Найденное в предыдущем параграфе выражение для эффективного сечения рассеяния нетрудно обобщить на случай неупругих столкновений, когда сталкивающиеся системы могут обмениваться не только кинетической, но и внутренней энергией. В настоящем параграфе мы применим полученные выше результаты к двум задачам, типичным для процессов первого и второго порядков ${ }^{1}$. Особенно большой теоретический интерес представляют вычисления, относящиеся ко второй задаче, так как они явно показывают, каким образом частица, описываемая исключительно с помощью плоских волн (собственных функций оператора импульса), может оставлять резко выраженный след в камере Вильсона.

Выражение для эффективного сечения рассеяния.
Формула (29.12) для вероятности перехода применима и для неупругих

столкновений, если только соответствующим образом определить матричный элемент. Мы рассмотрим здесь столкновение быстрого электрона с атомом водорода, находящимся в основном состоянии: Задача состоит в вычислении эффективного сечения рассеяния на определенный угол с переходом атома водорода в определенное возбужденное состояние. При этом мы не будем принимать во внимание возможность обмена местами между бомбардирующим и атомным электронами; такие обменные столкновения обсуждаются в гл. IX.

Невозмущенный гамильтониан представляет собой сумму оператора кинетической энергии бомбардирующего электрона и гамильтониана для атома водорода :
\[
H_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla_{1}^{2}-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla_{2}^{2}-\frac{e^{2}}{r_{2}},
\]

где $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ представляют собой радиус-векторы соответственно бомбардирующего и атомного электронов. Начало координат совмещено с атомным ядром, движением которого можно пренебречь в силу его большой массы. Роль возмущения играет электростатическая энергия взаимодействия между бомбардирующим электроном и электроном и ядром атома;
\[
H^{\prime}=\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{1}} .
\]

Невозмущенные волновые функции представляют собой собственные функции оператора (30.1). Возьмем их в виде
\[
\begin{array}{l}
L^{-3 / 2} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) \quad \text { для начального состояния, } \\
L^{-3 / 3} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{200}\left(\mathbf{r}_{2}\right) \quad \text { для конечного состояния. }
\end{array}
\]

В спектроскопических обозначениях это соответствует атомному переходу $1 S \rightarrow 2 S$. Абсолютная величина волнового вектора электрона после столкновения определяется из закона сохранения энергии
\[
k^{2}=k_{0}^{2}-\frac{2 m}{\hbar^{2}} \frac{3 e^{2}}{8 a_{0}} .
\]

Равенства (30.2) – (30.4) определяют матричный элемент в $(29.12)$ :
\[
\begin{array}{c}
H_{21}^{\prime}=L^{-3} \iint e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{1}} \bar{u}_{200}\left(\mathbf{r}_{2}\right)\left(\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{1}}\right) u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}, \\
\mathbf{K}=\mathbf{k}_{0}-\mathbf{k}
\end{array}
\]

Дифференциальное эффективное сечение рассеяния можно получить из $w$ тем же путем, что и в предыдущем параграфе. Нужно только помнить, что в выражении для плотности конечных состояний (29.14) фигурирует абсолютная величина $k$, а в формуле

для тока бомбардирующих частиц – начальная скорость $v_{0}=\hbar k_{0} / m$. Поэтому эффективное сечение
\[
\sigma(\theta)=\frac{k}{k_{0}}\left(\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}}\right)^{2} L^{6}\left|H_{21}^{\prime}\right|^{2},
\]

где $\theta$ – угол между векторами $\mathbf{k}$ и $\mathbf{k}_{0}$.

Вычисление матричного элемента.
Из выражения для матричного элемента (30.5) явствует, что член $e^{2} / r_{1}$ ничего не вносит в интеграл, так как функции $u_{100}$ и $u_{200}$ ортогональны. Этого и следовало ожидать из физических соображений, так как взаимодействие между бомбардирующим электроном и ядром нө может привести к возбуждению атомного электрона.

