Впервые вариационный метод был применен для приближенного вичисления наинизшего уровня энергии системы; в последние годы им стали пользоваться и в теории столкновений. В первом случае, который мы и рассмотрим сначала, вариационный метод можно применять и в отсутствие близкой задачи, допускающей точное решение, т. е. тогда, когда метод возмущений оказывается непригодным. Им можно пользоваться также и в том случае, когда не удается разделить переменные в уравнении Шредингера, вследствие чего численное интегрирование чрезвычайно сложно, а квазиклассический метод (см. § 28) оказывается неприменимым.

Применение вариационного метода к теории столкновений будет рассмотрено в последней части настоящего параграфа.

Среднее значение энергии. В § 10 было показано, что если разложить произвольную нормированную функцию $\psi$ по собственным функциям оператора энергии $u_{E}$ :
\[
\psi=\sum_{E} A_{E} u_{E}, \quad \text { где } \quad H u_{E}=E u_{E},
\]

образующим полную ортонормированную систему, то среднее значение $H$ в состоянии $\psi$ дается формулой
\[
\langle H\rangle=\int \bar{\psi} H \psi d \tau=\sum_{E} E\left|A_{E}\right|^{2} .
\]

Интегрирование здесь производится по всей области изменения координат, характеризующих систему. Для удобства записи все

В отсутствие взаимодействия между электронами собственная функция основного состояния данной системы представляла бы собой произведение двух нормированных водородных функций $u_{106}\left(\mathbf{r}_{1}\right) u_{106}\left(\mathbf{r}_{2}\right)$, определяемых формулой (16.24) при $Z=2$;
\[
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=\frac{Z^{3}}{\pi a_{0}^{3}} e^{-\left(Z / a_{0}\right)\left(r_{1}+r_{2}\right)} .
\]

Пробную функцию при наличии взаимодействия возьмем также в виде (27.7), но теперь $Z$ будем рассматривать как параметр, подлежащий варьированию (и, следовательно, уже не обязательно $Z=2$ ).

Из результатов задачи 13 гл. IV следует, что в основном состоянии атома водорода средние значения кинетической и потенциальной энергии равны соответственно $e^{2} / 2 a_{0}$ и – $e^{2} / a_{0}$; соответствующая волновая функция равна ( $\left.\pi a_{0}^{3}\right)^{-1 / 2} e^{-r / a_{0}}$. Среднее значение оператора кинетической энергии в состоянии (27.7) проще всего вычислить, замечая, что результат действия оператора Лапласа обратно пропорционален квадрату длины, характерной для данной волновой функции. В случае (27.7) характерная длина в $Z$ раз меньше, чем для атома водорода; поэтому среднее значение каждого из операторов кинетической энергии в (27.6) равно $e^{2} Z^{2} / 2 a_{0}$. Аналогично в связи с наличием множителя $1 / r$ среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра обратно пропорционально характерной длине. Кроме того, в связи с изменением заряда ядра появляется еще дополнительный множитель 2 и в результате получается $-2 e^{2} Z / a_{0}$.

Энергия взаимодействия электронов. Среднее значение энергии взаимодействия между электронами составляет
\[
\begin{array}{l}
\iint \bar{\psi}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) \frac{e^{2}}{r_{12}} \psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}= \\
=\left(\frac{Z^{3}}{\pi a_{0}^{3}}\right)^{2} e^{2} \iint \frac{1}{r_{12}} e^{-\left(2 Z / a_{0}\right)\left(r_{1}+r_{3}\right)} d \tau_{1} d \tau_{2} .
\end{array}
\]

Входящий в эту формулу интеграл проще всего вычислить, рассматривая его как взаимную электростатическую энергию двух перекрывающихся сферически симметричных объемных зарядов; это позволяет воспользоваться упрощенными методами, известными из электростатики.

