В § 30 с помощью теории возмущений были вычислены эффективные сечения упругого и неупругого рассеяния электронов атомами водорода. При этом предполагалось, что обменом падающего и атомного электронов можно пренебречь. В настоящем параграфе будет рассмотрена роль обмена с учетом спина и принципа Паули. По-прежнему мы будем пользоваться теорией возмущений, которая особенно полезна при столкновениях частиц большой энергии $^{11}$. Сначала с помощью борновского приближения ( $\S 26$ ) мы рассмотрим вообще столкновения с перераспределением частиц, затем покажем, каким образом этот метод связан с изложенной в § 29 нестационарной теорией возмущений, и, наконец, применим теорию к обменным столкновениям электронов с атомами водорода и гелия.
Обозначения для столкновений с перераспределением частиц. В общем случае бинарное столкновение с перераспределением можно охарактеризовать как столкновение системы $A$, находящейся в состоянии $m$, с системой $B$, находящейся в состоянии $n$, причем в результате получаются система $C$ в состоянии $s$ и система $D$ в состоянии $t$. Предполагается, что как системы $A, B$, так и системы $C, D$ образованы из тех же самых частиц, т. е. в процессе столкновения не происходит исчезновения или появления новых частиц и не участвуют фотоны; однако в результате столкновения частицы могут обмениваться местами. Для обозначения всех внутренних координат систем (включая спин) мы будем пользоваться буквами $A, B, C, D$; векторы, соединяющие центры инерции систем $A, B$ и $C, D$, будут обозначаться соответственно через $\mathbf{r}_{a b}$ и $\mathbf{r}_{c d}$; приведенные массы, характеризующие относительное движение до и после столкновения, суть $M_{a b}=M_{a} M_{b} /\left(M_{a}+M_{b}\right)$ и $M_{c d}=M_{c} M_{d} /\left(M_{c}+M_{d}\right)$. Вычисление будет проводиться в системе координат центра инерции, переход к лабораторной системе можно осуществить с помощью общих соотношений, полученных В $\& 18$.

В § 32 было показано, что подобные вычисления можно проводить так, как если бы частицы были различными. Лишь в конце образуются линейные комбинации обменно вырожденных волновых функций, обладающие должными свойствами симметрии относительно перестановок тех или иных тождественных частиц. Симметризация будет проводиться в отдельных примерах, рассматриваемых в конце настоящего параграфа. Для общей же задачи, которую мы сейчас рассматриваем, мы найдем только приближенную несимметризованную волновую функцию.
Задача состоит в решении волнового уравнения
\[
(H-E) \psi=0,
\]

где гамильтониан можно записать одним из двух способов:
\[
H=H_{a b}+H_{a b}^{\prime}=H_{c d}+H_{c d}^{\prime} .
\]

Невозмущенный гамильтониан начальной и конечной систем имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
H_{a b}=H_{a}+H_{b}+T_{a b}, & T_{a b}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M_{a b}}
abla_{a b}^{2}, \\
H_{c d}=H_{c}+H_{d}+T_{c d}, & T_{c d}=-\frac{\hbar^{2}}{2 M_{c d}}
abla_{c d}^{2},
\end{array}
\]

где операторы $T$ соответствуют кинетической энергии относительного движения в системе центра инерции. Волновые функции невозмущенных состояний начальной и конечной систем представляют собой (известные) решения волновых уравнений
\[
\begin{array}{l}
\left(H_{a}-E_{a m}\right) u_{a m}(A)=0, \quad\left(H_{b}-E_{b n}\right) u_{b n}(B)=0, \\
\left(H_{c}-E_{c s}\right) u_{c s}(C)=0, \quad\left(H_{d}-E_{d t}\right) u_{d t}(D)=0 . \\
\end{array}
\]

Члены взаимодействия $H_{a b}^{\prime}$ и $H_{c d}^{\prime}$ рассматриваются как малые возмущения.

