В этом параграфе мы рассмотрим приближенные методы, в которых определенные условия накладываются не на величину зависящей от времени части гамильтониана, а на скорость ее изменения со временем. Если гамильтониан с течением времени меняется очень медленно, то можно ожидать, что приближенными решениями уравнения Шредингера будут стационарные собственные функции оператора энергии, вычисленные в данный момент времени (собственные функции „мгновенного\” гамильтониана). Таким образом, какая-либо собственная функция, найденная для некоторого момента времени, непрерывно переходит в соответствующую собственную функцию для более позднего момента времени (адиабатическое приближение). Если же гамильтониан изменяет свой вид за очень короткий промежуток времени, то можно ожидать, что волновая функция при этом изменится незначительно, хотя коэффициенты разложения ее по собственным функциям начального и конечного гамильтонианов могут быть совершенно различными (апроксимация внезапных возмущений). Мы выясним, в какой степени применимы приближения обоих указанных типов.

Разложение по мгновенным собственным функциям оператора энергии. Рассмотрим прежде всего адиабатическое приближение и попытаемся решить уравнение Шредингера
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=H(t) \psi
\]

где $H(t)$ – медленно меняющаяся функция ${ }^{1)}$. Собственные функции оператора энергии в каждый данный момент времени предполагаются известными:
\[
H(t) u_{n}(t)=E_{n}(t) u_{n}(t) .
\]

Предположим также, что функции $u_{n}$ ортонормированы, собственные значения не вырождены и принадлежат дискретному спектру; фазы функций $u_{n}$ будут выбраны позднее.

Пусть в нулевой момент времени волновая функция известна; для более поздних моментов времени положим
\[
\psi=\sum_{n} a_{n}(t) u_{n}(t) \exp \left[-\frac{i}{\hbar} \int_{0}^{t} E_{n}\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right] .
\]

образом выбрать зависимость фазы функции $u_{n}$ от $t$. Дифференцируя нормировочный интеграл для $u_{n}$, получаем
\[
0=\frac{d}{d t} \int \bar{u}_{n} u_{n} d \tau=\int \frac{\partial \bar{u}_{n}}{\partial t} u_{n} d \tau+\int \bar{u}_{n} \frac{\partial u_{n}}{\partial t} d \tau .
\]

Поскольку интегралы, стоящие справа, комплексно сопряжены друг с другом, каждый из них должен быть чисто мнимым:
\[
\int \bar{u}_{n} \frac{\partial u_{n}}{\partial t} d \tau=i \alpha(t) .
\]

Изменим теперь фазу функции $u_{n}$ на некоторую величину $\gamma(t)$. Это можно сделать, поскольку в любой момент времени фазы собственных функций произвольны. Для новой собственной функции $u_{n}^{\prime} \equiv u_{n} e^{i \gamma(t)}$ имеем
\[
\int \bar{u}_{n}^{\prime} \frac{\partial u_{n}^{\prime}}{\partial t} d \tau=\int \bar{u}_{n} e^{-i \gamma} \frac{\partial}{\partial t}\left(u_{n} e^{i \gamma}\right) d \tau=i \alpha(t)+i \frac{d}{d t} \gamma(t) .
\]

Таким образом, если положить $\gamma(t)=-\int_{0}^{t} \alpha\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}$, то интеграл в левой части (31.7) обратится в нуль. В дальнейшем мы будем считать, что функция $u_{n}$ всюду, в том числе и в (31.6), заменена на $u_{n}^{\prime}$, причем штрихи будут опускаться.
Полагая, как и выше, $\hbar \omega_{k n}=E_{k}-E_{n}$, подставим (31.6) в (31.4),
\[
\dot{a}_{k}=\sum_{n}^{\prime} \frac{a_{n}}{\hbar \omega_{k n}}\left[\exp \left(i \int_{0}^{t} \omega_{k n} d t^{\prime}\right)\right]\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{k n} .
\]

Штрих у знака суммы означает, что слагаемое с $n=k$ исключается из суммирования. Последний член в правой части представляет собой $k n$-й матричный элемент оператора $\partial H / \partial t$.