Более общий метод интегрирования, применимый и тогда, когда волновые функции не обладают сферической симметрией, заключается в разложении $1 / r_{12}$ по сферическим функциям
\[
\begin{array}{llrl}
\frac{1}{r_{12}} & =\frac{1}{r_{1}} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{l} P_{l}(\cos \theta), & & r_{1}>r_{2}, \\
\frac{1}{r_{12}} & =\frac{1}{r_{2}} \sum_{l=0}^{\infty}\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{l} P_{l}(\cos \theta), & & r_{1}<r_{2} ;
\end{array}
\]

здесь
\[
\cos \theta=\cos \theta_{1} \cos \theta_{2}+\sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right),
\]
$\theta$ – угол между векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, а $\theta_{1}, \varphi_{1}$ и $\theta_{2} ; \varphi_{2}$ – соответственно ${ }^{1}$ полярные углы векторов $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$.
Можно показать ${ }^{2}$, что
\[
\begin{array}{l}
P_{l}(\cos \theta)=P_{l}\left(\cos \theta_{1}\right) P_{l}\left(\cos \theta_{2}\right)+ \\
\quad+2 \sum_{m \sim 1}^{l} \frac{(l-m) !}{(l+m) !} P_{l}^{m}\left(\cos \theta_{1}\right) P_{l}^{m}\left(\cos \theta_{2}\right) \cos m\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) \cdot(27.10)
\end{array}
\]

Если подставить (27.9) и (27.10) в (27.8) и воспользоваться ортогональностью сферических функций, то при интегрировании по полярным углам вектора $\mathbf{r}_{1}$ обратятся в нуль все члены, кроме тех, для которых числа $l$ и $m$ равны нулю. Тогда интеграл в правой части (27.8) принимает вид
\[
(4 \pi)^{2} \int_{0}^{\infty}\left[\int_{0}^{r_{1}} \frac{1}{r_{1}} e^{-\frac{2 Z}{a_{0}}\left(r_{1}+r_{2}\right)} r_{2}^{2} d r_{2}+\int_{r_{1}}^{\infty} \frac{1}{r_{2}} e^{-\frac{2 Z}{a_{0}}\left(r_{1}+r_{2}\right)} r_{2}^{2} d r_{2}\right] r_{1}^{2} d r_{1}
\]

и легко вычисляется; результат равен $5 \pi^{2} a_{0}^{5} / 8 Z^{5}$. Таким образом, среднее значение энергии взаимодействия электронов составляет $5 e^{2} Z / 8 a_{0}$.

Вариация параметра Z. Итак, среднее значение гамильтониана (27.6) в состоянии, описываемом пробной функцией (27.7), равно
\[
\langle H\rangle=\frac{e^{2} Z^{2}}{a_{0}}-\frac{4 e^{2} Z}{a_{0}}+\frac{5 e^{2} Z}{8 a_{0}}=\frac{e^{2}}{a_{0}}\left(Z^{2}-\frac{27}{8} Z\right) .
\]

Дифференцируя по $Z$, нхходим, что минимум $\langle H\rangle$ достигается при $Z=27 / 16=1,69$. Соответственно наиболее точное значение энергии основного состояния атома гелия, которое можно получить с данной пробной функцией, равно
\[
-\left(\frac{27}{16}\right)^{2} \frac{e^{2}}{a_{0}}=-2,85 \frac{e^{2}}{a_{0}} .
\]

Для энергии двойной ионизации атома гелия опыт дает значение $2,904 e^{2} / a_{0}$, так что наш результат примерно на $1,9 \%$ отличается от истинного. Наиболее тщательные вычисления энергии основного состояния атома гелия, проведенные с помощью вариационного

метода, прекрасно совпадают с опытом ${ }^{1}$, давая тем самым важное подтверждение справедливости квантовой механики.

Тот факт, что лучшие значения для энергии получаются, если в водородоподобной функции положить $Z={ }^{27} / 16=1,69$, а не 2 , означает, что каждый электрон экранирует ядро от другого электрона, вследствие чего эффективный заряд ядра уменьшается на $5 / 16$ электронного заряда.

Если член $e^{2} / r_{12}$, описывающий взаимодействие электронов, рассматривать как возмущение, то в первом приближении возмущенная энергия, определяемая значением $\langle H\rangle$ при $Z=2$, равна $-2,75 e^{2} / a_{0}$, что на $5,3 \%$ больше экспериментального значения. Очевидно, что вообще вычисления в первом приближении теории возмущений эквивалентны вычислениям вариационным методом, но при не наилучшем выборе пробной функции.

