Дифференциальное эффективное сечение рассеяния определяется лишь асимптотическим поведением волновой функции, но чтобы найти это последнее, необходимо решить волновое уравнение (18.8) во всем пространстве. Как и в задаче об уровнях энергии, рассматривавшейся в гл. IV, решение возможно лишь если переменные в волновом уравнении разделяются. В частности, большой физический интерес представляет случай сферически симметричной потенциальной энергии. Мы допустим сейчас, что $V$ зависит только от $r$, и найдем связь асимптотического выражения (18.10) с решениями волнового уравнения, в котором произведено разделение переменных в сферических координатах; такой подход называется методом парциальных волн.

В последующей части настоящей главы мы в большинстве случаев не будем проводить различия между рассеянием частицы неподвижным центром и столкновением двух частиц в системе центра инерции.

Асимптотическое поведение.
Очевидно, что задача теперь является симметричной относительно полярной оси, в связи с чем функции $u$, $f$ и $\sigma$ не зависят от угла $\varphi$. Общее решение уравнения (18.8) имеет вид (см. § 14)
\[
u(r, \theta)=\sum_{l=0}^{\infty} R_{l}(r) P_{l}(\cos \theta)=\sum_{l=0}^{\infty} r^{-1} \chi_{l}(r) P_{l}(\cos \theta),
\]

где $P_{l}$ – полином Лежандрапорядка $l$, а функция $\chi_{l}$ удовлетворяет уравнению
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \chi_{l}}{d r^{2}}+\left[k^{2}-U(r)-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] \chi_{l}=0, \\
k=\left(\frac{2 \mu E}{\hbar^{2}}\right)^{1 / 2}, U(r)=\frac{2 \mu V(r)}{\hbar^{2}} \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0 .
\end{array}
\]

Асимптотический вид решения (19.2) с точностью до произвольного постоянного множителя определяется граничным условием, согласно которому при $r=0$ функция $R_{l}$ должна быть конечной, т. е. $\chi_{l}$ должна быть равна нулю.

Чтобы выяснить общий характер асимптотического поведения функции $\chi_{l}$, будем считать $r$ настолько большим, что в уравнении (19.2) можно пренебречь членами с $U$ и $l$. Тогда решение (19.2) будет иметь вид $e^{ \pm i k r}$. Лучшее приближение получим, положив
\[
\chi_{l}(r)=A \exp \left[\int_{a}^{r} f\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime}\right] e^{ \pm i k r},
\]

где $A$ и $a$ – постоянные. Предполагается, что при больших $r$ первый экспоненциальный множитель является медленно меняющейся функцией $r$, в связи с чем при $r \rightarrow \infty$ функция $f(r)$ должна уменьшаться быстрее, чем $1 / r$. Подстановка (19.3) в (19.2) приводит к следующему уравнению для $f$ :
\[
f^{\prime}+f^{2} \pm 2 i k f=U(r)+\frac{l(l+1)}{r^{2}}=W(r),
\]

где $\delta_{l}$ – вещественное число. В силу (15.8) эта функция асимптотически ведет себя как
\[
R_{l}(r) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow}(k r)^{-1} A_{l} \sin \left(k r-\frac{1}{2} l \pi+\delta_{l}\right) .
\]

Равенства (19.5) и (19.8) совпадают, если $A_{l}=k A_{l}^{\prime}$ и $\delta_{l}=\delta_{l}^{\prime}+l \pi / 2$. Попытаемся теперь отождествить асимптотическую форму (19.1) с (18.10). Для этого разложим $e^{i k z}=e^{i k r \cos \theta}$ в ряд по полиномам Лежандра ${ }^{1)}$ :
\[
e^{i k r \cos \theta}=\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} j_{l}(k r) P_{l}(\cos \theta) .
\]

