Вводя свое нерелятивистское волновое уравнение, Шредингер предложил также обобщенное уравнение, учитывающее требования специальной теории относительности ${ }^{2}$. Оно естественно вытекает из релятивистского обобщения нерелятивистской фор-

мулы классической динамики:
\[
E=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m} .
\]

Как известно, в теории относительности зависимость энергии свободной частицы от импульса вместо (42.1) принимает вид
\[
E^{2}=c^{2} \mathbf{p}^{2}+m^{2} c^{4},
\]

причем теперь в $E$ входит и энергия покоя $m c^{2}$. В соответствии с $(6.13)$ заменим величины $E$ и р операторами
\[
E \rightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathbf{p} \rightarrow-i \hbar \text { grad. }
\]

Свободная частица.
Подобно тому как подстановка выражений (42.3) в (42.1) приводит к уравнению (6.11), так и релятивистское волновое уравнение для свободной частицы можно получить, подставляя выражения (42.3) в (42.2) и действуя полученным оператором на волновую функцию $\psi(\mathrm{r}, t)$. В результате будем иметь
\[
-\hbar^{2} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=-\hbar^{2} c^{2}
abla^{2} \psi+m^{2} c^{4} \psi .
\]

Уравнение (42.4) допускает решения в виде плоских волн
\[
e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)} \text {. }
\]

Они представляют собой собственные функции операторов $E$ и p, определяемых выражениями (42.3), и принадлежат, соответственно,
? собственным значениям $\hbar \omega$ и $\hbar \mathbf{k}$. Выражение (42.5), очевидно, удовлетворяет уравнению (42.4), если
\[
\hbar \omega= \pm\left(\hbar^{2} c^{2} \mathbf{k}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{1 / 2} .
\]

Положительный и отрицательный знаки перед корнем в (42.6) соответствуют неопределенности знака энергии, имеющей место и в классической формуле (42.2). Пока что мы возьмем только положительное значение квадратного корня, а к решениям с отрицательной энергией вернемся в конце § 44.

Выражения для плотности заряда и тока можно найти так же, как и в § 7. Уравнение непрерывности
\[
\frac{\partial}{\partial t} P(\mathbf{r}, t)+\operatorname{div} \mathbf{S}(\mathbf{r}, t)=0
\]

инвариантно относительно преобразований Лоренца. Умножим (42.4) слева на $\bar{\psi}$, а комплексно сопряженное уравнение — слева на $\psi$ и вычтем второе уравнение из первого. Вводя вещественные величины
\[
\begin{aligned}
P(\mathbf{r}, t) & =\frac{i \hbar}{2 m c^{2}}\left(\bar{\psi} \frac{\partial \psi}{\partial t}-\psi \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t}\right), \\
\mathbf{S}(\mathbf{r}, t) & =\frac{\hbar}{2 i m}(\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi-\psi \operatorname{grad} \bar{\psi}),
\end{aligned}
\]

получаем для них уравнение (42.7). Выражение (42.8) для $\mathbf{S}$ совпадает с нерелятивистской формулой (7.3), а выражение для $P$, как можно показать, в нерелятивистском приближении переходит в (7.1) (см. задачу 2). Следует отметить что значение $P$ (42.8) не является определенно положительным, и потому его нельзя интерпретировать как плотность вероятности координат. Однако его можно умножить на $e$ и интерпретировать как плотность электрического заряда, ибо последняя, оставаясь вещественной, может иметь любой знак.

Электромагнитные потенциалы.
Чтобы включить в волновое уравнение взаимодействие с электромагнитным полем, можно воспользоваться тем обстоятельством, что потенциалы $\varphi$ и ( $1 / c$ ) А имеют такие же трансформационные свойства, как $E$ и р. Пусть частица обладает зарядом е. По аналогии с нерелятивистским выражением (23.14), заменим (42.2) равенством
\[
(E-e \varphi)^{2}=(c \mathrm{p}-e \mathbf{A})^{2}+m^{2} c^{4} .
\]

Подставляя сюда (42.3), получаем
\[
\begin{array}{l}
\left(-\hbar^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-2 i e \hbar \varphi \frac{\partial}{\partial t}-i e \hbar \frac{\partial \varphi}{\partial t}+e^{2} \varphi^{2}\right) \psi= \\
=\left[-\hbar^{2} c^{2}
abla^{2}+2 i e \hbar c \mathbf{A} \cdot \operatorname{grad}+i e \hbar c(\operatorname{div} \mathbf{A})+e^{2} \mathbf{A}^{2}+m^{2} c^{4}\right] \psi .
\end{array}
\]