Силы Ван-дер-Ваальса.
В качестве второго примера применения вариационного метода вычислим силу (далекого) ван-дер-ваальсовского взаимодействия между двумя атомами водорода, находящимися в основных состояниях. Сначала удобно рассмотреть эту задачу с помощью теории возмущений, так как в этом случае легко обнаружить, что на больших расстояниях между атомами главный член в энергии взаимодействия обратно пропорционален шестой степени расстояния. Далее, оказывается, что теория возмущений и вариационный метод дают противоположные пределы для коэффициента при этом члене.
Фи r. 24. Два атома водорода, около ядер которых $A$ и $B$, удаленных на расстояние $R$, находятся электроны 1 и 2 .
Взаимодействие между атомами дается выражением $H^{\prime}$ в формулах (27.11).
Пусть ядра $A$ и $B$ двух атомов водорода покоятся на расстоянии $R$ друг от друга, и ось $z$ параллельна прямой, их соединяющей. Обозначим через $\mathbf{r}_{1}$ радиус-вектор первого электрона относительно ядра $A$, а через $\mathbf{r}_{2}$ – радиус-вектор второго электрона относительно ядра $B$ (см. фиг. 24). Тогда гамильтониан для двух

электронов можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
H=H_{0}+H^{\prime}, \\
H_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left(
abla_{1}^{2}+
abla_{2}^{2}\right)-\frac{e^{2}}{r_{1}}-\frac{e^{2^{-}}}{r_{2}}, \\
H^{\prime}=\frac{e^{2}}{R}+\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{1 B}}-\frac{e^{2}}{r_{2} A} .
\end{array}
\]

Собственная функция невозмущенного гамильтониана $H_{0}$ описывает два невзаимодействующих атома водорода в основных состояниях и имеет вид
\[
u_{0}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=u_{100}\left(\mathbf{r}_{1}\right) u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) .
\]

Член $H^{\prime}$, характеризующий взаимодействие, мы рассматриваем как возмущение; это имеет смысл, если $R \gg a_{0}$.

Интересуясь лишь главным членом в энергии взаимодействия при больших $R$, разложим $H^{\prime}$ в ряд по степеням $1 / R$ и ограничимся первыми членами:
\[
\begin{aligned}
H^{\prime}=\frac{e^{2}}{R}\{1+ & {\left[1+\frac{2\left(z_{2}-z_{1}\right)}{R}+\frac{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}{R^{2}}\right]^{-1 / 2}-} \\
-\left(1-\frac{2 z_{1}}{R}+\frac{r_{1}^{2}}{R^{2}}\right)^{-1 / 2} & \left.-\left(1+\frac{2 z_{2}}{R}+\frac{r_{2}^{2}}{R^{2}}\right)^{-1 / 2}\right\} \approx \\
& \approx \frac{e^{2}}{R^{3}}\left(x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}-2 z_{1} z_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Это выражение описывает энергию взаимодействия двух диполей, соответствующих мгновенным конфигурациям электронов в обоих aтомах ${ }^{1)}$.

Непосредственно видно, что в состоянии $u_{0}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$ среднее значение главного члена в $H^{\prime}$ равно нулю, так как $u_{0}$ – четная, а $H^{\prime}$ нечетная функция векторов $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$. Можно показать также, что в состоянии $u_{0}$ равны нулю и средние значения всех (опущенных в $H^{\prime}$ ) членов более высокого порядка малости. Действительно, все их можно выразить через сферические функции, порядок которых отличен от нуля. Поэтому основную роль в энергии взаимодействия играет диполь-дипольный член, взятый во втором приближении теории возмущений. В этом приближении энергия взаимодействия пропорциональна $H^{\prime 2}$ и, следовательно, главный член в ней ведет себя как $1 / R^{6}$.