Адиабатическое приближение. Система уравнений (31.8) в точности эквивалентна уравнению Шредингера (31.1), коль скоро $k$ принимает все возможные значения. Допуская, что все величины $\left(a_{n}, \omega_{k n}, u_{n}, \partial H / \partial t\right)$ в правой части (31.8) не меняются со временем, оценим порядок величины $a_{k}$. Допустим также, что при $t=0$ система находилась в состоянии $m$; тогда можно положить $a_{n}=\delta_{n m}$. Таким образом, мы получаем
\[
\dot{a}_{k} \approx \frac{\Pi 1}{\hbar \omega_{k m}}\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{k m} e^{i \Phi_{k m} t}, \quad k
eq m,
\]

откуда после интегрирования имеем
\[
a_{k}(t) \approx \frac{1}{i \hbar \omega_{k m}^{2}}\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{k m}\left(e^{i \omega k m}-1\right), \quad k
eq m .
\]

В пределах принятых выше апроксимаций из формулы (31.9) следует, что даже если $H$ изменяется со временем на конечную

величину, что амплитуды вероятности всех состояний, кроме начального, осциллируют, не обнаруживая регулярных изменений даже за длительное время. Соответственно, если изменение гамильтониана за боровский период для перехода $m \rightarrow k$ мало по сравнению с разностью энергий этих состояний, то вероятность перехода будет мала. Изменение амплитуды $k$-го состояния за большой промежуток времени по порядку величины равно отношению двух указанных величин:
\[
\left|a_{k}\right| \sim\left|\frac{\left(1 / \omega_{k m}\right)(\partial H / \partial t)}{E_{k}-E_{m}}\right| .
\]

Связь с теорией возмущений. Особое положение возникает в том случае, когда частота изменения гамильтониана почти совпадает с частотой одного из переходов, скажем $\omega_{k m}$. Это – случай резонанса, и.в соответствии с \& 29 можно ожидать, что даже небольшое изменение $H$ может привести к заметным изменениям амплитуды $a_{k}$ для большого промежутка времени. В этом случае соотношение (31.10) уже не выполняется, пренебрегать зависимостью $\partial H / \partial t$ от времени нельзя и переход от (31.8) к (31.9) оказывается неоправданным.

Чтобы более тщательно рассмотреть этот случай, допустим, что лишь небольшая часть гамильтониана осциллирует с угловой частотой $\omega$, близкой к $\omega_{k m}$
\[
H=H_{0}+H^{\prime} \sin \omega t, \quad \frac{\partial H}{\partial t}=\omega H^{\prime} \cos \omega t,
\]

где оператор $H^{\prime}$ мал по сравнению с $H_{0}$, причем как $H^{\prime}$, так и $H_{0}$ не зависят от времени. Если теперь пренебречь зависимостью $a_{n}$, $\omega_{k n}$ и $u_{n}$ от времени и положить, как и выше, $a_{n}=\delta_{n m}$, то система (31.8) примет вид
\[
\begin{aligned}
\dot{a}_{k} & \approx \frac{\omega H_{k m}^{\prime} \cos \omega t}{\hbar \omega_{k m}} e^{i \omega_{k m} t}= \\
& =\frac{\omega H_{k m}^{\prime}}{2 \hbar \omega_{k m}}\left[e^{i\left(\omega_{k m}+\omega\right) t}+e^{i\left(\omega_{k m}-\omega\right) t}\right] .
\end{aligned}
\]

Она легко интегрируется; в результате получим
\[
a_{k}(t) \approx \frac{\omega H_{k m}^{\prime}}{2 i \hbar \omega_{k m}}\left[\frac{e^{i\left(\omega_{k m}+\omega\right) t}-1}{\omega_{k m}+\omega}+\frac{e^{i\left(\omega_{k m}-\omega\right) t}-1}{\omega_{k m}-\omega}\right] .
\]