Чтобы проинтегрировать остающийся член по координатам $\mathbf{r}_{1}$, заменим элемент объема $d \tau_{1} d \tau_{2}$ на $d \tau_{\varrho} d \tau_{2}$, где $\varrho=\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{2}$; как легко видеть, якобиан преобразования равен единице. Тогда получим
\[
\begin{aligned}
\int \frac{e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{1}}}{r_{12}} d \tau_{1} & =e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{2}} \int \frac{e^{i \mathbf{K} \cdot \varrho}}{\varrho} d \tau_{\varrho}= \\
& =2 \pi e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{2}} \int_{0}^{\infty} \int_{-1}^{1} e^{i K_{\varrho} w} \varrho d \varrho d w=\frac{4 \pi}{K} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{2}} \int_{0}^{\infty} \sin K \varrho d \varrho .
\end{aligned}
\]

Полярная ось сферической системы координат направлена вдоль вектора K (через $\mathfrak{w}$ обозначен косинус угла между $\varrho$ и $\mathbf{K}$ ). Последний интеграл, строго говоря, не сходится, но его можно вычислить, вводя множитель сходимости $e^{-\alpha \varrho}$ и переходя затем к пределу при $\alpha \rightarrow 0$. Для оправдания этого приема заметим, что если в (30.5) сначала произвести интегрирование по $\mathbf{r}_{2}$, то результат будет убывать как $1 / r_{1}^{2}$, т. е. как $1 / \varrho^{2}$ для больших $\varrho^{1}$, вследствие чего при больших @ подинтегральное выражение ведет себя как $\sin K \varrho / \varrho$ и интеграл сходится. Таким образом, мы получаем
\[
\begin{aligned}
\int \frac{e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{1}}}{r_{\mathbf{1 2}}} d \tau_{1}=\frac{4 \pi}{K} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{2}} & \lim _{a \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty} \sin K \varrho e^{-\alpha \varrho} d \varrho= \\
& =\frac{4 \pi}{K} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{\mathbf{2}}} \lim _{a \rightarrow 0}\left(\frac{K}{\alpha^{2}+K^{2}}\right)=\frac{4 \pi}{K^{2}} e^{i \mathbf{K} \cdot \mathbf{r}_{2}} .
\end{aligned}
\]

Подставляя (30.7) в (30.5) и пользуясь выражениями для волновых функций атома водорода, приведенными после общей формулы (16.24), приходим к интегралу по $\mathbf{r}_{2}$, вычисление которого дает
\[
H_{21}^{\prime}=L^{-3} \frac{16 \sqrt{2} \pi a_{0}^{2} e^{2}}{\left(K^{2} a_{0}^{2}+\frac{9}{4}\right)^{3}}, \quad a_{0}=\frac{\hbar^{2}}{m e^{2}} .
\]

Дифференциальное и полное эффективные сечения рассеяния.
Итак, в рассматриваемом случае дифференциальное эффективное сечение рассеяния имеет вид
\[
\sigma(\theta)=\frac{k}{k_{0}} \frac{128 a_{0}^{2}}{\left(K^{2} a_{0}^{2}+\frac{9}{4}\right)^{6}},
\]

где
\[
\begin{aligned}
K^{2}=k_{0}^{2} & +k^{2}-2 k_{0} k \cos \theta= \\
& =\left(2 k_{0} \sin \frac{1}{2} \theta\right)^{2}-\left(k_{0}-k\right)\left(k_{0}+k-2 k_{0} \cos \theta\right) .
\end{aligned}
\]

Вычисления, основанные на теории возмущений, дают наилучшие результаты при $k_{0} a_{0} \gg 1$; в этом случае $k$ близко к $k_{0}$ и равенство (30.4) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(k_{0}-k\right)\left(k_{0}+k\right)=\frac{2 m}{\hbar^{2}} \frac{3 e^{2}}{8 a_{0}}=\frac{3}{4 a_{0}^{2}}, \\
k_{0}+k \approx 2 k_{0}, \quad k_{0}-k \approx \frac{3}{8 k_{0} a_{0}^{2}} .
\end{array}
\]

Принимая это во внимание, выражение для $K^{2}$ в предельном случае высоких энергий можно записать в виде
\[
K^{2} \approx\left(4 k_{0}^{2}-\frac{3}{2 a_{0}^{2}}\right) \sin ^{2} \frac{1}{2} \theta \approx\left(2 k_{0} \sin \frac{1}{2} \theta\right)^{2} .
\]

Тогда, согласно (30.8), максимум рассеяния имеет место при $K a_{0}<1$, т. е. при $\theta<1 / k_{0} a_{0}$. Вне этих пределов $\sigma(\theta)$ убывает с возрастанием угла приблизительно как $\operatorname{cosec}^{12} \theta / 2$. Это гораздо более быстрое убывание, чем в случае упругого рассеяния, когда угловая зависимость определяется множителем $\operatorname{cosec}^{4} \theta / 2$. Такое быстрое спадание $\sigma(\theta)$ характерно для неупругих столкновений.