Расчет по теории возмущений.
Согласно (25.12), поправка второго порядка к энергии двух атомов водорода равна
\[
W(R)=\mathbf{S}^{\prime} \frac{\left|H_{0 n}^{\prime}\right|^{2}}{E_{0}-E_{n}} ;
\]

здесь индекс $n$ означает все состояния системы из двух невозмущенных атомов водорода (включая и непрерывный спектр); основное состояние $u_{0}$ не учитывается при суммировании и интегрировании, обозначаемом символом $\mathbf{S}$. Поскольку $E_{0}<E_{n}$, а числитель в каждом члене (27.13) положителен, то $W(R)$, очевидно, меньше нуля. Отсюда следует, что взаимодействие носит характер притяжения и что на больших расстояниях $R$ потенциал взаимодействия обратно пропорционален $R^{6}$. Можно показать, что оба эти заключения справедливы для любой пары атомов, состояния которых не вырождены и сферически симметричны.

Верхний предел положительной величины – $W(R)$ можно получить, заменяя все значения $E_{n}$ в (27.13) энергией $E_{n *}$ низшего возбужденного состояния, для которого матричный элемент $H_{o n *}^{\prime}$ отличен от нуля. Тогда можно знаменатель вынести за знак суммы, а сумму вычислить, пользуясь правилом умножения матриц:
\[
\mathbf{S}^{\prime}\left|H_{0 n}^{\prime}\right|^{2}=\mathbf{S}^{\prime} H_{0 n}^{\prime} H_{n 0}^{\prime}=\mathbf{S} H_{0 n}^{\prime} H_{n 0}^{\prime}-H_{00}^{\prime 2}=\left(H^{\prime 2}\right)_{00}-H_{00}^{\prime 2} .
\]

Как уже было указано, $H_{00}^{\prime}=0$ и, следовательно,
\[
-W(R) \leqslant \frac{\left(H^{\prime 2}\right)_{00}}{E_{n *}-E_{0}} .
\]

Как легко убедиться, в состоянии $n^{*}$ оба атома возбуждены на уровень с главным квантовым числом 2 ; таким образом, $E_{0}=$ $=-2\left(e^{2} / 2 a_{0}\right), E_{n^{*}}=-2\left(e^{2} / 8 a_{0}\right)$ и $E_{n *}-E_{0}=3 e^{2} / 4 a_{0}$. И3 (27.12) получаем
\[
H^{\prime 2}=\frac{e^{4}}{R^{6}}\left(x_{1}^{2} x_{2}^{2}+y_{1}^{2} y_{2}^{2}+4 z_{1}^{2} z_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}-\ldots\right) .
\]

Поскольку перекрестные члены типа $x_{1} x_{2} y_{1} y_{2}$ нечетны относительно одной из компонент векторов $\mathbf{r}_{1}$ или $\mathbf{r}_{2}$, то средние значения их равны нулю. Что же касается первых трех членов в скобках в (27.15), то среднее от каждого из них представляет собой произведение двух одинаковых множителей, равных
\[
\int x^{2}\left|u_{100}(\mathbf{r})\right|^{2} d \tau=\frac{1}{3} \int r^{2}\left|u_{100}(\mathbf{r})\right|^{2} d \tau=\frac{1}{3 \pi a_{0}^{3}} \int_{0}^{\infty} r^{2} e^{-2 r / a_{0}} 4 \pi r^{2} d r=a_{0}^{2} ;
\]

следовательно, $\left(H^{\prime 2}\right)_{00}=6 e^{4} a_{0}^{4} / R^{6}$. Подставляя это в (27.14), получаем
\[
W(R) \geqslant-\frac{8 e^{2} a_{0}^{5}}{R^{6}} .
\]

Расчет вариационным методом.
Верхний предел $W(R)$ всегда можно получить с помощью вариационного метода. Ясно, однако,

что, выбирая пробную функцию $\psi$, необходимо использовать некоторые дополнительные соображения. Так, если $\psi$ не зависит от $R$, то среднее значение энергии будет зависеть от $R$ так же, как $H^{\prime}$, т. е. будет пропорционально $1 / R^{3}$. Соответствующий верхний предел не представляет для нас никакой ценности, ибо фактически подлежащей определению величиной является коэффициент при $1 / R^{6}$. Удобно выбрать функцию $\psi$ так, чтобы в ней имелся член, пропорциональный $H^{\prime}$. Тогда в формулу для среднего значения войдут члены, пропорциональные $H^{\prime 2}$ и, следовательно, должным образом зависящие от $R$.
Возьмем в качестве пробной функции выражение
\[
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)=u_{100}\left(\mathbf{r}_{1}\right) u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right)\left(1+A H^{\prime}\right),
\]