Отсюда следует, что адиабатическое приближение (31.10) оказывается непригодным, если $\omega_{k m} \approx \pm \omega$, так как в этом случае выражение (31.11) систематически возрастает с течением времени. Если $\omega_{k m}$ близко к $+\omega$, то можно пренебречь первым членом в скобках и отношение $\omega^{\prime} \omega_{k m}$, входящее в множитель перед скобками, заменить на +1 ; если же $\omega_{k m}$ близко к- $-\omega$, то можно пренебречь вторым членом в скобках, а $\omega / \omega_{k m}$ заменить на -1. В обоих слу-

Условие непрерывности при $t=0$ дает
\[
c_{k}=\mathbf{S}_{n} a_{n} \int \bar{w}_{k} u_{n} d \tau .
\]

Аналогично, используя условие непрерывности при $t=t_{0}$ и принимая во внимание (31.14), получаем
\[
\begin{aligned}
b_{m} & =\mathbf{S}_{k} c_{k} \int \bar{v}_{m}^{\prime} w_{k}^{\prime} d \tau^{\prime} e^{-i\left(E_{k}-E_{m}\right) t_{0} / \hbar}= \\
& =\mathbf{S}_{k} \mathbf{S}_{n} a_{\imath} \int \bar{w}_{m} u_{n} d \tau \int \bar{v}_{m}^{\prime} w_{k}^{\prime} d \tau e^{-i\left(E_{k}-E_{m}\right) t_{0} / \hbar}= \\
& =\mathbf{S}_{n} a_{n} \iint \bar{v}_{m}^{\prime}\left[\mathbf{S}_{k} w_{k}^{\prime} \bar{w}_{k} e^{-i\left(E_{k}-E_{m}\right) t_{0} / \hbar}\right] u_{n} d \tau d \tau^{\prime},
\end{aligned}
\]

где штрих означает другую группу переменных интегрирования. В силу условия полноты (10.11) выражение в скобках в последнем члене (31.15) при $t_{0}=0$ равно произведению $\delta$-функций от разности штрихованных и не штрихованных координат; при этом выражение для $b_{m}$ совпадает с (31.13), как это и должно быть.

Разница между точным (31.15) и приближенным (31.13) выражениями для $b_{m}$ определяется разностью между $\exp \left[-i\left(E_{k}-E_{m}\right) t_{0} / \hbar\right]$ и единицей. Эта разность мала, если время $t_{0}$ мало по сравнению со всеми периодами $h /\left(E_{k}-E_{m}\right)$, соответствующими состояниям $k$ и $m$, в которые может попасть система при изменении $H$.

Полезным критерием применимости указанного приближения можно считать малость $t_{0}$ по сравнению с периодами начальных состояний, так как новые состояния, характеризующиеся значительно меньшими периодами (т. е. более высокими энергиями), возбуждаются с относительно малыми амплитудами. В тех случаях, когда апроксимация внезапных возмущений оказывается полезной, ошибка в коэффициенте $b_{m}$ (а следовательно, и в определении $\psi$ ) по порядку величины равна отношению $t_{0}$ к типичному начальному периоду.

Временное возмущение. Интересным примером применения соотношения (31.15) является случай, когда начальный и конечный гамильтонианы одинаковы ( $H_{1}=H_{0}, v_{m}=u_{m}$ ) и в начальный момент система находится в определенном состоянии $n$. Тогда, если время $t_{0}$ настолько мало, что указанный выше критерий выполняется, экспоненциальное выражение в последнем члене (31.15) можно разложить в ряд, ограничившись двумя первыми членами:
\[
\begin{aligned}
b_{m} & \approx \iint \bar{u}_{m}^{\prime} \mathbf{S}_{k} w_{k}^{\prime} \bar{w}_{k}\left[1-\frac{i t_{0}}{\hbar}\left(E_{k}-E_{m}\right)\right] u_{n} d \tau d \tau^{\prime}= \\
& =\iint \bar{u}_{m}^{\prime} \mathbf{S}_{k} w_{k}^{\prime} \bar{w}_{k}\left[1-\frac{i t_{0}}{\hbar}\left(H_{i}-E_{m}\right)\right] u_{n} d \tau d \tau^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Пользуясь условием полноты и ортогональностью функций $u_{m}$ и $u_{n}$ при $m
eq n$, а также принимая во внимание равенство $E_{m} \bar{u}_{m}=H_{0} \bar{u}_{m}$

