Вводя свое нерелятивистское волновое уравнение, Шредингер предложил также обобщенное уравнение, учитывающее требования специальной теории относительности ${}^2$. Оно естественно вытекает из релятивистского обобщения нерелятивистской фор-

мулы классической динамики:
$$E=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}.$$

Как известно, в теории относительности зависимость энергии свободной частицы от импульса вместо (42.1) принимает вид
$$E^2=c^2{\mathbf{p}}^2+m^2{c}^4,$$

причем теперь в $E$ входит и энергия покоя $m{c}^2$. В соответствии с $(6.13)$ заменим величины $E$ и р операторами
$$E\to i\hslash \frac{\partial }{\partial t},\mathbf{p}\to -i\hslash \text{ grad. }$$

Свободная частица.
Подобно тому как подстановка выражений (42.3) в (42.1) приводит к уравнению (6.11), так и релятивистское волновое уравнение для свободной частицы можно получить, подставляя выражения (42.3) в (42.2) и действуя полученным оператором на волновую функцию $\psi (\mathrm{r},t)$. В результате будем иметь
$$-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=-{\hslash }^2{c}^{2}abl{a}^2\psi +m^2{c}^4\psi .$$

Уравнение (42.4) допускает решения в виде плоских волн
$$e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)}\text{. }$$

Они представляют собой собственные функции операторов $E$ и p, определяемых выражениями (42.3), и принадлежат, соответственно,
? собственным значениям $\hslash \omega$ и $\hslash \mathbf{k}$. Выражение (42.5), очевидно, удовлетворяет уравнению (42.4), если
$$\hslash \omega =\pm {({\hslash }^2{c}^2{\mathbf{k}}^2+m^2{c}^4)}^{1/2}.$$

Положительный и отрицательный знаки перед корнем в (42.6) соответствуют неопределенности знака энергии, имеющей место и в классической формуле (42.2). Пока что мы возьмем только положительное значение квадратного корня, а к решениям с отрицательной энергией вернемся в конце § 44.

Выражения для плотности заряда и тока можно найти так же, как и в § 7. Уравнение непрерывности
$$\frac{\partial }{\partial t}P(\mathbf{r},t)+\mathrm{div}\mathbf{S}(\mathbf{r},t)=0$$

инвариантно относительно преобразований Лоренца. Умножим (42.4) слева на $\overline{\psi }$, а комплексно сопряженное уравнение — слева на $\psi$ и вычтем второе уравнение из первого. Вводя вещественные величины
$$\begin{array}{rl}P(\mathbf{r},t)& =\frac{i\hslash }{2m{c}^2}(\overline{\psi }\frac{\partial \psi }{\partial t}-\psi \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial t}),\\ \mathbf{S}(\mathbf{r},t)& =\frac{\hslash }{2im}(\overline{\psi }\mathrm{grad}\psi -\psi \mathrm{grad}\overline{\psi }),\end{array}$$

получаем для них уравнение (42.7). Выражение (42.8) для $\mathbf{S}$ совпадает с нерелятивистской формулой (7.3), а выражение для $P$, как можно показать, в нерелятивистском приближении переходит в (7.1) (см. задачу 2). Следует отметить что значение $P$ (42.8) не является определенно положительным, и потому его нельзя интерпретировать как плотность вероятности координат. Однако его можно умножить на $e$ и интерпретировать как плотность электрического заряда, ибо последняя, оставаясь вещественной, может иметь любой знак.

Электромагнитные потенциалы.
Чтобы включить в волновое уравнение взаимодействие с электромагнитным полем, можно воспользоваться тем обстоятельством, что потенциалы $\phi$ и ( $1/c$ ) А имеют такие же трансформационные свойства, как $E$ и р. Пусть частица обладает зарядом е. По аналогии с нерелятивистским выражением (23.14), заменим (42.2) равенством
$$(E-e\phi {)}^2=(c\mathrm{p}-e\mathbf{A}{)}^2+m^2{c}^4.$$

Подставляя сюда (42.3), получаем
$$\begin{array}{l}(-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-2ie\hslash \phi \frac{\partial }{\partial t}-ie\hslash \frac{\partial \phi }{\partial t}+e^2{\phi }^2)\psi =\\ =[-{\hslash }^2{c}^{2}abl{a}^2+2ie\hslash c\mathbf{A}\cdot \mathrm{grad}+ie\hslash c(\mathrm{div}\mathbf{A})+e^2{\mathbf{A}}^2+m^2{c}^4]\psi .\end{array}$$