Точное решение всегда можно разложить по функциям $u_{c_{s}}(C) u_{d t}(D)$ полной ортонормированной системы, причем коэффициенты разложения будут зависеть от относительных координат $\mathbf{r}_{c d}$ :
\[
\psi=\sum_{s, t} u_{c s}(C) u_{d t}(D) v_{s t}\left(\mathbf{r}_{c d}\right) .
\]

Нам предстоит найти приближенные выражения для функций $v_{s t}\left(\mathrm{r}_{\mathrm{c} d}\right)$, соответствующие конечным внутренним состояниям $s$ и $t$ систем $C$ и $D$ и получающиеся из невозмущенного начального состояния
\[
\begin{aligned}
\psi_{0} & =u_{a m}(A) u_{b n}(B) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{a b}} \\
k_{0}^{2} & =\frac{2 M_{a b}}{\hbar^{2}}\left(E-E_{a m}-E_{b n}\right) .
\end{aligned}
\]

Борновское приближение. Подставляя функцию $\psi$ (34.5) в волновое уравнение (34.1) и учитывая равенства (34.2) – (34.4), получаем
\[
\sum_{\delta, t} u_{c s}(C) u_{d t}(D)\left(T_{c d}+E_{c b}+E_{d t}-E\right) v_{s l}\left(\mathbf{r}_{c d}\right)=-H_{c d}^{\prime} \psi .
\]

Если теперь умножить (34.7) слева на $\bar{u}_{c s^{\prime}}(C) \bar{u}_{d t}(D)$ и проинтегрировать по всем координатам $C$ и $D$, то в силу ортонормированности функций $u$ все члены слева обращаются в нуль, исключая случай $s=s^{\prime}$ и $t=t^{\prime}$. Опуская штрихи, запишем полученное выражение в виде
\[
\left(T_{c t}+E_{c s}+E_{d t}-E\right) v_{s t}\left(\mathbf{r}_{c d}\right)=-\iint \bar{u}_{c s}(C) \bar{u}_{d t}(D) H_{c d}^{\prime} \psi d \tau_{c} d \tau_{d} \text {. }
\]

Это можно переписать в форме, аналогичной (26.4):
\[
\begin{array}{c}
\left(-
abla_{c d}^{2}-k^{2}\right) v_{s t}\left(\mathbf{r}_{c d}\right)=-\frac{2 M_{c d}}{\hbar^{2}} \iint u_{c s}(C) \bar{u}_{d t}(D) H_{c d}^{\prime} \psi d \tau_{c} d \tau_{d}, \\
k^{2}=\frac{2 M_{c d}}{\hbar^{2}}\left(E-E_{c s}-E_{d t}\right) .
\end{array}
\]

Соотношения (34.9) при всех $s$ и $t$ представляют собой систему точных уравнений, из которой в принципе можно найти все функции $v_{s t}$. Здесь дело обстоит так же, как и в случае уравнения (26.4), приближенное решение которого мы нашли, заменяя в правой части точную волновую функцию невозмущенной. В данном случае мы получим приближенное решение (34.9), заменяя функцию $\psi$ на $\psi_{0}$ из (34.6); тогда правая часть будет известна, и неоднородное уравнение для $v_{s t}$ легко будет решить с помощью соответствующей функции Грина. Подстановка $\psi_{0}$ вместо $\psi$ эквивалентна допущению, что взаимодействие между начальными невозмущенными системами $A$ и $B$ очень мало. Это означает, что не только мала вероятность перехода $A, B \rightarrow C, D$, но, кроме того, $\psi_{0}$ хорошо апроксимирует точную волновую функцию, даже если системы $A$ и $B$ близки друг к другу или перекрываются. В практических случаях трудно найти эффективный критерий применимости данного приближения, хотя полезные результаты, вероятнее всего, будут получаться, когда энергия $E$ велика по сравнению с энергиями взаимодействия, входящими в оператор $H_{a b}^{\prime}$.