и соотношение (22.10), это выражение можно переписать в виде
\[
b_{m} \approx-\frac{i t_{0}}{\hbar} \int \bar{u}_{m}\left(H_{i}-H_{0}\right) u_{n} d \tau, \quad m
eq n .
\]

Формулу (31.16) можно обобщить на тот случай, когда оператор $H_{t}$ зависит от времени. Для этой цели надо заменить $H_{i} t_{0}$ на $\int_{0}^{t_{0}} H_{i} d t$; результат по-прежнему справедлив с точностью до величин первого порядка относительно $t_{0}$.

Следует заметить, что формула (31.16) для $b_{m}$ может оказаться полезной также и в том случае, когда оператор $H_{i}-H_{0}$ не мал по сравнению с $H_{0}$; важно лишь, чтобы выполнялся общий критерий применимости апроксимации внезапных возмущений (т. е. чтобы значение $t_{0}$ было достаточно мало). С другой стороны, теория возмущений, развитая в § 29, полезна, если к гамильтониану добавляется небольшое зависящее от времени возмущение, действующее в течение длительного промежутка времени.

Возмущение гармонического осциллятора. В качестве простого примера применения приближенных методов, развитых в настоящем параграфе, рассмотрим линейный гармонический осциллятор, у которого положение точки равновесия $a(t)$ зависит от времени. Гамильтониан этой системы имеет вид
\[
H(t)=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{1}{2} K[x-a(t)]^{2} .
\]

В каждый данный момент времени собственные функции оператора энергии имеют вид (13.13) [со сдвигом точки равновесия в положение $a(t)$ ], а уровни энергии те же, что и в § 13:
\[
u_{n}(x)=N_{n} H_{n}[\alpha(x-a)] e^{-\alpha^{2}(x-a)^{2} / 2}, \quad E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_{c} .
\]

Предположим сначала, что точка равновесия движется медленно, и исследуем, когда можно применять адиабатическое приближение. Если первоначально осциллятор находится в основном состоянии ( $n=0$ ), то матричный элемент производной от гамильтониана по времени $\partial H / \partial t=-K(x-a) \dot{a}$ отличен от нуля лишь для первого возбужденного состояния. При помощи (13.18) можно получить
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{10}=-\frac{K \dot{a}}{\alpha \sqrt{2}}=-K \dot{a}\left(\frac{1}{2} \hbar\right)^{1 / 2}(K m)^{-1 / 4} .
\]

Подставляя это значение в соотношение (31.9), видим, что коэффициент перед зависящим от времени множителем в выражении для

амплитуды первого возбужденного состояния равен
\[
\frac{K \dot{a}}{\hbar \omega_{c}^{2}} \frac{\left(\frac{1}{2} \hbar\right)^{1 / 2}}{(K m)^{1 / \iota}}=\frac{\dot{a}}{\left(2 \hbar \omega_{c} / m\right)^{1 / 2}} .
\]

Физический смысл этого равенства можно понять, замечая, что по порядку величины знаменатель равен максимальной скорости гипотетического классического осциллятора, энергия которого равна нулевой. Поэтому адиабатическое приближение является удовлетворительным, если скорость движения точки равновесия мала по сравнению со скоростью классического осциллятора. Легко видеть, что для $n$-го возбужденного состояния скорость точки равновесия должна быть мала по сравнению с соответствующей скоростью классического осциллятора, деленной на $n$.

