Вид собственных функций.
Собственные функции оператора импульса удовлетворяют трем уравнениям для определения собственных значений :
\[
-i \hbar \operatorname{grad} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=\mathbf{p} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})
\]

или
\[
\begin{aligned}
-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})= & p_{x} u_{\mathrm{p}}(\mathbf{r}), \quad-i \hbar \frac{\partial}{\partial y} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=p_{y} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}), \\
& -i \hbar \frac{\partial}{\partial z} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=p_{z} u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) .
\end{aligned}
\]

Они имеют вид
\[
u_{\mathbf{p}}(\mathbf{r})=C e^{i(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) / \hbar},
\]

где $C$ – нормировочная постоянная.
Как и в § 6, удобно перейти от вектора импульса р к волновому вектору $\mathbf{k}=\mathbf{p} / \hbar$, переписав собственные функции оператора импульса в виде
\[
u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=C e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} .
\]

Это равенство определяет собственные функции оператора импульса, принадлежащие собственным значениям $\hbar \mathbf{k}$.

Нормировка в ящике.
Как и в случае собственных функций оператора энергии, рассматривавшемся в § 10, можно ограничиться заданием функции $u_{\mathrm{k}}(\mathbf{r})$ в произвольно большом, но конечном кубе объема $L^{3}$ с центром в начале координат. На стенках этого куба функции должны удовлетворять граничным условиям периодичности. Тогда условие нормировки дает $C=L^{-8 / 2}$. Вектор $\mathbf{k}$ более не является произвольным: его компоненты могут принимать лишь значения
\[
k_{x}=\frac{2 \pi n_{x}}{L}, \quad k_{y}=\frac{2 \pi n_{y}}{L}, \quad k_{z}=\frac{2 \pi n_{z}}{L},
\]

где $n_{x} n_{y}, n_{z}$ – положительные или отрицательные целые числа или нули. Выбирая $L$ достаточно большим, можно сделать расстояния между соседними собственными векторами $\mathbf{k}$ сколь угодно малыми; соответственно как угодно близко будут расположены и собственные значения оператора энергии $\hbar^{2} \mathbf{k}^{2} / 2 \mathrm{~m}$.

Интересно отметить, что собственными функциями (11.2) нельзя пользоваться внутри ящика с идеально твердыми стенками, так как эти функции нигде не обращаются в нуль. Это аналогично классической ситуации, когда импульс частицы не сохраняется при отражении от твердой стенки. С другой стороны, кубический ящик, на стенках которого волновая функция 5 л. шиФФ –

должна подчиняться граничным условиям периодичности, соответствует случаю, когда все бесконечное пространство разделено на кубы, и все волновые функции – периодичны с периодом $L$ по каждой из трех осей прямоугольной системы координат. Если условие периодичности пространства перенести в соответствующую классическую задачу, то частица, проходящая через стенку, будет эквивалентна частице, падающей на эту стенку и появляющейся (с тем же импульсом) в соответствующей точке противоположной стенки.

Легко убедиться в том, что собственные функции оператора импульса
\[
u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=L^{-3 / 2} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}
\]

ортонормированы. Действительно, интегрируя по области объема $L^{3}$, мы получаем
$\int \bar{u}_{1}(\mathbf{r}) u_{\mathrm{k}}(\mathbf{r}) d \tau=$
\[
\begin{aligned}
=\frac{1}{L^{3}} \int_{-L / 2}^{L / 2} e^{i\left(k_{x}-l_{x}\right) x} d x \int_{-L / 2}^{L / 2} e^{i\left(k_{y}-l_{y}\right) y} d y \int_{-L / 2}^{L / 2} e^{i\left(k_{z}-l_{z}\right) z} d z= \\
=\delta_{k_{x}} l_{x} \delta_{k_{y}} l_{y} \delta_{k_{z}} l_{z}=\delta_{\mathrm{kl}},(11.5)
\end{aligned}
\]

где $\delta$ – символ Кронекера, и при вычислении использованы равенства (11.3). Ортонормированность можно доказать также с помощью более общего метода, использованного в § 10 для собственных функций оператора энергии [см. (10.4)].