Подставляя асимптотическое выражение (19.9) в (18.10) при $A=1$ и приравнивая результат асимптотическому значению (19.1), получаем
\[
\begin{aligned}
\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l}(k r)^{-1} \sin & \left(k r-\frac{1}{2} l \pi\right) P_{l}(\cos \theta)+r^{-1} f(\theta) e^{i k r}= \\
= & \sum_{l=0}^{\infty} A_{l}(k r)^{-1} \sin \left(k r-\frac{1}{2} l \pi+\delta_{l}\right) P_{l}(\cos \theta) .
\end{aligned}
\]

Записав синусы в комплексной экспоненциальной форме, следует приравнять коэффициенты при $e^{i k r}$ и $e^{-i k r}$ в обеих частях равенства:
\[
\begin{array}{c}
2 i k f(\theta)+\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} e^{-i l \pi / 2} P_{l}(\cos \theta)=\sum_{l=0}^{\infty} A_{l} e^{i\left(\delta_{l}-l \pi / 2\right)} P_{l}(\cos \theta), \\
\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} e^{i l \pi / 2} P_{l}(\cos \theta)=\sum_{l=0}^{\infty} A_{l} e^{-i\left(\delta_{l}-l \pi / 2\right)} P_{l}(\cos \theta) . \quad(19.10)
\end{array}
\]

Поскольку эти соотношения справедливы для любых значений $\theta$, а полиномы Лежандра образуют ортогональную систему, из второго соотношения (19.10) следует :
\[
A_{l}=(2 l+1) i^{l} e^{i \delta_{l}} .
\]

Подставив это в первое равенство (19.10), найдем амплитуду рассеяния
\[
f(\theta)=(2 i k)^{-1} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1)\left(e^{2 i \mathrm{~d}_{l}}-1\right) P_{l}(\cos \theta) .
\]

Таким образом, дифференциальное эффективное сечение дается формулой
\[
\sigma(\theta)=|f(\theta)|^{2}=\frac{1}{k^{2}}\left|\sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) e^{i \delta_{l}} \sin \delta_{l} P_{l}(\cos \theta)\right|^{2} .
\]

Полное эффективное сечение.
Полное эффективное сечение получается ‘ в результате интегрирования (19.12) по поверхности сферы единичного радиуса. В силу ортогональности полиномов Лежандра в полном сечении нет членов, содержащих произведения множителей с разными $l$ :
\[
\sigma=2 \pi \int_{0}^{\pi} \sigma(\theta) \sin \theta d \theta=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \sin ^{2} \delta_{l} .
\]

Полное эффективное сечение можно выразить также через амплитуду рассеяния вперед $f(0)$. Из вида производящей функции для полиномов Лежандра (14.10) следует, что $P_{l}(1)=1$ при любых $l$; поэтому при $\theta=0$ формула (19.11) дает
\[
f(0)=(2 i k)^{-1} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1)\left(e^{2 i \delta_{l}}-1\right) .
\]

Сравнивая это с (19.13), получаем
\[
\sigma=\frac{2 \pi}{i k}[f(0)-\bar{f}(0)]=\frac{4 \pi}{k} \operatorname{Im}[f(0)],
\]

где символ Im означает мнимую часть. Соотношение (19.14) можно истолковать следующим образом. Чтобы рассеяние имело место, частицы должны удаляться из бомбардирующего пучка в количестве, пропорциональном $\sigma$; поэтому за областью рассеяния ( $\theta \approx 0$ ) интенсивность пучка должна быть меньше, чем перед ней. Это может произойти только за счет интерференции двух слагаемых в асимптотическом выражении (18.10). Поскольку член, характеризующий такую интерференцию, должен линейно зависеть от амплитуды рассеяния вперед, должно существовать общее соотношение типа (19.14). Явное вычисление интерференционного члена показывает, что фактически соотношение (19.14) справедливо и в гораздо более общем случае; амплитуда $f$ может зависеть не только от $\theta$, но и от $\varphi$ : может также иметь место не только упругое, но и неупругое рассеяние и поглощение (см. работу Шиффа [2]).

Фазы.
Согласно (19.8), угол $\delta_{l}$ представляет собой разность фаз между асимптотическими выражениями точной радиальной функции $R_{l}(r)$ и радиальной функции свободного движения $i_{l}(k r)$.