Чтобы найти полное эффективное сечение, нужно с помощью точного выражения для $K^{2}$ заменить элемент телесного угла $2 \pi \sin \theta d \theta$ на $2 \pi K d K / k_{0} k$ пределы интегрирования при этом будут $k_{0}-k$ и $k_{0}+k$. Тогда интеграл (30.8) можно вычислить в явном виде. Однако, как только что было показано, при больших энергиях главный вклад в интеграл вносит область вблизи нижнего предела, и в соответствии с (30.9)
\[
\left(k_{0}-k\right)^{2} a_{0}^{2} \approx \frac{9}{64 k_{0}^{2} a_{0}^{2}} \ll \frac{9}{4} .
\]

Таким образом, главный член в выражении для полного сечения при больших энергиях можно получить, интегрируя по $K$

в пределах от нуля до бесконечности :
\[
\sigma \approx \frac{128 \pi}{5 k_{0}^{2}}\left(\frac{2}{3}\right)^{10} .
\]

Эффективные сечения упругого рассеяния, а также рассеяния с возбуждением других атомных состояний можно найти, вводя в матричный элемент (30.5) вместо $u_{200}$ другие конечные волновые функции и видоизменяя соответствующим образом равенство (30.4). Полное эффективное сечение упругого рассеяния при высоких энергиях оказывается равным $7 \pi / 3 k_{0}^{2}$, что примерно в пять раз больше сечения (30.10). Процессы возбуждения состояний с $n=2, l=1$ (т. е. переход $1 S \rightarrow 2 P$ ) проще всего рассматривать выбирая ось квантования для конечных состояний ( $m=0, \pm 1$ ) в направлении переданного импульса K. Таким путем можно показать, что возбуждаться может лишь состояние (210), так как при $m= \pm 1$ в силу наличия множителей $e^{ \pm i \varphi}$ матричные элементы обращаются в нуль. Физически это связано с тем, что бомбардирующий электрон, изменение импульса которого направлено вдоль $\mathbf{K}$, не может передать атомному электрону момент количества движения в том же направлении. Эффективное сечение соответствующего столкновения при большой энергии оказывается равным
\[
\sigma \approx \frac{576 \pi}{k_{0}^{2}}\left(\frac{2}{3}\right)^{12} \ln \left(4 k_{0} a_{0}\right) .
\]

Появление логарифмического множителя в (30.11) связано с добавочным множителем $1 / K^{2}$ в выражении для дифференциального эффективного сечения рассеяния. Таким образом, по сравнению с переходом $1 S \rightarrow 2 S$ дифференциальное эффективное сечение для перехода $1 S \rightarrow 2 P$ оказывается более значительным для малых углов, а полное сечение рассеяния при высоких энергиях убывает с ростом энергии не так быстро.

образование следа в қамере Вильсона. На первый взгляд кажется удивительным, что быстрый электрон, обладающий, по-видимому, определенным импульсом и, следовательно, не допускающий локализации в точке, все же может образовывать резкий след в камере Вильсона. Это явление можно рассматривать с различных точек зрения. В соответствии с теоремой Эренфеста (§ 7) электрон можно характеризовать с помощью волнового пакета, центр тяжести которого движется, как классическая частица. Если длина волны достаточно мала, то размеры пакета и его расплывание с течением времени также могут быть малыми; тогда пакет будет взаимодействовать только с теми атомами, которые лежат поблизости от траектории его центра. Это значит, что состояние электрона описывается суперпозицией плоских волн; следовательно, в импульсе его имеется некоторая неопределенность, что дает возможность с достаточной точностью определить его положение.

Другой подход состоит в том, что электрон описывается плоской волной с точно заданным импульсом, а его взаимодействие с первым возбуждаемым или ионизуемым атомом рассматривается как измерение координаты, которое производится с неопределенностью порядка размеров атома. После взаимодействия состояние электрона описывается волновым пакетом только что рассмотренного типа; если первый атом велик по сравнению с длиной волны, то этот пакет хорошо локализован.

Мы здесь подробно рассмотрим картину, в которой электрон и атомы газа в камере Вильсона считаются частями единой системы, так что взаимодействие с атомами уже не рассматривается как измерение координаты электрона, изменяющее его волновую функцию ${ }^{1)}$. Для простоты допустим, что в системе имеются всего два атома (в основных состояниях), причем их ядра расположены далеко друг от друга и фиксированы в пространстве. В этом предположении мы вычислим эффективное сечение для таких процессов, когда оба атома возбуждаются, а электрон претерпевает неупругое рассеяние. Считая начальную энергию электрона достаточно большой, можно воспользоваться теорией возмущений, причем в данном случае нужно взять второе приближение. Расчет интересен как сам по себе, так и по своему результату, представляя собой поучительный пример применения теории возмущений, развитой В $\$ 29$.