С помощью функции Грина (26.15) решение неоднородного уравнения (34.9), в котором $\psi$ заменено на $\psi_{0}$, записывается в виде
\[
\begin{aligned}
v_{s t}\left(\mathbf{r}_{c d}^{\prime}\right) & =-\frac{M_{c d}}{2 \pi \hbar^{2}} \iiint\left|\mathbf{r}_{c d}^{\prime}-\mathbf{r}_{c d}\right|^{-1} e^{i k\left|\mathbf{r}_{c d}^{\prime}-\mathbf{r}_{c d}\right|} \times \\
& \times \bar{u}_{c s}(C) \bar{u}_{d t}(D) H_{c d}^{\prime} u_{a m}(A) u_{b n}(B) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{a b}} d \tau_{c} d \tau_{d} d \tau_{c d} .
\end{aligned}
\]

Интегрирование здесь проводится по всем нештрихованным координатам; элемент интегрирования можно представить в виде $d \tau_{c} d \tau_{d} d \tau_{c d}$

или $d \tau_{a} d \tau_{b} d \tau_{a b}$; сокращенно мы будем обозначать его просто через $d \tau$.

Если системы $C$ и $D$ достаточно удалены друг от друга, то асимптотически функция (34.10) примет вид
\[
\begin{array}{c}
v_{s t}\left(\mathbf{r}_{c d}^{\prime}\right) \xrightarrow[r_{c d}^{\prime} \rightarrow \infty]{\longrightarrow} g_{s t}(\theta, \varphi) r_{c d}^{\prime-1} e^{i k r_{c d}^{\prime}}, \\
g_{s t}(\theta, \varphi)=-\frac{M_{c d}}{2 \pi \hbar^{2}} \int \bar{u}_{c s}(C) \bar{u}_{d t}(D) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} c d \times \\
\times H_{c d}^{\prime} u_{a m}(A) u_{b n}(B) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{a b}} d \tau .
\end{array}
\]

Здесь $\theta$ и $\varphi$ – полярные углы вектора $\mathbf{r}_{c d}^{\prime}$, а $\mathbf{k}$ – вектор, параллельный $\mathbf{r}_{c d}^{\prime}$; его абсолютная величина определяется формулой (34.9). Функция (34.6) нормирована таким образом, что „падающий поток\” систем $A$ и $B$ совпадает с их начальной относительной скоростью $v_{0}=\hbar k_{0} / M_{a b}$, а нормировка функций (34.5) и (34.11) такова, что радиальный расходящийся поток систем $C$ и $D$ (отнесенный к единице телесного угла) равен $v\left|g_{s t}(\theta, \varphi)\right|^{2}$. Здесь $v$ есть относительная скорость в конечном состоянии $v=\hbar k / M_{c d}$. Таким образом, дифференциальное эффективное сечение для столкновений $A, B \rightarrow C, D$ принимает вид
\[
\sigma_{s t}(\theta, \varphi)=\frac{v}{v_{0}}\left|g_{s t}(\theta, \varphi)\right|^{2} .
\]

Неортогональность начальных и конечных состояний.
Выражение для эффективного сечения (34.12) содержит некоторую неопределенность, связанную с тем обстоятельством, что волновая функция начального состояния $\psi_{0}$, вообще говоря, не ортогональна к функции $y_{f}=u_{c s}(C) u_{d t}(D) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} c d$, комплексно сопряженное значение которой входит также в выражение для $g_{s t}(\theta, \varphi)$. Можно сказать, что функция $\varphi_{f}$ описывает конечное состояние, в котором системы $C$ и $D$ движутся в направлении $\theta, \varphi$. Будучи собственными функциями разных невозмущенных гамильтонианов (соответственно $H_{a b}$ и $H_{c d}$ ), начальная и конечная волновые функции необязательно должны быть взаимно ортогональны. Если они не ортогональны, то добавление к $H_{c d}^{\prime}$ постоянной потенциальной энергии (соответствующей нулевой силе) изменяет выражение для $g_{s t}(\theta, \varphi)$. Этого можно добиться, прибавив к обеим частям уравнения (34.7) функцию $\psi$, умноженную на произвольную константу; при этом изменится также значение $E$. Чтобы избежать этого произвола, определим $H_{c d}^{\prime}$ как энергию взаимодействия между системами $C$ и $D$, которая обращается в нуль при стремлении $r_{c d}$ к бесконечности; таким путем однозначно определяется аддитивная постоянная. Таким же образом определяется и $H_{a b}^{\prime}$.