Теперь можно установить связь между уравнением (42.10) и соответствующим нерелятивистским уравнением (23.24). Произведем в (42.10) замену
\[
\psi(\mathbf{r}, t)=\psi^{\prime}(\mathbf{r}, t) e^{-i m c^{2} t / \hbar}
\]

и допустим, что результат действия оператора $i \hbar(\partial / \partial t)$ на $\psi^{\prime}$ по порядку величины равен еф $\psi^{\prime}$ (и мал по сравнению с $m c^{2} \psi^{\prime}$ ). Это означает, что из полной энергии вычитается энергия покоя, предполагаемая большой по сравнению с остающейся частью энергии. Дифференцируя (42.11) по времени, получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(\frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}-\frac{i m c^{2}}{\hbar} \psi^{\prime}\right) e^{-i m c^{2} t / \hbar}, \\
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=\left(\frac{\partial^{2} \psi^{\prime}}{\partial t^{2}}-\frac{2 i m c^{2}}{\hbar} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}-\frac{m^{2} c^{4}}{\hbar^{2}} \psi^{\prime}\right) e^{-i m c^{4} t / \hbar} .
\end{array}
\]

Первыми членами в каждой из этих производных можно пренебречь, равно как и двумя последними слагаемыми в левой части (42.10); тогда она примет вид
\[
\left(2 i \hbar m c^{2} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial t}+m^{2} c^{4} \psi^{\prime}-2 e m c^{2} \varphi \psi^{\prime}\right) e^{-i m c^{2} t / \hbar} .
\]

Очевидно, в этом приближении уравнение (42.10) совпадает с (23.24), если заменить $\psi^{\prime}$ на $\psi$.

Не нарушая инвариантности теории, невозможно включить в уравнение (42.10) спиновые матрицы Паули (33.3). Это и неудивительно, так как они преобразуются как компоненты трехмерного, а не четырехмерного вектора, а $\psi$ имеет не две компоненты [как спиновые функции (33.4)], а только одну. Таким образом, релятивистское уравнение Шредингера описывает частицу без спина.

Из вида соотношения (42.9) следует, что к уравнению (42.10) нельзя произвольно прибавить член „потенциальной энергии\», подобно тому, как это делалось в уравнении (23.24). Прежде всего необходимо исследовать трансформационные свойства любого такого члена относительно преобразований Лоренца. Если он преобразуется как часть четырехмерного вектора, то и остальная часть этого вектора также должна входить в уравнение по тому же закону, по которому $\varphi$ и ( $1 / c$ ) А входят в (42.9). Если же он инвариантен относительно преобразований Лоренца, то его можно добавить к энергии покоя $m c^{2}$.

Разделение переменных.
Если потенциалы А и $\varphi$ не зависят от времени, то переменные $\mathbf{r}$ и $t$ в уравнении (42.10) разделяются. Полагая
\[
\psi(\mathbf{r}, t)=u(\mathbf{r}) e^{-i E t / \hbar}
\]

и подставляя это выражение в (42.10), получаем
\[
\begin{aligned}
& (E-e \varphi)^{2} u= \\
= & {\left[-\hbar^{2} c^{2}
abla^{2}+2 i e \hbar c \mathbf{A} \cdot \operatorname{grad}+i e \hbar c(\operatorname{div} \mathbf{A})+e^{2} \mathbf{A}^{2}+m^{2} c^{4}\right] u . }
\end{aligned}
\]

Рассмотрим теперь частный случай, когда $\mathbf{A}=0$, а функция $\varphi(\mathbf{r})$ сферически симметрична. Тогда уравнение (42.12) принимает вид
\[
\left(-\hbar^{2} c^{2}
abla^{2}+m^{2} c^{4}\right) u(\mathbf{r})=[E-e \varphi(r)]^{2} u(\mathbf{r})
\]

и допускает разделение переменных в сферических координатах (см. § 14):
\[
\begin{array}{c}
u(r, \theta, \varphi)=R(r) Y_{l m}(\theta, \varphi), \\
{\left[-\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d}{d r}\right)+\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] R=\left[\frac{(E-e \varphi)^{2}-m^{2} c^{4}}{\hbar^{2} c^{2}}\right] R, \quad l=0,1,2, \ldots .}
\end{array}
\]

Если положить $E=m c^{2}+E^{\prime}$ и допустить, что величины $E^{\prime}$ и еч пренебрежимо малы по сравнению с $m c^{2}$, то (42.14) сводится к нерелятивистскому радиальному уравнению. При этом выражение в скобках в правой части (42.14) будет равно $\left(2 m / \hbar^{2}\right)\left(E^{\prime}-e \varphi\right)$, как и должно быть.