В результате оказывается, что эффективное сечение рассеяния будет очень мало, исключая случай, когда начальный импульс электрона почти параллелен как линии, соединяющей ядра, так и конечному импульсу. Отклонение от параллельности (в радианах) по порядку величины не должно превышать отношения длины волны электрона к размерам атома. Этот результат аналогичен результату, полученному выше при рассмотрении неупругого столкновения быстрого электрона с атомом водорода, когда углы рассеяния в основном не превышали, грубо говоря, $1 / k_{0} a_{0}$. Это согласуется также с описанием процесса в терминах волновых пакетов, так как локализация электрона в интервале $a$, характеризующем размеры атома, в направлении, перпендикулярном направлению движения, приводит к неопределенности $\hbar / a$ у соответствующей компоненты импульса и, следовательно, к угловому разбросу порядка $\hbar / a p \approx 1 / k_{0} a$.

Постановка задачи.
Без потери общности ядро первого атома можно расположить в начале координат, а ядро второго – в точке R. Атомы предполагаются настолько удаленными друг от друга,

что взаимодействием между ними можно пренебречь. Тогда невозмущенный гамильтониан равен сумме оператора кинетической энергии падающего электрона и невозмущенных гамильтонианов для обоих атомов. Роль возмущения играет сумма энергии взаимодействия $H_{1}^{\prime}$ и $H_{2}^{\prime}$ между падающим электроном и первым и вторым атомами. В начальном состоянии оба атома находятся в основных состояниях $u_{0}$ с энергиями $\varepsilon_{0}$, а волновой вектор падающего электрона равен $\mathbf{k}_{\mathbf{0}}$. В конечном состоянии первый атом находится в состоянии $u_{n}$ с энергией $\varepsilon_{n}$, второй атом-в состоянии $u_{m}$ с энергией $\varepsilon_{m}$; волновой вектор электрона равен $\mathbf{k}_{n m}$.

Очевидно, в первом приближении теории возмущений интересующий нас переход не может иметь места. Он, однако, возможен во втором приближении, причем имеются две группы промежуточных состояний. В первой из них первый атом находится в состоянии $u_{n}$, второй — в состоянии $u_{0}$, а волновой вектор рассеиваемого электрона равен $\mathbf{k}_{n 0}$. Во второй группе первый атом находится в состоянии $u_{0}$, второй – в состоянии $u_{m}$, а волновой вектор электрона есть $\mathbf{k}_{\mathbf{0}}$. Таким образом, матричный элемент второго порядка (29.20) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\mathbf{k}_{n 0}} \frac{\left(H_{2}^{\prime}\right)_{n m, n_{0}}\left(H_{1}^{\prime}\right)_{n 0,00}}{E_{00}-E_{n 0}}+\sum_{\mathbf{k}_{0 m}} \frac{\left(H_{1}^{\prime}\right)_{n m, 0 n}\left(H_{2}^{\prime}\right)_{0 m, 00}}{E_{00}-E_{0 m}}, \\
E_{00}=2 \varepsilon_{0}+\frac{\hbar^{2} k_{0}^{2}}{2 m}, \quad E_{n 0}=\varepsilon_{n}+\varepsilon_{0}+\frac{\hbar^{2} k_{n 0}^{2}}{2 m}, \\
E_{0 m}=\varepsilon_{0}+\varepsilon_{m}+\frac{\hbar^{2} k_{0 m}^{2}}{2 m} .
\end{array}
\]

Мы вычислим здесь явно только первую сумму, а затем покажем, как нужно изменить результат, чтобы найти и вторую сумму. Входящие в сумму матричные элементы равны
\[
\begin{aligned}
\left(H_{2}^{\prime}\right)_{n m, n 0} & =L^{-3} \iint \bar{u}_{m}(2) e^{-i \mathbf{k}_{n m} \cdot \mathbf{r}} H_{2}^{\prime}(2, \mathbf{r}) u_{0}(2) e^{i \mathbf{k}_{n 0} \cdot \mathbf{r}} d \tau_{2} d \tau, \\
\left(H_{1}^{\prime}\right)_{n 0,00} & =L^{-3} \iint \bar{u}_{n}(1) e^{-i \mathbf{k}_{n 0} \cdot \mathbf{r}^{\prime}} H_{1}^{\prime}\left(1, \mathbf{r}^{\prime}\right) u_{0}(1) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}^{\prime}} d \tau_{1} d \tau^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Здесь цифрами 1 и 2 обозначены все внутренние координаты первого и второго атомов, $d \tau_{1}$ и $d \tau_{2}$ представляют собой соответствующие элементы объема, векторы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ являются переменными интегрирования, характеризующими положение падающего электрона относительно начала координат (им соответствуют элементы объема $d \tau$ и $d \tau^{\prime}$ ). В первой из формул (30.13) произведено интегрирование по координатам 1, во второй – по координатам 2; результат в обоих случаях равен единице.