Интересно отметить, что в интеграл для $g_{s t}(\theta, \varphi)$ вместо $H_{c d}^{\prime}$ можно подставить $H_{a b}^{\prime}$. Действительно, этот интеграл равен

$\int \bar{\psi}_{f} H_{c d}^{\prime} \psi_{0} d \tau$. С помощью (22.10) его можно преобразовать следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\int \bar{\psi}_{f} H_{c d}^{\prime} \psi_{0} d \tau & =\int \overline{\left(H_{c d}^{\prime} \psi_{f}\right)} \psi_{0} d \tau= \\
& =\int \overline{\left.\left(H-H_{c d}\right) \psi_{j}\right]} \psi_{0} d \tau=\int \bar{\psi}_{f} H \psi_{0} d \tau-E \int \bar{\psi}_{j} \psi_{0} d \tau
\end{aligned}
\]
(здесь принято во внимание, что $H_{c d} \psi_{f}=E \psi_{f}$ ). Аналогично, пользуясь равенством $H_{a b} \psi_{0}=E \psi_{0}$, можно показать, что последнее выражение равно $\int \bar{\psi}_{j} H_{a b}^{\prime} \psi_{0} d \tau$. Поэтому, если функции $\psi_{0}$ и $\psi_{j}$ являются собственными функциями невозмущенных гамильтонианов $H_{a b}$ и $H_{c d}$, то мы имеем
\[
\int \bar{\varphi}_{f} H_{c d}^{\prime} \psi_{0} d \tau=\int \bar{\psi}_{f} H_{a b}^{\prime} \psi_{0} d \tau .
\]

Из соотношения.(34.13), например, следует, что если $H_{a b}^{\prime}=0$, то и $g_{s i}(\theta, \varphi)=0$, даже если оператор $H_{c d}^{\prime}$ не равен нулю и начальное и конечное состояния не ортогональны. Этого и следовало ожидать, так как при $H_{a b}^{\prime}=0$ взаимодействие между сталкивающимися системами $A$ и $B$ отсутствует и переходы не возникают.

Связь с нестационарной теорией возмущений.
Формулу (34.12) можно вывести также методом вариации постоянных (см. § 29). Разложим волновую функцию $\psi$ по невозмущенным волновым функциям конечного состояния $y_{f}=u_{c s}(C) u_{d_{1}}(D) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{c d}}$, где индекс $f$ есть совокупность индексов $s$ и $t$, характеризующих соответственно состояния систем $C$ и $D$, a $\mathbf{k}$ – волновой вектор относительного движения:
\[
\psi=\sum_{\mathcal{f}} a_{f}(t) \psi_{f} e^{-i E_{f} t / \hbar} .
\]

Волновое уравнение, зависящее от времени, имеет вид
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=H \psi=\left(H_{c d}+H_{c d}^{\prime}\right) \psi .
\]

Подставляя сюда (34.14) и принимая во внимание равенство $\left(H_{c d}-E_{f}\right) \psi_{f}=0$, получаем
\[
i \hbar \sum_{f} \dot{a}_{f} \psi_{f} e^{-i E_{f} t / \hbar}=\sum_{f} a_{f} H_{c d}^{\prime} \psi_{f} e^{-i E_{f} t / \hbar} .
\]

Это уравнение можно упростить, умножая его слева на $\bar{f}_{f^{\prime}}$, и интегрируя результат по всем координатам; поскольку функции $\psi_{j}$ ортонормированы, мы получим
\[
i \hbar \dot{a}_{f^{\prime}}=\sum_{f} a_{j} \int \bar{\psi}_{f} H_{c d}^{\prime} \psi_{f} d \tau \cdot e^{i\left(E_{f^{\prime}}-E_{f}\right) t / \hbar} .
\]

