит общий метод квантования уравнений движения классической системы. Мы исходим из функции Лагранжа и убеждаемся в том, что с ее помощью получаются правильные классические уравнения. Далее с помощью функции Лагранжа находятся импульсы, канонически сопряженные с координатами системы, и вводится функция Гамильтона. Затем, заменяя классические скобки Пуассона квантовыми, мы получаем квантовые уравнения движения из соответствующих классических уравнений Гамильтона. Покажем теперь, каким образом можно перенести этот подход без каких-либо изменений на случай волнового поля $\psi(\mathbf{r}, t)$, которое мы временно будем считать вещественным 1).

Координаты поля.
Волновое поле характеризуется своими амплитудами в любой точке пространства и в любой момент времени, подобно тому, как система частиц характеризуется координатами $q_{i}$, определяющими положение частиц, и зависимостью $q_{i}$ от времени. Поле, очевидно, имеет бесконечное число степеней свободы и аналогично системе бесконечного числа частиц. Поэтому за координаты поля естественно принять амплитуды $\psi(\mathbf{r}, t)$, взятые во всех точках $\mathbf{r}$; они аналогичны рассматривавшимся в § 23 координатам частиц $q_{i}(t)$.

Такой подход, однако, не обязателен. Вместо него можно было бы разложить $\psi$ по какой-либо полной ортонормированной системе функций $u_{k}$ :
\[
\psi(\mathbf{r}, t)=\mathbf{S} a_{k}(t) u_{k}(\mathbf{r}) .
\]

Здесь коэффициенты разложения $a_{k}$ можно рассматривать как координаты поля и писать уравнения поля либо для $\psi$, либо для $a_{k}$. В данном параграфе в качестве координат поля мы будем применять амплитуды $\psi(\mathbf{r}, t)$. При рассмотрении некоторых других вопросов удобнее будет пользоваться коэффициентами $a_{k}$.

Уравнения Лагранжа.
Функция Лагранжа $L\left(q_{i}, \dot{q}_{i}, t\right)$, использованная в § 23, представляет собой функцию времени и функционал от возможных траекторий $q_{i}(t)$ частиц системы. Истинные траектории получаются из вариационного принципа (23.3):
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=0, \quad \delta q_{i}\left(t_{1}\right)=\delta q_{i}\left(t_{2}\right)=0 .
\]

Аналогично можно ожидать, что функция Лагранжа для поля является функционалом от амплитуды $\psi(\mathbf{r}, t)$. Обычно ее можно представить в виде интеграла по всему пространству от плотности лагранжиана $\boldsymbol{L}$ :
\[
L=\int \boldsymbol{L}(\psi, \operatorname{grad} \psi, \dot{\psi}, t) d \tau,
\]

где $\dot{\psi}=\hat{\omega} / \partial t$. Наличие $\operatorname{giad} \psi$ в аргументе $\boldsymbol{L}$ обусловлено непрерывной зависимостью $\psi$ от r (несчетно бесконечное число степеней свободы). В аргумент могли бы также входить и производные более высокого порядка от $\psi$, но в задачах, представляющих физический интерес, они, по-видимому, не появляются. Вариационный принцип, соответствующий (23.3), имеет вид
\[
\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int \boldsymbol{L} d t d \tau=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \int(\delta \boldsymbol{L}) d t d \tau=0,
\]

где варьирование совершается при условиях
\[
\delta \psi\left(\mathbf{r}, t_{1}\right)=\delta \psi\left(\mathbf{r}, t_{2}\right)=0 .
\]

Если плотность лагранжиана $\boldsymbol{L}$ имеет вид, указанный в (45.2), то ее вариацию можно записать в форме
\[
\delta \boldsymbol{L}=\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \psi} \delta \psi+\sum_{x y z} \frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial(\partial \psi / \partial x)} \delta\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\psi}} \delta \dot{\psi},
\]

где суммирование по $x, y, z$ означает сумму членов, получающихся заменой $x$ на $y$ и $z$. Через $\delta \dot{\psi}$ обозначена разность между первоначальным и проварьированным значениями $\dot{\psi}$; она, очевидно, равна производной по времени от вариации $\psi$. Это и аналогичное выражение для $\varepsilon(\partial \psi / \sigma x)$ можно переписать в виде
\[
\delta \dot{\psi}=\frac{\partial}{\partial t}(\delta \psi), \quad \delta\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}(\delta \psi) .
\]

Тогда уравнение (45.3) примет вид
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \int\left[\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \psi} \delta \psi+\sum_{x y z} \frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial(\partial \psi / \partial x)} \frac{\partial}{\partial x}(\delta \psi)+\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\psi}} \frac{\partial}{\partial t}(\delta \psi)\right] d t d \tau=0 .
\]