Поэтому величину $\delta_{l}$ называют фазой $l$-й парциальной волны. Фазы полностью определяют рассеяние: в частности, дифференциальное сечение обращается в нуль, если все углы $\delta_{l}$ равны $0^{\circ}$ или $180^{\circ}$.

Следует отметить, что если $U(r)$ убывает быстрее, чем $1 / r$, то соотношение (19.11) остается справедливым независимо от сущест-

вования сферы радиуса $a$, за пределами которой значением $U(r)$ можно пренебречь. Однако при вычислении эффективного сечения метод парциальных волн особенно полезен при наличии подобного радиуса $a$, особенно если $k a$ по порядку величины меньше или равно единице. Дело в том, что первый (и наибольший) максимум функции $i_{l}(k r)$, грубо говоря, лежит при $r=l / k$, а при заметно меньших $r$ эта функция мала, убывая примерно как $r^{l}$ [см. (15.7)]. Поэтому при $a \ll l / k$ функция $j_{l}$ будет очень мала там, где $U$ имеет заметную величину. Соответственно поле $U(r)$ почти не будет влиять на $l$-ю парциальную волну, фаза $\delta_{l}$ будет очень мала, и вкладом этой волны в рассеяние можно будет пренебречь. Следовательно, эффективное сечение представится в виде ряда членов, соответствующих различным $l$ от нуля до максимального значения, по порядку величины равного $k a$. Поскольку вычисление фаз обычно является довольно трудоемким, то чем меныше величина $k a$, тем легче применять данный метод. Поэтому метод парциальных волн оказывается наиболее полезным при малых энергиях падающих частиц.

Интересно отметить, что в классическом случае прицельное расстояние для свободной частицы с массой $\mu$, скоростью $v$ и моментом количества движения $l \hbar$ равно $l \hbar / \mu v=l / k$. Таким образом, предыдущие замечания сводятся к утверждению о том, что классическая частица не испытывает рассеяния, если ее момент количества движения настолько велик, что она не попадает в область взаимодействия $r<a$.

Вычисление фаз.
Фазы $\delta_{l}$ вычисляютсяј путем „сшивания“ волновой функции $R_{l}(r)$ при $r<a$ с решением во внешней области (19.7). При этом „внутреннее” решение может задаваться либо аналитически, либо в случае необходимости – численными методами. Граничные условия в точке $r=a$ сводятся к требованию непрерывности функции $\left(1 / R_{l}\right)\left(d R_{l} / d r\right)$. Обозначая это соотношение для „внутреннего\” решения через $\gamma_{l}$, мы имеем
\[
\frac{k\left[j_{l}^{\prime}(k a) \cos \delta_{l}-n_{l}^{\prime}(k a) \sin \delta_{l}\right]}{j_{l}(k a) \cos \delta_{l}-n_{l}(k a) \sin \delta_{l}}=\gamma_{l},
\]

где производные $j_{l}^{\prime}$ и $n_{l}^{\prime}$ можно выразить с помощью (15.10). Отсюда для фазы $\delta_{l}$ получаем
\[
\operatorname{tg} \delta_{l}=\frac{k j_{l}^{\prime}(k a)-\gamma_{l} j_{l}(k a)}{k n_{l}^{\prime}(k a)-\gamma_{l} n_{l}(k a)} .
\]

При $l \gg k a$, когда фазу $\delta_{l}$ можно считать малой, уравнение (19.15) позволяет немедленно найти приближенное значение $\delta_{l}$. Именно в этом случае $\gamma_{l}$ мало отличается от соответствующего значения в отсутствие рассеивающего потенциала, в связи с чем

мы положим
\[
\gamma_{l}=k\left[\frac{\dot{j}_{l}^{\prime}(k a)}{\dot{j}_{l}(k a)}+\varepsilon_{l}\right], \quad|\varepsilon| \ll\left|\frac{\dot{j}_{l}^{\prime}(k a)}{j_{i}(k a)}\right| .
\]