Система уравнений (34.17) является точной. Сделаем теперь два предположения, которые в совокупности эквивалентны замене

функции $\psi$ функцией $\psi_{0}$ в правой части (34.9), как это делается в борновском приближении. Во-первых, допустим, что возмущение $H_{c d}^{\prime}$ мало; в силу (34.13) в нашем случае это эквивалентно допущению о малости $H_{a b}^{\prime}$, которое делается в борновском приближении. В связи с этим в правую часть (34.17) можно подставить невозмущенные амплитуды $a_{f}^{(0)}$, что позволит вычислить возмущенные амплитуды первого приближения $a_{f^{\prime}}^{(1)}$. Во-вторых, предположим, что волновую функцию начального состояния $\psi_{0} e^{-i E t / \hbar}$ можно разложить только по таким (вырожденным) функциям $\psi_{f}$, энергия которых $E_{f}$ совпадает с начальной $E$. Тем самым мы предполагаем, что $\psi_{0}$ является собственной функцией конечного невозмущенного гамильтониана $H_{c d}$, равного $H_{a b}+H_{a b}^{\prime}-H_{c d}^{\prime}$; поскольку фактически $\psi_{0}$ есть собственная функция оператора $H_{a b}$, это предположение эквивалентно также допущению 0 малости возмущения $H_{a b}^{\prime}$ и $H_{c d}^{\prime}$.

Теперь можно заменить $E_{f}$ на $E$ во временно́м множителе, входящем в (34.17), и вынести этот множитель за знак суммы по $f$. Невозмущенные амплитуды $a_{f}^{(0)}$ определяются равенством $\psi_{0}=\sum_{f} a_{f}^{(0)} \psi_{f}$,
т. е.
\[
a_{f}^{(0)}=\int \bar{\psi}_{f} \psi_{0} d \tau .
\]

С помощью формулы (34.18) и условия полноты ортонормированной системы функций $\psi_{f}$ сумму по $f$ можно переписать в виде
\[
\sum_{f} \int \bar{\psi}_{f^{\prime}} H_{c d}^{\prime} \psi_{f} d \tau \int \bar{\psi}_{f} \psi_{0} d \tau=\int \bar{\psi}_{f^{\prime}} H_{c d}^{\prime} \psi_{0} d \tau .
\]

Таким образом, в первом приближении уравнение (34.17) принимает вид
\[
\left.i \hbar \dot{a}_{f^{\prime}}^{(}\right)=\int \bar{\psi}_{f^{\prime}} H_{c d}^{\prime} \psi_{0} d \tau \cdot e^{i\left(E_{f^{\prime}}-E\right) t / \hbar} .
\]

Уравнение (34.19) можно решать тем же методом, что и уравнение (29.7); в результате получается формула (34.12) для дифференциального эффективного сечения.

Обменные столкновения электронов с атомами водорода.
В качестве первого простого примера столкновений с перераспределением, в которых существенны как спин, так и свойство тождественности частиц, рассмотрим упругое рассеяние электронов атомами водорода. В задачах такого типа нам должны быть известны асимптотические выражения несимметризованных волновых функций при всех перестановках тождественных частиц ${ }^{1)}$. Волновую функцию с правильными свойствами симметрии можно найти методами, изложенными в § 32. Найдем прежде всего асимптотическое выражение волновой функции как при рассеянии падаю-

щего электрона, так и при обмене его с атомным электроном. Воспользуемся борновским приближением; спиновыми взаимодействиями будем пренебрегать.