Дельта-функция Дирака.
В § 10 указывалось, что в случае собственных функций непрерывного спектра необязательно вводить куб периодичности (что приводит к превращению спектра в дискретный, причем расстояние между собственными значениями может быть сделано как угодно малым). Для собственных функций оператора импульса в этом можно явно убедиться, вводя $\delta$-функцию Дирака [3]. Последнюю можно определить с помощью соотношений
\[
\delta(x)=0, \text { если } x
eq 0, \quad \int \delta(x) d x=1,
\]

где область интегрирования содержит точку $x=0$. Эквивалентное определение гласит, что для произвольной функции $f(x)$, непрерывной в точке $x=0$, имеет место равенство
\[
\int f(x) \delta(x) d x=f(0)
\]

здесь область интегрирования опять содержит точку $x=0$. Сопоставление формул (11.6) и (10.11) или (11.7) и (10.10)

показывает, что величину в скобках в формуле (10.10) можно выразить через $\delta$-функции
\[
\sum_{E} \vec{u}_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{E}(\mathbf{r})=\delta\left(x-x^{\prime}\right) \delta\left(y-y^{\prime}\right) \delta\left(z-z^{\prime}\right) \equiv \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\]

Сравнивая далее (11.8) и (10.6), можно видеть, что условие полноты представляет собой своего рода свойство ортонормированности собственных функций относительно суммирования по всем собственным значениям.

Представление $\delta$-функции.
Из определений (11.6) или (11.7) следует, что функция $\delta(x)$ носит резко выраженный сингулярный характер ${ }^{1}$. Качественно ее можно представить себе равной нулю всюду, кроме точки $x=0$, а в этой точке настолько большой, что площадь, ограниченная графиком этой функции и осью $x$, конечна и равна единице. Более формально ее можно представить различными способами в виде предела последовательности аналитических функций.

Весьма полезным оказывается одно ;частное представление $\delta(x)$ в виде предельного значения функции $(\sin g x) / \pi x$, где $g$ – полюжительное вещественное число. Эта функция, равная $g / \pi$ при $x=0$, при увеличении $|x|$ осциллирует с постоянно убывающей амплитудой и с периодом $2 \pi / \mathrm{g}$, а интеграл от нее по $x$, взятый в пределах от $-\infty$ до $+\infty$, равен единице независимо от значения $g$. Поэтому предел ( $\sin g x) / \pi x$ при $g \rightarrow \infty$ имеет все свойства $\delta$-функции: при $x=0$ он становится бесконечно большим, интеграл от предельного выражения равен единице, а бесконечно быстрые осцилляции при увеличении $|x|$ означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен бесконечно малой окрестностью точки $x=0$. В связи с этим можно положить
\[
\delta(x)=\lim _{g \rightarrow \infty} \frac{\sin g x}{\pi x} .
\]

Нормировқа на $\delta$-функцию.
Представлением $\delta$-функции в виде (11.9) можно воспользоваться для выражения интеграла ортогональности типа (11.5). Откажемся от куба периодичности, считая, что собственные функции оператора импульса имеют вид (11.2) во всем пространстве, причем компоненты вектора $\mathbf{k}$ могут принимать любые вещественные значения. Интеграл $\int \bar{u}_{\mathbf{1}}(\mathbf{r}) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau$ представляет собой произведение трех интегралов, каждый из которых

можно выразить через $\delta$-функцию:
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{i\left(k_{x}-l_{x}\right) x} d x=\lim _{g \rightarrow \infty} \int_{-g}^{g} e^{i\left(k_{x}-l_{x}\right) x} d x= \\
=\lim _{g \rightarrow \infty} \frac{2 \sin g\left(k_{x}-l_{x}\right)}{k_{x}-l_{x}}=2 \pi \delta\left(k_{x}-l_{x}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, для бесконечного пространства собственные функции оператора импульса имеют вид
\[
u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\left(8 \pi^{3}\right)^{-1 / 2} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}},
\]

а условие ортонормированности есть
\[
\int \bar{u}_{\mathbf{l}}(\mathbf{r}) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau=\delta\left(k_{x}-l_{x}\right) \delta\left(k_{y}-l_{y}\right) \delta\left(k_{z}-l_{z}\right) \equiv \delta(\mathbf{k}-\mathbf{1}) .
\]

В § 12 для одной типичной задачи будет показано, что одни и те же конечные результаты получаются как при нормировке собственных функций оператора импульса в кубе периодичности, так и при нормировке на $\delta$-функцию.