С помощью (15.9) выражение (19.15) можно представить в форме
\[
\operatorname{tg} \delta_{l}=\frac{\varepsilon_{l}(k a)^{2} j_{l}^{2}(k a)}{\varepsilon_{l}(k a)^{2} j_{l}(k a) n_{l}(k a)-1}
\]
(пока еще точной). Воспользуемся теперь (15.7) для $j_{l}$ при $l \gg(k a)^{2}$ и оценим $n_{l}$ с помощью (15.7) и (15.8); тогда неравенство (19.16) примет вид
\[
\left|\varepsilon_{l}\right| \ll \frac{l}{k a},
\]

а выражение (19.17) приближенно можно будет записать в форме
\[
\delta_{l} \approx-\frac{\varepsilon_{l}(k a)^{2 l+2}}{[1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 l+1)]^{2}}=-\frac{\varepsilon_{l} 2^{2 l}(l !)^{2}(k a)^{2 l+2}}{[(2 l+1) !]^{2}} .
\]

Равенством (19.19) можно воспользоваться для проверки сходимости сумм по парциальным волнам типа суммы, фигурирующей в (19.11). Главные члены в $\ln \left|\delta_{l}\right|$ при большом $l$ можно найти по формуле Стирлинга; пренебрегая членами порядка $\ln$ l и меньше, получаем
\[
\ln \left|\delta_{l}\right| \approx \ln \left|\varepsilon_{l}\right|+2 l[\ln (k a)+1-\ln 2]-2 l \ln l .
\]

Таким образом, даже если $\left|\varepsilon_{l}\right|$ принимает максимальное значение (19.18), то и тогда $\delta_{l}$ убывает обратно пропорционально $l !_{l}$ (т. е. быстрее, чем экспоненциально), и ряды, фигурирующие в выражениях для эффективного сечения, очень быстро сходятся при больших $l$.

Связь между знаками $\delta_{l}$ и $V(r)$.
Из формулы (19.19) явствует, что при $l \gg(k a)^{2}$ знаки $\delta_{l}$ и $\varepsilon_{l}$ противоположны. Пусть потенциальная энергия $V$ или $U$ положительна, что соответствует преобладанию сил отталкивания. Тогда из (19.2) следует, что отношение второй производной от радиальной волновой функции к самой этой функции алгебраически больше, чем для свободной частицы. Это означает, что логарифмическая производная радиальной функции при $r=a$ алгебраически больше, чем в случае $U=0$. Таким образом, коль скоро преобладают силы отталкивания, величина $\varepsilon_{l}$ оказывается положительной, а фаза $\delta_{l}$ – отрицательной. Последнее означает, что по сравнению со случаем отсутствия сил радиальная волновая функция „выталкивается наружу\”.

Аналогичным путем можно убедиться, что при отрицательном потенциале добавка $\varepsilon_{l}$ будет отрицательной, а фаза $\delta_{l}$ – положи

В этом состоит объяснение ${ }^{1)}$ эффекта Рамзауэа – Таунсенд $a^{2}$, заключающегося в ноявлении чрезвычайно глубокого минимума эффективного сечения рассеяния электронов на атомах инертного газа при энергии бомбардирующих частиц около 0,7 эв. Атом инертного газа, электронные оболочки которого полностью заполнены, относительно мал, и результирующее действие атомных электронов и ядра на рассеиваемый электрон велико и проявляется в резко ограниченной области пространства, Поэтому можно ожидать ситуации типа изображенной на фиг. 19 .
Фиг. 19. Схематическая кривая, характеризующая влияние атомного потенциала инертного газа с ,радиусом\” $a$ на парциальную волну при $l=0$ в случае минимального эффективного сечения рассеяния (эффект Рамзауэра – Таунсенда).
Қак и на фиг. 18 , истинная волновая функция и волновая функция свободного движения вблизн точки $r=0$ ведут себя одинаково, но первая из них ,\”втягивается внутрь\”, сдвигаясь по фазе на $180^{\circ}$. В действительности величина $k a$ будет несколько меньше, чем показано на фигуре.