Вычисление суммы по k.
Если подставить матричные элементы (30.13) в первую сумму (30.12) и поменять местами сумми-

В этом приближении первая сумма в (30.12) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
-\frac{2 m}{\hbar^{2}} \frac{1}{4 \pi L^{3}} \frac{e^{i\left(\boldsymbol{x}-\mathbf{k}_{n m}\right) \cdot \mathbf{R}}}{R} \int F_{n}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{i\left(\mathbf{k}_{0}-\boldsymbol{x}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}} d \tau^{\prime} \times \\
\times \int F_{m}\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}\right) e^{i\left(\boldsymbol{x}-\mathbf{k}_{n m}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime \prime}} d \tau^{\prime \prime},
\end{array}
\]

где $x$ – вектор, параллельный $\mathbf{R}$, с абсолютной величиной $x$, определяемой формулой (30.14).
Аналогично для второй суммы в (30.12) получим
\[
\begin{array}{l}
-\frac{2 m}{\hbar^{2}} \frac{1}{4 \pi L^{3}} \frac{e^{i\left(x^{\prime}+\mathbf{k}_{0}\right) \cdot \mathbf{R}}}{R} \int F_{n}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i\left(x^{\prime}+\mathbf{k}_{n m}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}} d \tau^{\prime} \times \\
\times \int F_{m}\left(\mathbf{r}^{\prime \prime}\right) e^{i\left(\mathbf{k}_{0}+x^{\prime}\right) \cdot \mathbf{r}^{\prime \prime}} d \tau^{\prime \prime},
\end{array}
\]

где вектор $\boldsymbol{x}^{\prime}$ параллелен $\mathbf{R}$, а его абсолютная величина определяется формулой (30.14) с заменой $\varepsilon_{n}$ на $\varepsilon_{m}$.

Чтобы найти дифференциальное эффективное сечение, нужно составить сумму выражений (30.17) и (30.18), подставить ее вместо $H_{2 \ell}^{\prime}$ в (30.6) и заменить там $k$ на $k_{n m}$. По закону сохранения энергии
\[
k_{n m}^{2}=k_{0}^{2}-\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(\varepsilon_{n}+\varepsilon_{m}-2 \varepsilon_{0}\right) .
\]

обсуждение формулы для эффективного сечения. Интегралы, фигурирующие в (30.17) и (30.18), обладают характерной структурой, связанной с особенностями применения теории возмущений к задаче о столкновениях. Они очень малы, за исключением тех случаев, когда абсолютное значение волнового вектора в показателе степени по порядку величины не превышает $1 / a$, где $a$ – константа порядка линейных размеров атома (лишь при этом функции $F$ заметно отличны от нуля). Отсюда следует, что выражение (30.17) заметно отлично от нуля, только если векторы $\mathbf{k}_{\mathbf{0}}, \boldsymbol{x}$ и $\mathbf{k}_{n m}$ почти одинаковы как по величине, так и по направлению. Поскольку падающий электрон, по предположению, движется быстро, абсолютные значения этих векторов во всяком случае почти одинаковы. Поэтому эффективное сечение будет заметно отлично от нуля только при условии, что векторы $\mathbf{R}$ и $\mathbf{k}_{n m}$ почти параллельны $\mathbf{k}_{0}$. Легко видеть, что допустимое угловое отклонение векторов от параллельности по порядку величины составляет $1 / k_{0} a$.

Аналогично выражение (30.18) заметно отлично от нуля только в том случае, когда вектор $x^{\prime}$ и, следовательно, вектор $\mathbf{R}$ почти антипараллельны $\mathbf{k}_{0}$ и $\mathbf{k}_{n m}$; при этом оба последних вектора почти параллельны друг другу.

Оба выражения вместе показывают, что вероятность возбуждения двух атомов имеет заметную величину лишь в том случае, когда линия, соединяющая ядра, почти параллельна направлению

движения падающего электрона. Очевидно также, что эффективное сечение убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между двумя атомами $R$, как и следовало ожидать.