Теперь можно установить связь между уравнением (42.10) и соответствующим нерелятивистским уравнением (23.24). Произведем в (42.10) замену
$$\psi (\mathbf{r},t)={\psi }^{\prime }(\mathbf{r},t)e^{-im{c}^{2}t/\hslash }$$

и допустим, что результат действия оператора $i\hslash (\partial /\partial t)$ на ${\psi }^{\prime }$ по порядку величины равен еф ${\psi }^{\prime }$ (и мал по сравнению с $m{c}^2{\psi }^{\prime }$ ). Это означает, что из полной энергии вычитается энергия покоя, предполагаемая большой по сравнению с остающейся частью энергии. Дифференцируя (42.11) по времени, получаем
$$\begin{array}{l}\frac{\partial \psi }{\partial t}=(\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial t}-\frac{im{c}^2}{\hslash }{\psi }^{\prime })e^{-im{c}^{2}t/\hslash },\\ \frac{{\partial }^2\psi }{\partial t^2}=(\frac{{\partial }^2{\psi }^{\prime }}{\partial t^2}-\frac{2im{c}^2}{\hslash }\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial t}-\frac{m^2{c}^4}{{\hslash }^2}{\psi }^{\prime })e^{-im{c}^{4}t/\hslash }.\end{array}$$

Первыми членами в каждой из этих производных можно пренебречь, равно как и двумя последними слагаемыми в левой части (42.10); тогда она примет вид
$$(2i\hslash m{c}^2\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial t}+m^2{c}^4{\psi }^{\prime }-2em{c}^2\phi {\psi }^{\prime })e^{-im{c}^{2}t/\hslash }.$$

Очевидно, в этом приближении уравнение (42.10) совпадает с (23.24), если заменить ${\psi }^{\prime }$ на $\psi$.

Не нарушая инвариантности теории, невозможно включить в уравнение (42.10) спиновые матрицы Паули (33.3). Это и неудивительно, так как они преобразуются как компоненты трехмерного, а не четырехмерного вектора, а $\psi$ имеет не две компоненты [как спиновые функции (33.4)], а только одну. Таким образом, релятивистское уравнение Шредингера описывает частицу без спина.

Из вида соотношения (42.9) следует, что к уравнению (42.10) нельзя произвольно прибавить член „потенциальной энергии\», подобно тому, как это делалось в уравнении (23.24). Прежде всего необходимо исследовать трансформационные свойства любого такого члена относительно преобразований Лоренца. Если он преобразуется как часть четырехмерного вектора, то и остальная часть этого вектора также должна входить в уравнение по тому же закону, по которому $\phi$ и ( $1/c$ ) А входят в (42.9). Если же он инвариантен относительно преобразований Лоренца, то его можно добавить к энергии покоя $m{c}^2$.

Разделение переменных.
Если потенциалы А и $\phi$ не зависят от времени, то переменные $\mathbf{r}$ и $t$ в уравнении (42.10) разделяются. Полагая
$$\psi (\mathbf{r},t)=u(\mathbf{r})e^{-iEt/\hslash }$$

и подставляя это выражение в (42.10), получаем
$$\begin{array}{rl}& (E-e\phi {)}^{2}u=\\ =& [-{\hslash }^2{c}^{2}abl{a}^2+2ie\hslash c\mathbf{A}\cdot \mathrm{grad}+ie\hslash c(\mathrm{div}\mathbf{A})+e^2{\mathbf{A}}^2+m^2{c}^4]u.\end{array}$$

Рассмотрим теперь частный случай, когда $\mathbf{A}=0$, а функция $\phi (\mathbf{r})$ сферически симметрична. Тогда уравнение (42.12) принимает вид
$$(-{\hslash }^2{c}^{2}abl{a}^2+m^2{c}^4)u(\mathbf{r})=[E-e\phi (r){]}^{2}u(\mathbf{r})$$

и допускает разделение переменных в сферических координатах (см. § 14):
$$\begin{array}{c}u(r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ),\\ [-\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d}{dr}\right)+\frac{l(l+1)}{r^2}]R=\left[\frac{(E-e\phi {)}^2-m^2{c}^4}{{\hslash }^2{c}^2}\right]R,l=0,1,2,\dots .\end{array}$$

Если положить $E=m{c}^2+E^{\prime }$ и допустить, что величины $E^{\prime }$ и еч пренебрежимо малы по сравнению с $m{c}^2$, то (42.14) сводится к нерелятивистскому радиальному уравнению. При этом выражение в скобках в правой части (42.14) будет равно $\left(2m/{\hslash }^2\right)(E^{\prime }-e\phi )$, как и должно быть.

