Одномерное движение свободной (т. е. не подверженной действию внешних сил) частицы описывается волновым уравнением Шредингера (6.8). Исследование этого движения дает интересный пример применения метода разложения, развитого в \& 10 и 11. Прежде всего для данного момента времени мы найдем минимальное значение произведения неопределенностей (3.1), а также возможные формы соответствующего одномерного волнового пакета. Так как форму пакета можно рассматривать просто как начальное условие, налагаемое на решение уравнения Шредингера с произвольной потенциальной энергией $V$, то структура „минимизирующего\» пакета не будет зависеть от того, свободна частица или нет. Однако аналитическое выражение для $\varphi$ в последующие моменты времени особенно легко найти в том случае, когда внешние силы отсутствуют.

Минимальное значение произведения неопределенностей ${ }^{1)}$.
Чтобы найти минимальное значение произведения неопределенностей $\Delta x \cdot \Delta p$, нужно прежде всего определить, что мы понимаем

Опущенный в правой части (12.5) член с произведением двух слагаемых равен нулю, в чем легко убедиться, воспользовавшись соотношением
\[
\left.\overline{\bar{\psi} \alpha \beta \psi d x}=\int \overline{\psi \alpha} \bar{\beta} \bar{\psi} d x=\int \overline{(\beta} \bar{\psi}\right)(\alpha \psi) d x=\int \bar{\psi} \beta \alpha \psi d x,
\]

получающимся при интегрировании по частям с учетом вещественности $\alpha$.
Теперь из (12.2) имеем
\[
(\alpha \beta-\beta \alpha) \psi=-i \hbar\left[x \frac{d \psi}{d x}-\frac{d}{d x}(x \psi)\right]=i \hbar \psi .
\]

Таким образом, соотношения (12.4) — (12.6) дают
\[
(\Delta x)^{2}(\Delta p)^{2} \geqslant \frac{1}{4} \hbar^{2} \quad \text { или } \quad \Delta x \cdot \Delta p \geqslant \frac{1}{2} \hbar,
\]

где равенство может иметь место только, если второй член в правой части (12.5) обращается в нуль. Таково точное выражение для соотношения неопределенности Гейзенберга (3.1), если неопределенности $\Delta x$ и $\Delta p$ определять по (12.1).

Форма минимизирующего пакета.
Из предыдущего вывода следует, что минимальное значение произведения неопределенностей достигается только при выполнении двух условий:
\[
\begin{array}{c}
\alpha \psi=\gamma \beta \psi, \\
\int \bar{\psi}(\alpha \beta+\beta \alpha) \psi d x=0 .
\end{array}
\]

Равенства (12.8) и (12.2) дают дифференциальное уравнение для $\psi$
\[
\frac{d \psi}{d x}=\left[\frac{i}{\gamma \hbar}(x-\langle x\rangle)+\frac{i\langle p\rangle}{\hbar}\right] \psi,
\]

которое непосредственно интегрируется:
\[
\psi(x)=N \exp \left[\frac{i}{2 \gamma \hbar}(x-\langle x\rangle)^{2}+\frac{i\langle p\rangle x}{\hbar}\right]
\]
( $N$ — произвольная постоянная).
С учетом (12.8) уравнение (12.9) теперь принимает вид
\[
\left(\frac{1}{\gamma}+\frac{1}{\gamma}\right) \int \bar{\psi} \alpha^{2} \psi d x=0,
\]

откуда, очевидно, следует, что величина $\gamma$ должна быть чисто мнимой. Далее, поскольку интеграл от $|\psi|^{2}$ должен сходиться, мнимая часть $\gamma$ должна быть отрицательной. Константа $N$ определяется условием нормировки
\[
\int|\psi|^{2} d x=1
\]

Аналогично параметр $\gamma$ можно найти из условия
\[
\int(x-\langle x\rangle)^{2}|\psi|^{2} d x=(\Delta x)^{2} .
\]

Интегралы легко вычисляются, и мы получаем следующее выражение для нормированной функции, характеризующей минимизирующий волновой пакет:
\[
\psi(x)=\left[2 \pi(\Delta x)^{2}\right]^{-1 /} \exp \left[-\frac{(x-\langle x\rangle)^{2}}{4(\Delta x)^{2}}+\frac{i\langle p\rangle x}{\hbar}\right] .
\]