Здесь, в области действия атомного потенциала, фаза парциальной волны с $l=0$ сдвигается как раз на половину периода по сравнению со случаем свободной частицы, и в то же время длина волны электрона настолько велика по сравнению с $a$, что фазами для больших значений $l$ можно пренебречь. Ясно, что минимальное значение эффективного сечения рассеяния будет наблюдаться лишь при некоторой определенной энергии рассеиваемых частиц. Действительно, при малой энергии поведение волновой функции в области действия потенциала почти не зависит от энергии, в то время как фаза волновой функции свободных частиц сильно зависит от энергии.

С физической точки зрения эффект Рамзауэра – Таунсенда можно представить себе как результат диффракции электронов на атомах инертного газа, причем искажение волновой функции
1) Это объяснение было предложено Н. Бором и количественно подтверждено Факсеном и Хольцмарком [3].
2) Обзор опытных результатов содержится в статье Коллата [4].
$9^{*}-4$

внутри атома таково, что она непрерывно переходит в неискаженную функцию вне атома. Этот эффект аналогичен рассмотренному выше случаю полной прозрачности одномерного барьера при определенных энергиях [см. дискуссию в связи с (17.5)]. Однако, в противоположность одномерному случаю, эффект Рамзауэра – Таунсенда не может наблюдаться, если преобладают силы отталкивания. Действительно, для того чтобы фаза $\delta_{0}$ составила – $180^{\circ}$, величина $k a$ должна быть по крайней мере близка к единице, а тогда будут заметны и фазы, соответствующие более высоким значениям $l$.

Рассеяние идеально твердой сферой.
В качестве первого примера применения метода парциальных волн рассмотрим рассеяние частиц идеально твердой сферой, когда $V(r)=+\infty$ при $r<a$, и $V(r)=0$ при $r>a$. При $r>a$ решение радиального уравнения будет иметь вид (19.7). Граничное условие $u(a, \theta)=0$, полученное в § 8 , эквивалентно требованию, чтобы при $r=a$ все радиальные функции обращались в нуль. Таким образом, фазы можно найти, либо приравнивая нулю все функции $R_{l}(a)$, определяемые по (19.7), либо полагая в (19.15) $\gamma_{t} \rightarrow \infty$ :
\[
\operatorname{tg} \delta_{l}=\frac{j_{l}(k a)}{n_{l}(k a)} .
\]

Вычисления особенно просты в предельном случае низких энергий, когда $k a=2 \pi a / \lambda \ll 1$. В этом случае, подставляя (15.7) в (19.20), получаем следующую приближенную формулу для фаз:
\[
\operatorname{tg} \delta_{l} \approx \frac{(k a)^{2 l+1}}{(2 l+1)[1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 l-1)]^{2}} .
\]

Таким образом, в соответствии с (19.19) фазы $\delta_{l}$ очень быстро убывают с ростом $l$. При $k \rightarrow 0$ все фазы стремятся к нулю, но вклад в сечение от парциальной волны с $l=0$ остается конечным вследствие наличия в (19.12) и (19.13) множителя $1 / k^{2}$. Итак, мы получаем
\[
\sigma(\theta) \approx a^{2}, \quad \sigma \approx 4 \pi a^{2} .
\]

Рассеяние является сферически симметричным, и полное эффективное сечение в 4 раза превышает классическое значение.

В предельном случае высоких энергий ( $k a \gg 1$ ) можно ожидать классических результатов. Действительно, в этом случае можно образовать волновые пакеты, малые по сравнению с размерами области рассеяния, а они могут двигаться по классическим траекториям, не расплываясь заметным образом. Это соответствует представлению о лучах в волновой теории света или звука. Расчет сечения здесь довольно затруднителен: мы только наметим метод вычисления главного члена в полном сечении. Подстанов-

ка (19.20) в (19.13) дает
\[
\sigma=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(2 l+1) j_{l}(k a)}{j_{2}(k a)+n_{l}^{2}(k a)} .
\]