где $A$ – параметр, подлежащий варьированию. Поскольку функция $\psi$ не нормирована, воспользуемся соотношением (27.5), а не (27.4). При этом получим
\[
E_{0}+W(R) \leqslant \frac{\iint u_{0}\left(1+A H^{\prime}\right)\left(H_{0}+H^{\prime}\right) u_{0}\left(1+A H^{\prime}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}}{\iint u_{0}^{2}\left(1+A H^{\prime}\right)^{2} d \tau_{1} d \tau_{2}},
\]

где $u_{0}$ по-прежнему означает произведение двух волновых функций основного состояния атома водорода, а параметр $A$ предполагается вещественным. Так как $u_{0}$ есть нормированная собственная функция оператора $H_{0}$, принадлежащая собственному значению
\[
E_{0}=-\frac{e^{2}}{a_{0}}
\]

и $H_{00}^{\prime}=\left(H^{\prime 3}\right)_{00}=0$, то правую часть (27.17) можно записать в виде
\[
\frac{E_{0}+2 A\left(H^{\prime 2}\right)_{00}+A^{2}\left(H^{\prime} H_{0} H^{\prime}\right)_{00}}{1+A^{2}\left(H^{\prime 2}\right)_{00}} .
\]

Легко видеть, что матричный элемент ( $\left.H^{\prime} H_{0} H^{\prime}\right)_{00}$ выражается в виде суммы квадратов величин типа $\int u_{100}(\mathbf{r}) x H_{0} x u_{100}(\mathbf{r}) d \tau$; непосредственным вычислением можно убедиться, что все они равны нулю.

Поскольку нас интересуют лишь члены порядка $H^{\prime 2}$, разложим знаменатель (27.18) в ряд. Ограничиваясь первыми членами, получаем
\[
\left[E_{0}+2 A\left(H^{\prime 2}\right)_{00}\right]\left[1+A^{2}\left(H^{\prime 2}\right)_{00}\right]^{-1} \approx E_{0}+\left(H^{\prime 2}\right)_{00}\left(2 A-E_{0} A^{2}\right) .
\]

Принимая во внимание, что $E_{0}<0$, находим, что минимум выражения (27.19) достигается при $A=1 / E_{0}$. При этом равенство (27.17) принимает вид
\[
E_{0}+W(R) \leqslant E_{0}+\frac{\left(H^{\prime 2}\right)_{00}}{E_{0}}=E_{0}-\frac{6 e^{2} a_{0}^{5}}{R^{6}} .
\]

если заменить функцию $j_{l}(k r)$ ее выражением из (27.24); в результате получается однородное уравнение:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tg} \delta_{l}\left[\int_{0}^{\infty} R_{l}^{2}(r) U(r) r^{2} d r\right. & – \\
– & \left.\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} R_{l}(r) U(r) G\left(r, r^{\prime}\right) U\left(r^{\prime}\right) R_{l}\left(r^{\prime}\right) r^{2} r^{\prime 2} d r d r^{\prime}\right]= \\
& =-k\left[\int_{0}^{\infty} j_{l}(k r) U(r) R_{l}(r) r^{2} d r\right]^{2} .
\end{aligned}
\]