Уровни энергии в кулоновском поле.
Если положить е $\varphi=-Z e^{2} / r$, то с помощью результатов § 16 легко найти точное решение урав-

нения (42.14). Полученное уравнение могло бы характеризовать атом водорода, если бы спин частицы, им описываемой, не был равен нулю (такая частица не может быть электроном).

Положим $\varrho=\alpha r$, тогда уравнение (42.14) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\varrho^{2}} \frac{d}{d \varrho}\left(\varrho^{2} \frac{d R}{d \varrho}\right)+\left(\frac{\lambda}{\varrho}-\frac{1}{4}-\frac{l(l+1)-\gamma^{2}}{\varrho^{2}}\right) R=0, \\
\gamma \equiv \frac{Z e^{2}}{\hbar c}, \quad \alpha^{2}=\frac{4\left(m^{2} c^{4}-E^{2}\right)}{\hbar^{2} c^{2}}, \quad \lambda \equiv \frac{2 E \gamma}{\hbar c \alpha} .
\end{array}
\]

Это уравнение будет совпадать с (16.7), если заменить в нем $l(l+1)$ на $l(l+1)-\gamma^{2}$. Параметр $\lambda$ определяется из граничных условий, накладываемых на функцию $R$ при $\varrho=\infty$, а $E$ можно выразить через $\lambda$, исключая $\alpha$ из последних двух уравнений (42.15):
\[
E=m c^{2}\left(1+\frac{\gamma^{2}}{\lambda^{2}}\right)^{-1 / 2} .
\]

Так же, как и в случае (16.7), можно установить, что в данном случае решения, конечные при $\varrho=0$ и $\infty$, существуют лишь при условии
\[
\lambda=n^{\prime}+s+1,
\]

где $n^{\prime}$ — нуль или положительное целое число, а $s$ — неотрицатёльный корень уравнения
\[
s(s+1)=l(l+1)-\gamma^{2} .
\]

Очевидно, имеются два корня
\[
s=-\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\left[(2 l+1)^{2}-4 \gamma^{2}\right]^{1 / 2},
\]

один из которых при $l>0$ положителен, а другой отрицателен. При $l=0$ оба корня $s$ отрицательны; однако константа $\gamma$ очень мала (если $e$-заряд электрона, то $\gamma$ очень близка к $Z / 137$ ), так что для значений $Z$, представляющих физический интерес, $s$ близко к нулю [если взять верхний знак в (42.19)]. Кроме того, хотя вблизи точки $r=0$ функция $R(r)$ ведет себя как $r^{s}$ и, следовательно, имеет сингулярность в начале координат, интеграл от функции $P(\mathbf{r})$, определяемой формулой (42.8), сходится, так что полный электрический заряд остается конечным. Таким образом, при всех $l$ мы будем брать верхний знак (42.19). Тогда равенство (42.17) дает
\[
\lambda=n^{\prime}+\frac{1}{2}+\left[\left(l+\frac{1}{2}\right)^{2}-\gamma^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Формулы (42.16) и (42.20) описывают тонкую структуру нерелятивистских уровней энергии (16.15). В этом можно убедиться,

разлагая выражения для энергии в ряд по степеням $\gamma^{2}$. С точностью до членов порядка $\gamma^{4}$ получаем
\[
E=m c^{2}\left[1-\frac{\gamma^{2}}{2 n^{2}}-\frac{\gamma^{4}}{2 n^{4}}\left(\frac{n}{l+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4}\right)\right],
\]

где $n=n^{\prime}+l+1$ — полное квантовое число, определяемое равенством (16.14) и принимающее только положительные целые значения. Первый член в правой части (42.21) представляет энергию покоя. Второй член
\[
-\frac{m c^{2} \gamma^{2}}{2 n^{2}}=-\frac{m Z^{2} e^{4}}{2 \hbar^{2} n^{2}}
\]

соответствует (16.15). Третий член характеризует энергию тонкой структуры и снимает $l$-вырождение состояний с данным значением $n$. Как видно из (42.21), полная „ширина\» системы подуровней, образующих тонкую структуру, составляет (при данном $n$ )
\[
\frac{m c^{2} \gamma^{4}}{n^{3}} \frac{n-1}{n-\frac{1}{2}} .
\]

Эта величина значительно превышает экспериментально наблюдаемую в спектре атома водорода.