Воспользуемся асимптотическими разложениями функций Бесселя; справедливыми для больших значений агрумента\” в том случае, когда порядок функции нибо меньше аргумента, либо совпадает с ним, либо, наконец, больше его. Вычисление показывает, что основной вклад в (19.23) обусловлен слагаемыми с
\[
l<(k a)-C(k a)^{1 / 2},
\]

где $C$ – число порядка единицы; главный член равен $(k a)^{2} / 2$. Две другие части, соответствующие $(k a)-C(k a)^{1 / 3}<l<(k a)+C(k a)^{1 / 3}$ и $l>(k a)+C(k a)^{1 / 2}$, дают вклад порядка $(k a)^{4 / 3}$, и в предельном случае больших энергий ими можно пренебречь. Таким образом,
\[
\sigma \approx 2 \pi a^{2}
\]

что вдвое превышает классическое значение.
Причина на первый взгляд неправильного результата (19.24) состоит в том, что при выборе асимптотического выражения волновой функции (18.10) акты рассеяния в классическом предельном случае считаются дважды: первый раз – в действительном рассеянии (которое, как и в классической задаче, оказывается сферически симметричным) и второй раз – в теневой области, возникающей за рассеивающей сферой по направлению движения [эта тень обусловлена интерференцией между падающей плоской волной $e^{i k z}$ и рассеянной волной $f(\theta) e^{i k r} / r$; см. также дискуссию в связи с (19.14)]. Однако при конечных значениях $k a$ около сферы действительно происходит диффракция, и полное измеряемое эффективное сечение приблизительно равно $2 \pi a^{2}$ (если только измерение захватывает резкий максимум в направлении движения первичного пучка).

Рассеяние прямоугольной потенциальной ямой.
В качестве второго примера применения метода парциальных волн мы рассмотрим несколько более сложную задачу о рассеянии сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямой, изображенной на фиг. 13 ( $\$ 15$ ). По аналогии с (15.1) в области при $r<a$ волновую функцию, конечную при $r=0$, можно представить в виде
\[
R_{l}(r)=B_{l} i_{l}(\alpha r), \quad \alpha=\left[\frac{2 \mu\left(E+V_{0}\right)}{\hbar^{2}}\right]^{1 / 2} .
\]

Таким образом, фазы определяются формулой (19.15), где при $r=a$ логарифмическая производная от $l$-й парциальной волны

равна
\[
\gamma_{l}=\frac{\alpha j_{l}^{\prime}(\alpha a)}{j_{l}(\alpha a)}
\]

В предельном случае низких энергий ( $k a \ll 1)$ подстановка (15.7) в (19.15) приводит к следующим значениям для первых двух фаз
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{tg} \delta_{0} \approx-\frac{\gamma_{0} k a^{2}}{1+\gamma_{0} a}, \\
\operatorname{tg} \delta_{1} \approx \frac{(k a)^{3}}{3} \frac{1-\gamma_{1} a}{2+\gamma_{1} a} .
\end{array}
\]

При $k \rightarrow 0$ оба эти значения стремятся к нулю, за исключением случая $\gamma_{0} a=-1$ или $\gamma_{1} a=-2$. Однако, как и в случае твердой сферы, парциальная волна с $l=0$ вносит конечный вклад в сечение рассеяния, так как в (19.12) и (19.13) имеется множитель $1 / k^{2}$. В силу (19.26) $\gamma_{0} a=\alpha a \operatorname{ctg} \alpha a-1$, и, следовательно,
\[
\sigma \approx 4 \pi a^{2}\left(1-\frac{\operatorname{tg} \alpha a}{\alpha a}\right)^{2} .
\]

Рассеяние является сферически симметричным. Полученный здесь и в задаче о рассеянии на твердой сфере вывод о том, что при рассеянии частиц малой энергии сечение рассеяния по существу не зависит ни от энергии, ни от угла наблюдения, почти всегда справедлив для любого потенциала с конечным радиусом действия. Исключения, отмечавшиеся в связи с (19.27), могут возникнуть, если какое-либо из отношений $\gamma_{l}$ таково, что знаменатель в выражении для $\operatorname{tg} \delta_{l}$ очень мал. В таких случаях говорят о резонансе для $l$-й парциальной волны. Обычно она при этом играет главную роль в рассеянии.