Уровни энергии в кулоновском поле.
Если положить е $\phi =-Z{e}^2/r$, то с помощью результатов § 16 легко найти точное решение урав-

нения (42.14). Полученное уравнение могло бы характеризовать атом водорода, если бы спин частицы, им описываемой, не был равен нулю (такая частица не может быть электроном).

Положим $\varrho =\alpha r$, тогда уравнение (42.14) можно переписать в виде
$$\begin{array}{l}\frac{1}{{\varrho }^2}\frac{d}{d\varrho }\left({\varrho }^2\frac{dR}{d\varrho }\right)+(\frac{\lambda }{\varrho }-\frac{1}{4}-\frac{l(l+1)-{\gamma }^2}{{\varrho }^2})R=0,\\ \gamma \equiv \frac{Z{e}^2}{\hslash c},{\alpha }^2=\frac{4(m^2{c}^4-E^2)}{{\hslash }^2{c}^2},\lambda \equiv \frac{2E\gamma }{\hslash c\alpha }.\end{array}$$

Это уравнение будет совпадать с (16.7), если заменить в нем $l(l+1)$ на $l(l+1)-{\gamma }^2$. Параметр $\lambda$ определяется из граничных условий, накладываемых на функцию $R$ при $\varrho =\mathrm{\infty }$, а $E$ можно выразить через $\lambda$, исключая $\alpha$ из последних двух уравнений (42.15):
$$E=m{c}^2{(1+\frac{{\gamma }^2}{{\lambda }^2})}^{-1/2}.$$

Так же, как и в случае (16.7), можно установить, что в данном случае решения, конечные при $\varrho =0$ и $\mathrm{\infty }$, существуют лишь при условии
$$\lambda =n^{\prime }+s+1,$$

где $n^{\prime }$ — нуль или положительное целое число, а $s$ — неотрицатёльный корень уравнения
$$s(s+1)=l(l+1)-{\gamma }^2.$$

Очевидно, имеются два корня
$$s=-\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}{[(2l+1{)}^2-4{\gamma }^2]}^{1/2},$$

один из которых при $l>0$ положителен, а другой отрицателен. При $l=0$ оба корня $s$ отрицательны; однако константа $\gamma$ очень мала (если $e$-заряд электрона, то $\gamma$ очень близка к $Z/137$ ), так что для значений $Z$, представляющих физический интерес, $s$ близко к нулю [если взять верхний знак в (42.19)]. Кроме того, хотя вблизи точки $r=0$ функция $R(r)$ ведет себя как $r^s$ и, следовательно, имеет сингулярность в начале координат, интеграл от функции $P(\mathbf{r})$, определяемой формулой (42.8), сходится, так что полный электрический заряд остается конечным. Таким образом, при всех $l$ мы будем брать верхний знак (42.19). Тогда равенство (42.17) дает
$$\lambda =n^{\prime }+\frac{1}{2}+{[{(l+\frac{1}{2})}^2-{\gamma }^2]}^{1/2}.$$

Формулы (42.16) и (42.20) описывают тонкую структуру нерелятивистских уровней энергии (16.15). В этом можно убедиться,

разлагая выражения для энергии в ряд по степеням ${\gamma }^2$. С точностью до членов порядка ${\gamma }^4$ получаем
$$E=m{c}^2[1-\frac{{\gamma }^2}{2n^2}-\frac{{\gamma }^4}{2n^4}(\frac{n}{l+\frac{1}{2}}-\frac{3}{4})],$$

где $n=n^{\prime }+l+1$ — полное квантовое число, определяемое равенством (16.14) и принимающее только положительные целые значения. Первый член в правой части (42.21) представляет энергию покоя. Второй член
$$-\frac{m{c}^2{\gamma }^2}{2n^2}=-\frac{m{Z}^2{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}$$

соответствует (16.15). Третий член характеризует энергию тонкой структуры и снимает $l$-вырождение состояний с данным значением $n$. Как видно из (42.21), полная „ширина\» системы подуровней, образующих тонкую структуру, составляет (при данном $n$ )
$$\frac{m{c}^2{\gamma }^4}{n^3}\frac{n-1}{n-\frac{1}{2}}.$$

Эта величина значительно превышает экспериментально наблюдаемую в спектре атома водорода.