Некоторые свойства $\delta$-фунқции.
Важно отметить, что вследствие сингулярного характера $\delta$-функции последняя не может являться конечным результатом вычислений; она имеет смысл только, если в дальнейшем по ее аргументу производится интегрирование. Именно в этом смысле имеют место следующие свойства $\delta$-функции (см. книгу Дирака [3]) :
\[
\begin{array}{l}
\delta(x)=\delta(-x), \\
\delta^{\prime}(x)=-\delta^{\prime}(-x), \\
x \delta(x)=0 \text {, } \\
x \delta^{\prime}(x)=-\delta(x) \text {, } \\
\delta(a x)=a^{-1} \delta(x), \\
a>0, \\
\delta\left(x^{2}-a^{2}\right)=(2 a)^{-1}[\delta(x-a)+\delta(x+a)], a>0, \\
\int \delta(a-x) \delta(x-b) d x=\delta(a-b), \\
f(x) \delta(x-a)=f(a) \delta(x-a) ; \\
\end{array}
\]

здесь штрих означает дифференцирование по аргументу функции.
Любое из первых шести соотношений (11.13) можно доказать, умножая обе части равенства на непрерывную дифференцируемую функцию $f(x)$ и интегрируя по $x$. Например, четвертое соотно-

шение (11.13) дает
\[
\begin{aligned}
\int f(x) x \delta^{\prime}(x) d x & =-\int \delta(x) \frac{d}{d x}[x f(x)] d x= \\
& =-\int \delta(x)\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right] d x=-\int f(x) \delta(x) d x,
\end{aligned}
\]

где мы учли равенство нулю граничных членов, полученных в результате интегрирования по частям. Таким образом, величина $x \delta^{\prime}(x)$, будучи множителем в подинтегральном выражении, дает тот же результат, что и – $\delta(x)$. Аналогично седьмое из соотношений (11.13) означает, что при умножении обеих частей на $f(a)$ или $f(b)$ и интегрировании по $a$ или $b$ получается одинаковый результат. Последнее равенство проверяется путем интегрирования обеих частей по $x$ или $a$.

Условие полноты.
Условие полноты для собственных функций оператора импульса, формулируемое как для ящика, так и для нормировки на $\delta$-функцию, можно доказать, не обращаясь к допущению о полноте, сделанному в § 10 для собственных функций оператора энергии. При нормировке в ящике выражение, аналогичное левой -части соотношения (11.8), имеет вид
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mathbf{k}} \bar{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) & u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})= \\
& =L^{-3} \sum_{n_{x}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{y}=-\infty}^{\infty} \sum_{n_{z}=-\infty}^{\infty} e^{2 \pi i\left[n_{x}\left(x-x^{\prime}\right)+n_{y}\left(y-y^{\prime}\right)+n_{z}\left(z-z^{\prime}\right)\right] / L} .
\end{aligned}
\]

Это выражение легко вычислить в предельном случае больших $L$, когда при изменении каждого из чисел $n$ на единицу сумма изменяется на пренебрежимо малую величину. Тогда можно рассматривать $n_{x}$ как непрерывную переменную и в связи с этим заменить сумму по $n$ интегралом $\int_{-\infty}^{\infty} d n_{x}=(L / 2 \pi) \int_{-\infty}^{\infty} d k_{x}$. При этом, принимая во внимание формулу (11.10), мы получим
\[
\begin{aligned}
\sum_{\mathbf{k}} \bar{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \underset{L \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \\
\underset{L \rightarrow \infty}{\longrightarrow}\left(8 \pi^{5}\right)^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\left[k_{x}\left(x-x^{\prime}\right)+k_{y}\left(y-y^{\prime}\right)+k_{z}\left(z-z^{\prime}\right)\right]} d k_{x} d k_{y} d k_{z}= \\
=\delta\left(x-x^{\prime}\right) \delta\left(y-y^{\prime}\right) \delta\left(z-z^{\prime}\right)=\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .(11 .
\end{aligned}
\]

Аналогичное вычисление можно провести и при нормировке на $\delta$-функцию, причем в этом случае формулы (11.11) и (11.10) дают
\[
\int u_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau_{k}=\iiint \bar{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d k_{x} d k_{y} d k_{z}=\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\]

Условие полноты (11.14) или (11.15) показывает, что собственные функции оператора импульса ортонормированы как относительно интегрирования по всем координатам $\mathbf{r}$, так и по отношению к суммированию или интегрированию по всем значениям вектора $\mathbf{k}$.