Резонансное рассеяние.
Чтобы найти приближенное выражение для эффективного сечения резонансного рассеяния, заметим, что если $\alpha$ достаточно близко к $\alpha_{0} \equiv\left(2 \mu V_{0} / \hbar^{2}\right)^{1 / 2}$, то $\gamma_{l}$ зависит от $\alpha$ линейно. При увеличении $\alpha$ внутренняя часть волновой функции быстрее достигает максимума, вследствие чего логарифмическая производная при $r=a$ уменьшается. При малых $k$
\[
\alpha=\left(\alpha_{0}^{2}+k^{2}\right)^{1 / 2} \approx \alpha_{0}+\frac{k^{2}}{2 \alpha_{0}},
\]

так что, ограничиваясь низшими степенями $k$, можно написать
\[
\gamma_{l} a \approx \gamma_{l}^{0} a-b_{l}(k a)^{2},
\]

где $\gamma_{l}^{0}$ есть значение $\gamma_{l}$ при $\alpha=\alpha_{0}$, а $b_{l}$ – положительное число порядка единицы ${ }^{1}$. Подставляя это в (19.27) и затем в (19.12), нахо-

дим главный член в сечении рассеяния для случаев резонанса парциальных волн с $l=0$ или 1 :
\[
\begin{array}{ll}
\sigma(\theta) \approx \frac{a^{2}}{\left(\zeta_{0}-b_{0} k^{2} a^{2}\right)^{2}+(k a)^{2}}, & l=0 \\
\sigma(\theta) \approx \frac{9 a^{2} \cos ^{2} \theta(k a)^{4}}{\left(\zeta_{1}-b_{1} k^{2} a^{2}\right)^{2}+(k a)^{6}}, & l=1 .
\end{array}
\]

Мы положили здесь $\zeta_{0}=\gamma_{0}^{0} a+1$ и $\zeta_{1}=\gamma_{1}^{0} a+2$; при резонансе абсолютные величины $\left|\zeta_{0}\right|$ и $\left|\zeta_{1}\right|$ малы по сравнению с единицей. Легко показать, что выражение (19.29) представляет собой монотонно убывающую функцию от $k a$, тогда как (19.30) при положительных $\zeta_{1}$ имеет резкий максимум при $k a \approx\left(\zeta_{1} / b_{1}\right)^{1 / 2}$, а при отрицательном $\zeta_{1}$ – гораздо более слабый максимум при $k a \approx$ $\approx\left(2\left|\zeta_{1}\right| b_{1}\right)^{1 / 2}$.

Пользуясь соотношением $\zeta_{0}=\alpha_{0} a \operatorname{ctg} \alpha_{0} a$, из (19.29) можно усмотреть, что при резонансе парциальной волны с $l=0$ справедливо следующее приближенное выражение для полного сечения:
\[
\sigma \approx \frac{4 \pi}{k^{2}+\alpha_{0}^{2} \operatorname{ctg}^{2} \alpha_{0} a} .
\]

Очевидно, при низких энергиях парциальная волна с $l=0$ будет в резонансе, если величина $\alpha_{0} a$ приближенно равна нечетному числу, умноженному на $\pi / 2$, так что $V_{0} a^{2} \approx \pi^{2} \hbar^{2} / 8 \mu, 9 \pi^{2} \hbar^{2} / 8 \mu$ и т. Д. Как видно из формулы (15.3), это как раз те значения $V_{0} a^{2}$, при которых возникают новые уровни энергии с $l=0$. Как можно показать, резонанс всегда имеет место при рассеянии частиц такой энергии потенциальной ямой (необязательно прямоугольной и необязательно при $l=0$ ), если при том же $l$ в яме имеются дискретные уровни, близкие к нулю.