Полученное соотношение обладает нужными нам свойствами: чтобы пользоваться им, надо знать $R_{l}$ лишь там, где потенциал имеет заметную величину, и нормировка $R_{l}$ здесь несущественна. Чтобы выяснить, обладает ли полученное выражение свойством стационарности, допустим, что функция $R_{l}$ слегка отклоняется от истинной и вычислим вариацию первого порядка в $\operatorname{tg} \delta_{l}$ (при наличии свойства стационарности она должна обратиться в нуль). Пусть в интеграле $I=\int_{0}^{\infty} f(r) R_{l}(r) d r$ функция $R_{l}$ меняется произвольным образом. Это изменение можно представить как результат ряда независимых изменений во всех точках $r$ : последние же можно изобразить с помощью $\delta$-функции Дирака. Это эквивалентно замене $R_{l}(r)$ на $R_{l}(r)+\delta R_{i}\left(r_{0}\right) \delta\left(r-r_{0}\right)$ и переходу от $I$ к $I+$ $+f\left(r_{0}\right) \delta R_{l}\left(r_{0}\right)$. Таким образом, опуская индекс, можно сказать, что выражение
\[
\delta I=f(r) \delta R_{l}(r)
\]

представляет собой вариацию $I$, возникающую при вариации $R_{l}$ в точке $r$.
Применяя этот прием к уравнению (27.26), получаем
\[
\begin{array}{l}
\delta\left(\operatorname{tg} \delta_{l}\right)\left[\int_{0}^{\infty} R_{l}^{2}(r) U(r) r^{2} d r-\right. \\
\left.\quad-\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} R_{l}(r) U(r) G\left(r, r^{\prime}\right) U\left(r^{\prime}\right) R_{l}\left(r^{\prime}\right) r^{2} r^{\prime 2} d r d r^{\prime}\right]+ \\
\quad+\operatorname{tg} \delta_{l}\left[2 R_{l}(r) U(r) r^{2} \delta R_{l}(r)-\right. \\
\left.\quad-2 U(r) r^{2} \delta R_{l}(r) \int_{0}^{\infty} G\left(r, r^{\prime}\right) U\left(r^{\prime}\right) R_{l}\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} d r^{\prime}\right]= \\
\quad=-2 k j_{l}(k r) U(r) r^{2} \delta R_{l}(r) \int_{0}^{\infty} j_{l}\left(k r^{\prime}\right) U\left(r^{\prime}\right) R_{l}\left(r^{\prime}\right) r^{\prime 2} d r^{\prime}
\end{array}
\]

нулю. При нулевой энергии вариационный принцип для фазы дает
\[
\begin{array}{l}
\left(k \operatorname{ctg} \delta_{0}\right)_{0} \approx-\frac{1}{\left[\int_{0}^{\infty} r U(r) v(r) d r\right]^{2}} \times \\
\times\left\{\int_{0}^{\infty} v(r) U(r)\left[\int_{0}^{r} r^{\prime} U\left(r^{\prime}\right) v\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime}+r \int_{r}^{\infty} U\left(r^{\prime}\right) v\left(r^{\prime}\right) d r^{\prime}\right] d r+\right. \\
\left.+\int_{0}^{\infty} v^{2}(r) U(r) d r\right\} .
\end{array}
\]

Чтобы проверить это, рассмотрим случай постоянного потенциала с абсолютной величиной $U$, действующего внутри сферы радиуса $a$ (это прямоугольная потенциальная яма или прямоугольный потенциальный барьер). Выберем простую пробную функцию: $u(r)=$ const или $v(r)=r$. Мы не пользуемся явно условием стационарности (27.29), так как тогда нужно было бы варьировать $v(r)$. Это условие учитывается неявным образом в том смысле, что благодаря ему возрастает наше доверие к получаемым оценкам. Интегрирование дает
\[
\left(k \operatorname{ctg} \delta_{0}\right)_{0}=-\left(\frac{3}{U a^{3}}+\frac{6}{5 a}\right) .
\]

В борновском приближении (26.27) для той же величины получаем – $\left(3 / U a^{3}\right)$. Точный результат, найденный в § 19 , равен – $\left[\left(3 / U a^{3}\right)+\right.$ $+(6 / 5 a)]$ плюс члены более высокого порядка малости относительно $U a^{2}$. Таким образом, как и следовало ожидать, в борновском приближении хорошие результаты получаются лишь при очень малой величине рассеивающего потенциала; вариационный метод, сверх того, дает правильное выражение для следующего члена разложения по степеням потенциала. Аналогично обстоит дело и при учете членов порядка $k^{2} a^{2}$ (случай малой энергии; см. задачу 16).