Апроксимациєй внезапных возмущений можно пользоваться (для основного состояния осциллятора), если время, необходимое для перемещения точки равновесия из одного стационарного положения в другое, мало по сравнению с $1 / \omega_{c}$. Пусть точка равновесия сдвигается на расстояние $a$ в направлении движения, тогда как из (31.13) видно, что амплитуда вероятности $n$-го состояния после перемещения равна
\[
\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{u}_{n}(x-a) e^{-\alpha^{2} x^{2} / 2} d x=\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi^{1 / 4}} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{u}_{n}(x) e^{-\alpha^{2}(x+a)^{2} / 2} d x .
\]

С точностью до знака у $a$ этот интеграл совпадает с выражением для коэффициента $A_{n}$ в разложении (13.21); он уже вычислялся с помощью производящей функции для полиномов Эрмита (13.10). Результаты § 13 показывают, что с наибольшей вероятностью возбуждаются состояния, для которых классическая амплитуда колебаний по порядку величины равна перемещению $a$. Это согласуется с соответствующим классическим результатом.

ЗАДАЧИ

1. Атом водорода, находящийся в основном состоянии, помещен между пластинами конденсатора. На последние подается импульс напряжения, в связи с чем в конденсаторе возникает однородное электрическое поле, изменяющееся со временем по закону:
\[
\mathbf{E}=0, \quad t<0, \quad \mathbf{E}=\mathrm{E}_{0} e^{-t / \tau}, \quad t>0 .
\]

В первом приближении теории возмущений вычислить вероятность того, что спустя большой промежуток времени атом окажется в состоянии $2 S$ (200). Чему равна вероятность перехода в одно из состояний $2 P$ ?
2. K конденсатору, рассмотренному в задаче 1 , приложено переменное напряжение с угловой частотой $\omega>m e^{4} / 2 \hbar^{3}$. Вычислить отнесенную к единице времени вероятность ионизации атома водорода. Считать (только в данной задаче), что в ионизованном состоянии волновая функция электрона имеет вид плоской волны.
3. Обобщить соотношение (29.20) на тот случай, когда переходы могут происходить лишь в третьем приближении теории возмущений. Считать, что энергии всех промежуточных состояний отличны как от начального, так и от конечного значений.
4. С помощью теории возмущений найти дифференциальное эффективное сечение для столкновений с переходом атома водорода из состояния $1 S$ в $2 S$. Проинтегрировав это выражение, найти полное эффективное сечение и показать, что таким путем получается результат (30.11), справедливый при высокой энергии падающих частиц.
5. С помощью теории возмущений найти дифференциальное эффективное сечение для столкновений, при которых атом водорода переходит из состояния $1 S$ в $2 P$. Показать, что полное эффективное сечение рассеяния дается выражением (30.11), полученным в предположении о высокой энергии падающих частиц.
6. Обсудить замечание, сделанное в конце предпоследнего абзаца § 31 . В частности, на основании физических соображений разъяснить, почему условие малости скорости точки равновесия по сравнению со скоростью соответствующего классического осциллятора не является достаточным для применимости адиабатического приближения.
7. При каких условиях решение волнового уравнения $\psi(t)$ выражается через решение для начального момента времени и через гамильтониан $\boldsymbol{H}$ по формуле $\psi(t)=[\exp (-i H t / \hbar)] \psi(0)$ ? Показать, что, вообще говоря, фигурирующий в показателе степени оператор $H t$ нельзя заменить на $\int_{0} H d t^{\prime}$. Показать, однако, что с точностью до величин первого порядка малости относительно $t_{0}$ в формуле (31.16) можно заменить $H_{i} t_{0}$ на $\int_{0}^{t_{0}} H_{i} d t$.
8. Ядро атома водорода с массовым числом 3 является радиоактивным; оно испускает электрон с энергией, не превышающей 17000 эв, превращаясь в ядро атома гелия с тем же массовым числом. Показать, что к внеядерному электрону, первоначально находившемуся в атоме водорода, можно применять апроксимацию внезапных возмущений, в то время как другие приближенные методы приводят в данном случае к худшим результатам. Предполагая, что первоначально атом водорода находится в состоянии $1 S$, определить численное значение вероятности обнаружить получающийся ион атома гелия в состояниях $1 S, 2 S$ и $2 P$. Качественно рассмотреть вопрос о балансе энергии в этом процессе.