Наглядно можно было бы сказать, что в тех случаях, когда энергия падающих частиц близка к тому значению, при котором возможен их захват силовым центром, частица имеет тенденцию „концентрироваться” в соответствующей области, в связи с чем волновая функция заметно искажается и рассеяние увеличивается.

Резкие резонансные максимумы при рассеянии частиц малой энергии, аналогичные найденному выше для случая $l=1, \zeta_{1}>0$, могут иметь место и при любых других значениях $t$ (исключая $l=0$ ), если только потенциальная яма недостаточно глубока или широка, чтобы в ней мог возникнуть новый уровень с тем же моментом количества движения (в случае прямоугольной ямы этому соответствуют малые положительные значения $\zeta_{\gamma}$ ). Наглядно можно представить себе, что потенциал такого типа содержит виртуальный уровень энергии, расположенный несколько выше нулевого. Хотя при положительном значении энергии дискретный уровень существовать не может, положительный „центро-

бежный потенциал\” $l(l+1) \hbar^{2} / 2 \mu r^{2}[$ см. (14.18)] при $l>0$ действует как потенциальный барьер, удерживающий частицу на виртуальном уровне вблизи силового центра. Такой барьер изображен на фиг. 20 ; так же, как и барьер, представленный на фиг. 14, он обладает малой прозрачностью при низких энергиях [см. (17.7)]. Таким образом, виртуальный уровень имеет в некотором роде временный характер, вызывая при совпадении энергии падающей волны с энергией виртуального уровня большее искажение волновой функции падающей частицы по сравнению с волнами других энергий.
Угловое распределение при низких энергиях. При малой (но отличной от нуля) энергии

Фиг. 20. Эффективная потенциальная энергия [ $V(r)$ плюс ,,центробежный потенциал\”] для $i>0$, когда $V=0$ при $r>a$.

Вид пунктирной части кривой (при $r<a$ ) зависнт от формы потенцнала $V$. Если $E$ несколько больше нуля, то эффективный потенциальный барьер ( $r \geqslant a)$ характеризуется малым пропусканием и в этом отношен ин аналогичен барьеру, изображенному на фиг. 14. падающей частицы заметную роль в рассеянии может играть парциальная волна с $l=1$. Если только фазы $\delta_{0}$ и $\delta_{1}$ заметно отличны от нуля, то формулы (19.12) и (19.13) принимают вид $\sigma(\theta)=\frac{1}{k^{2}}\left[\sin ^{2} \delta_{0}+\right.$
\[
\left.+6 \sin \delta_{0} \sin \delta_{1} \cos \left(\delta_{1}-\delta_{0}\right) \cos \theta+9 \sin ^{2} \delta_{1} \cos ^{2} \theta\right] \text {, }
\]
\[
\sigma=\frac{4 \pi}{k^{2}}\left(\sin ^{2} \delta_{0}+3 \sin ^{2} \delta_{1}\right) .
\]

Из формул (19.27) и (19.32) видно, что в отсутствие резонанса отношение вкладов парциальных волн с $l=0$ и $l=1$ в полное сечение составляет величину порядка ( $k a)^{4}$. Однако в дифференциальном сечении наибольший член, зависящий от углов (проnopциональный $\cos \theta$ ), имеет порядок ( $k a)^{2}$ относительно изотропного слагаемого.

Таким образом, парциальная волна с $l=1$ влияет главным образом на угловое распределение при малой энергии, но не на полное сечение рассеяния; это обусловлено интерференцией данной волны с более интенсивной парциальной волной с $l=0$. Если, например, при некоторой энергии падающих частиц $\delta_{0}=20^{\circ}$ и $\delta_{1}=2^{\circ}$, то вклад парциальной волны с $l=1$ в полное эффективное сечение рассеяния составляет лишь $3 \%$; в то же время вследствие наличия этой волны рассеяние вперед $\left(\theta=0^{\circ}\right)$ в 3,5 раза превышает рассеяние назад $\left(\theta=180^{\circ}\right)$.