Коэффициенты разложения по собственным фунқциям оператора импульса.
Одномерные собственные функции оператора импульса аналогично (11.4) и (11.11) имеют вид
\[
u_{k}(x)=L^{-1 / 2} e^{i k x}
\]
(нормировка в области периодичности длиной $L$ ) или
\[
u_{k}(x)=(2 \pi)^{-1 / 2} e^{i k x}
\]
(нормировка на $\delta$-функцию). Так как для свободной частицы волновое уравнение имеет простую форму (6.8)
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}},
\]

то собственные функции оператора импульса являются вместе с тем и собственными функциями оператора энергии ${ }^{1}$. Поэтому любое решение волнового уравнения можно записать в виде, аналогичном (10.18):
\[
\varphi(x, t)=\left(\sum_{k} \text { или } \int d k\right) A_{k} e^{-i E_{k} t / \hbar} u_{k}(x),
\]

где коэффициенты $A_{k}$ не зависят от $x$ и $t$; зависимость от времени полностью определяется экспоненциальным множителем. Как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, функция (12.15) удовлетворяет уравнению (12.14), если только
\[
E_{k}=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m} .
\]

Таким образом, задача об определении движения волнового пакета сводится к нахождению коэффициентов разложения $A_{k}$ для некоторого момента времени, скажем для $t=0$, после чего с помощью соотношений (12.15) и (12.16) можно найти $\psi(x, t)$ и

Плотность вероятности для координат при этом равна
$|\psi(x, t)|^{2}=\left\{2 \pi\left[(\Delta x)^{2}+\frac{\hbar^{2} t^{2}}{4 m^{2}(\Delta x)^{2}}\right]\right\}^{-1 / 2} \times$
\[
\times \exp \left\{-\frac{x^{2}}{2\left[(\Delta x)^{2}+\frac{\hbar^{2} t^{2}}{4 m^{2}(\Delta x)^{2}}\right]}\right\} .
\]

Выражение (12.21) имеет тот же вид, что и $|\psi(x, 0)|^{2}$, с той разницей, что вместо $(\Delta x)^{2}$ появляется сумма $(\Delta x)^{2}+\hbar^{2} t^{2} / 4 m^{2}(\Delta x)^{2}$, равная $(\Delta x)^{2}+(\Delta p)^{2} t^{2} / m^{2}$. Таким образом, центр пакета остается в точке $x=0$, но ширина его увеличивается при изменении $t$ как в положительном, так и отрицательном направлениях. Чем меньше первоначальная неопределенность в координате, тем больше неопределенность в импульсе и тем быстрее расплывается пакет; зависящая от времени часть приведенного выше выражения $t(\Delta p) / m$ просто равна расстоянию, проходимому классической частицей с импульсом $\Delta p$ за время $t$.

При нормировке на $\delta$-функцию получаются такие же результаты. Выражение (12.18) для $A_{k}$ нужно при этом умножить на $(L / 2 \pi)^{1 / 2}$, суммирование в (12.19) заменить интегрированием по $k$ и результаты разделить на $L / 2 \pi$ (множитель $L / 2 \pi$ при этом выпадает); наконец, функцию $u_{k}$ в $(12.19)$ нужно умножить на $(L / 2 \pi)^{1 / 2}$. В результате три появляющихся множителя сократятся, и следовательно, равенства (12.20) и (12.21) не изменятся при изменении нормировки собственных функций оператора импульса.

Классический предельный случай.
В § 7 мы видели, что если рассматривать лишь средние значения координаты и импульса волнового пакета, то последний всегда движется как классическая частица. Однако классическая динамика полезна для описания движения волнового пакета лишь в том случае, если можно пренебречь расплыванием его в течение интересующего нас промежутка времени.

Чтобы показать, по какому параметру можно судить о достижении классического предела, рассмотрим волновой пакет, соответствующий классической частице, движущейся с периодом $T$ по круговой орбите радиусом $a$. Допустим, что этот пакет достаточно хорошо локализован, так что потенциальная энергия заметно не изменяется в области нахождения пакета. Тогда, как отмечалось выше, применение классической теории для описания движения волнового пакета будет полезно лишь в том случае, если в течение промежутка времени, большого по сравнению с $T$, расплывание пакета мало по сравнению с $a$. Наименьшее расплывание пакета за время $t$ имеет место, когда $\Delta x$ по порядку величины равно ( $\hbar t / \mathrm{m})^{1 / 2}$. Потребуем поэтому, чтобы $(\hbar t / m)^{1 / 2} \ll a$ при $t \gg T$.