Члены под знаком суммы здесь можно проинтегрировать по частям по пространственным координатам; при этом интеграл по поверхности обращается в нуль либо вследствие достаточно быстрого убывания $\psi$ на больших расстояниях, либо в силу периодических граничных условий на стенках большого, но конечного ящика. Последний член в (45.6) можно проинтегрировать по частям по $t$, причем граничные члены обрацаются в нуль в силу (45.4). Таким образом, уравнение (45.6) можно переписать в виде
\[
\int_{t}^{t_{2}} \int\left\{\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \psi}-\sum_{x y z} \frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial(\partial \psi / \partial x)}\right]-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\varphi}}\right)\right\} \delta \psi d t d \tau=0 .
\]

Аналогично функциональная производная от $L$ по $\dot{\psi}$ получается приравниванием нулю всех $\delta \psi_{i}$ и $\delta \dot{\psi}_{i}$, кроме $\delta \dot{\psi}_{j}$ :
\[
\frac{\delta L}{\delta \dot{\varphi}}=\lim _{\Delta \tau_{j} \rightarrow 0} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}_{j} \Delta \boldsymbol{\tau}_{j}}=\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\psi}} .
\]

Здесь опять точка r, в которой вычисляется функциональная производная, находится внутри $j$-й ячейки.
Подставляя (45.9) и (45.10) в (45.8), получаем
\[
\frac{\partial}{\partial t} \frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}}-\frac{\delta L}{\delta \psi}=0 \text {. }
\]

Это очень напоминает уравнения Лагранжа для системы частиц. (23.4).

Уравнения Гамильтона.
Как и в механике частиц, импульс, канонически сопряженный с $\psi_{j}$, можно определить как отношение $\delta L$ к бесконечно малому приращению $\delta \dot{\psi}_{j}$ при условии, что все другие вариации $\delta \dot{\psi}_{i}$ и все $\delta \psi_{i}$ равны нулю. Таким образом, мы получим
\[
P_{j}=\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}_{j}}=\Delta \tau_{j}\left(\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}}\right)_{j} .
\]

Из (45.11) и (45.12) следует, что
\[
\dot{P}_{j}=\Delta \boldsymbol{\tau}_{j}\left(\frac{\delta L}{\delta \psi}\right)_{j} .
\]

По аналогии с (23.5) находим следующее выражение для функции Гамильтона:
\[
H=\sum_{i} P_{i} \dot{\psi}_{i}-L=\sum_{i}\left(\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}}\right)_{i} \dot{\psi}_{i} \delta \tau_{i}-L .
\]

Запишем $H$ в виде объемного интеграла от плотности гамильтониана $\boldsymbol{H}$ и допустим, что ячейки достаточно малы, так что разностью между интегралом по объему и соответствующей суммой по ячейкам можно пренебречь. В результате получим
\[
H=\int \boldsymbol{H} d \tau, \quad \boldsymbol{H}=\pi \dot{\psi}-\boldsymbol{L}, \quad \pi \equiv \frac{\delta \boldsymbol{L}}{\delta \dot{\psi}}=\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\varphi}} .
\]

С приближенной функцией Гамильтона, определяемой равенствами (45.12)-(45.14), можно оперировать совершенно так же, как с функцией Гамильтона для системы частиц. Вместо того чтобы доказывать это, будем пользоваться точной функцией Гамильтона, определяемой формулой (45.15) и представляющей собой (после исключения $\dot{\psi}$ ) функционал от $\psi$ и л. Классические уравнения Гамильтона будут выведены отсюда без представления о ячейках.

В силу (45.11) и (45.15) вариация $L$, получающаяся в результате варьирования $\psi$ и $\dot{\psi}$, имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\delta L=\int\left(\frac{\delta L}{\delta \psi} \delta \psi+\frac{\delta L}{\delta \dot{\psi}} \delta \dot{\psi}\right) d \tau=\int(\dot{\pi} \delta \psi+\pi \delta \dot{\psi}) d \tau= \\
=\int[\delta(\pi \dot{\psi})+\dot{\pi} \delta \psi-\dot{\psi} \delta \pi] d \tau=\delta H+\delta L+\int(\dot{\pi} \delta \psi-\psi \delta \pi) d \tau .
\end{array}
\]

Вариация $H$ при соответствующем варьировании $\psi$ и $\pi$ есть
\[
\delta H=\int\left(\frac{\delta H}{\delta \psi} \delta \psi+\frac{\delta H}{\delta \pi} \delta \pi\right) d \tau .
\]

Из определения функциональных производных (см. выше) следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\delta H}{\delta \varphi}=\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial \psi}-\sum_{x y z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial(\partial \psi / \partial x)}, \\
\frac{\delta H}{\delta \pi}=\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial \pi}-\sum_{x y z} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial(\partial \pi / \partial x)} .
\end{array}
\]