Разложение по собственным фунқциям оператора импульса.
С помощью $\delta$-функции произвольную непрерывную функцию $\psi(\mathbf{r})$ можно записать в виде
\[
\psi(\mathbf{r})=\int \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\]

Подставляя вместо $\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)$ левую часть равенства (11.14), получаем
\[
\begin{array}{c}
\psi(\mathbf{r})=\int \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \sum_{\mathbf{k}} \tilde{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau^{\prime}=\sum_{\mathbf{k}} A_{\mathbf{k}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}), \\
A_{\mathbf{k}}=\int \tilde{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\end{array}
\]

Аналогично, заменяя $\delta\left(\mathbf{r}\right.$ – $\left.\mathbf{r}^{\prime}\right)$ соответствующим выражением из соотношения (11.15), будем иметь
\[
\psi(\mathbf{r})=\int \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \int \bar{u}_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau_{k} d \tau^{\prime}=\int A_{\mathbf{k}} u_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) d \tau_{k},
\]

где выражения для $A_{\mathbf{k}}$ остаются прежними. Соотношения (11.17) и (11.18) показывают, что произвольную функцию можно разложить по собственным функциям оператора импульса, нормированным либо в кубе периодичности, либо на $\delta$-функцию¹).

Вероятность и среднее значение.
Функция, определяющая плотность вероятности различных значений импульса и характеризуемая нормированной волновой функцией $\psi(\mathbf{r})$, пропорциональна $\left|A_{\mathbf{k}}\right|^{2}$. Множитель пропорциональности равен 1 , так как, если положить
\[
P(\mathbf{k})=\left|A_{\mathbf{k}}\right|^{2},
\]

то, по аналогии с (10.12), легко показать, что
\[
\sum_{\mathbf{k}} P(\mathbf{k})=1 \quad \text { и } \int P(\mathbf{k}) d \tau_{k}=1
\]
(соответственно при нормировке в кубе периодичности и на $\delta$-функцию).
При нормировке в кубе среднее значение импульса равно
\[
\langle\mathbf{p}\rangle=\hbar \sum_{\mathbf{k}} \mathbf{k} P(\mathbf{k})=\hbar \sum_{\mathbf{k}} \int \mathbf{k} \bar{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \tau \int u_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \bar{\varphi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\]

Из (11.2) явствует, что $\mathbf{k} \bar{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$ можно заменить на $i \operatorname{grad} \bar{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})$. Тогда в первом интеграле (11.21) можно провести интегрирование по частям, причем интеграл по поверхности равен нулю вследствие периодических граничных условий, наложенных на $\psi$ и $\bar{u}_{\mathrm{k}}$. Используя соотношения (11.14) и (11.21), получаем
\[
\begin{array}{c}
\langle\mathbf{p}\rangle=-i \hbar \sum_{\mathbf{k}} \int \bar{u}_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \operatorname{grad} \psi(\mathbf{r}) d \tau \int u_{\mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}= \\
=-i \hbar \iint \bar{\varphi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)[\operatorname{grad} \psi(\mathbf{r})] \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau d \tau^{\prime}= \\
=-i \hbar \int \bar{\psi}(\mathbf{r}) \operatorname{grad} \psi(\mathbf{r}) d \tau .(11.22)
\end{array}
\]

Этот результат находится в соответствии со вторым равенством (7.8).

При нормировке на $\delta$-функцию вычисления в основном аналогичны предыдущим, за исключением того, что поверхностный интеграл, получаемый в результате интегрирования по частям, берется по сфере бесконечного радиуса и обращается в нуль вследствие малости $\psi$ на больших расстояниях. Это соответствует предположению о том, что функция $\psi$ нормирована ; в противном случае как интеграл $\int P(\mathbf{k}) d \tau_{k}$, так и среднее значение $\langle\mathbf{p}\rangle$ не имели бы физического смысла. В результате вычислений получаются те же соотношения (11.22) и (7.8).