Сравнивая уравнения (45.16) и (45.17) при произвольных вариациях $\delta \psi$ и $\delta \pi$, получаем классические уравнения Гамильтона для поля:
\[
\dot{\psi}=\frac{\delta H}{\delta \pi}, \quad \dot{\pi}=-\frac{\delta H}{\delta \psi} .
\]

Теперь можно найти уравнения Гамильтона, позволяющие определить, как меняется со временем функционал $F$ от $\psi$ и $\pi$. Представим $F$ в виде объемного интеграла от соответствующей плотности функционала $\boldsymbol{F}(\psi, \pi)$, причем для простоты будем предполагать, что она не зависит явно от времени и от градиентов $\psi$ или $\pi$. На основании полученных ранее результатов можно показать, что
\[
\dot{F}=\int\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \psi} \dot{\psi}+\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \pi} j\right) d \tau=\int\left(\frac{\delta F}{\delta \psi} \frac{\delta H}{\delta \pi}-\frac{\delta F}{\delta \pi} \frac{\delta H}{\delta \psi}\right) d \tau \equiv\{F, H\} .
\]

Это уравнение служит также определением скобок Пуассона для двух функционалов от переменных поля. Правая часть (45.20) не изменится, если $F$ будет зависеть также от grad $\psi$ или grad $\pi$ (см. задачу 2). Из соотношения (45.20) вытекает, что если функция $H$ не зависит явно от времени, то она является интегралом движения. В. этом случае $H$ есть полная энергия поля.

Квантовые условия для поля.
Аналогия между координатами и импульсами частиц $q_{i}, p_{i}$, с одной стороны, и средними по объему ячейки от $\psi_{i}, P_{i}$, с другой, указывает на то, что в качестве правил перестановки для поля можно принять соотношения
\[
\left[\psi_{i}, \psi_{j}\right]=\left[P_{i}, P_{j}\right]=0, \quad\left[\psi_{i}, P_{j}\right]=i \hbar \delta_{i j} .
\]

а уравнения Гамильтона представляют собой систему двух уравнений типа (45.19), записанных для всех значений $s$. Уравнение (45.23) остается неизменным, а правила перестановки (45.22) заменяются следующими:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{s}(\mathbf{r}, t), \psi_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=\left[\pi_{s}(\mathbf{r}, t), \pi_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=0,} \\
{\left[\psi_{s}(\mathbf{r}, t), \pi_{s^{\prime}}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=i \hbar \delta_{s s^{\prime}} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .}
\end{array}
\]

Непосредственный интерес представляет случай одного комплексного поля $\psi$, для которого можно написать
\[
\psi=2^{-1 / 2}\left(\psi_{1}+i \psi_{2}\right), \quad \bar{\psi}=2^{-1 / 2}\left(\psi_{1}-i \psi_{2}\right),
\]

где функции $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ вещественны. Покажем прежде всего, что уравнения вида ( 45.8 ), получаемые независимым варьированием $\psi$ и $\bar{\psi}$, эквивалентны уравнениям, полученным в результате варьирования $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$. В силу соотношений (45.26) имеем
\[
\frac{\partial}{\partial \psi}=2^{-1 / 2}\left(\frac{\partial}{\partial \psi_{1}}-i \frac{\partial}{\partial \psi_{\mathbf{2}}}\right), \quad \frac{\partial}{\partial \bar{\psi}}=2^{-1 / 2}\left(\frac{\partial}{\partial \psi_{1}}+i \frac{\partial}{\partial \psi_{\mathbf{2}}}\right) .
\]

Таким образом, сумма и разность уравнения для $\psi_{1}$ и умноженного на $i$ уравнения для $\psi_{2}$ дают уравнения Лагранжа, получаемые при независимом варьировании $\bar{\psi}$ и $\psi$ в интеграле (45.3). Аналогичным путем легко показать, что импульсы, канонически сопряженные соответственно с $\psi$ и $\vec{\psi}$, равны ${ }^{1 \mathbf{1}}$ :
\[
\pi=2^{-1 / 2}\left(\pi_{1}-i \pi_{2}\right) \text { и } \bar{\pi}=2^{-1 / 2}\left(\pi_{1}+i \pi_{2}\right) .
\]

Тогда $\pi_{1} \dot{\psi}_{1}+\pi_{2} \dot{\psi}_{2}=\pi \dot{\psi}+\bar{\pi} \dot{\bar{\psi}}$ и функция Гамильтона остается неизменной. Из соотношений (45.25) (где $s=1$ и 2), (45.26) и (45.27) можно получить правила перестановки для $\psi, \bar{\psi}, \pi$ и $\bar{\pi}$. Мы имеем
\[
\begin{array}{ll}
{[\psi(\mathbf{r}, t),} & \left.\pi\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=i \hbar \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right), \\
{[\bar{\psi}(\mathbf{r}, t),} & \left.\bar{\pi}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right)\right]=i \hbar \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right),
\end{array}
\]

тогда как все другие пары переменных коммутируют.