В несимметризованной волновой функции падающий и атомный электроны обозначаются соответственно цифрами 1 и 2. Асимптотическое выражение стационарной волновой функции $\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$, соответствующей необменному упругому рассеянию частиц с полной энергией $E$, дается произведением водородной волновой функции $u_{100}\left(\mathrm{r}_{2}\right)$ для электрона 2 в основном состоянии на волновую функцию электрона 1 , состоящую из падающей и рассеянной волн:
\[
\begin{array}{c}
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) \xrightarrow[r_{1} \rightarrow \infty]{ }\left[e^{i \mathbf{k}_{0} \mathbf{r}_{1}}+r_{1}^{-1} e^{i k_{0} r_{1}} f\left(\theta_{1}\right)\right] u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right), \\
\frac{\hbar^{2} k_{0}^{2}}{2 m}=E+\frac{m e^{4}}{2 \hbar^{2}} .
\end{array}
\]

На основании результатов § 26 и 30 амплитуда рассеяния имеет вид $f\left(\theta_{1}\right)=-\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}} \iint e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{1}} \vec{u}_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right)\left(\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{1}}\right) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) d \tau_{1} d \tau_{2},(34.21)$
где $\mathbf{k}$ – вектор с абсолютной величиной $k_{0}$, направление которого характеризуется углом $\theta_{1}$ (функция $f$ не зависит от азимутального угла $\varphi_{1}$ ).

Асимптотическое выражение функции $v\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$, соответствующее упругому обменному рассеянию, дается произведением водородной волновой функции $u_{100}\left(\mathbf{r}_{1}\right)$ для электрона 1 в основном состоянии на волновую функцию электрона 2 ; последняя имеет вид расходящейся волны:
\[
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) \xrightarrow[r_{3} \rightarrow \infty]{\longrightarrow} r_{2}^{-1} e^{i k_{0} r_{2}} g\left(\theta_{2}\right) u_{100}\left(\mathbf{r}_{1}\right) .
\]

В этом случае плоская волна отсутствует, поскольку электрон 2 является атомным. Амплитуда обменного рассеяния в соответствии с (34.11) равна
\[
g\left(\theta_{2}\right)=-\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}} \iint e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{2}} \bar{u}_{100}\left(\mathbf{r}_{1}\right)\left(\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{2}}\right) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) d \tau_{1} d \tau_{2}
\]
(абсолютная величина вектора $\mathbf{k}$ равна $k_{0}$, а направление его характеризуется углом $\theta_{2}$ ).

Теперь, умножая $\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)$ на соответствующие спиновые функции, нужно составить антисимметричную волновую функцию. В качестве спиновых функций можно взять систему, указанную сразу после формулы (33.5); проще, однако, исходить из четырех симметризованных линейных комбинаций (33.6). Не предполагая какой-либо связи между спинами падающего и атомного электронов, можно взять любую из этих систем функций, вычислить сечение рассеяния для каждого из четырех спиновых состояний, а затем найти среднее значение, приписывая всем состояниям

одинаковые веса ${ }^{1}$. Первые три спиновые функции (33.6) симметричны, и их нужно умножить на антисимметричную пространственную функцию $\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)-\psi\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{1}\right)$; четвертая спиновая функция антисимметрична, и ее нужно умножить на сумму
\[
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right)+\psi\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{1}\right) .
\]

Дифференциальное эффективное сечение.
При больших значениях одной из координат электрона, например $r_{1}$, асимптотические выражения для симметризованных волновых функций получаются из (34.20) и (34.22).
\[
\begin{array}{l}
\psi\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) \pm \psi\left(\mathbf{r}_{2} \mathbf{r}_{1}\right) \xrightarrow[r_{1} \rightarrow \infty]{ }\left[e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}}+\right. \\
\left.+r_{1}^{-1} e^{i k_{0} \cdot r_{1}} f\left(\theta_{1}\right) \pm r^{-1} e^{i k_{0} \cdot r_{1}} g\left(\theta_{1}\right)\right] u_{100}\left(\mathbf{r}_{2}\right) .
\end{array}
\]

Первые два члена в скобках справа получаются из первого слагаемого в левой части, третий член – из второго слагаемого. Для одной четверти всех столкновений эффективное сечение должно вычисляться с верхним знаком, а для трех четвертей – с нижним. Таким образом, мы получим
\[
\sigma(\theta)=\frac{1}{4}|f(\theta)+g(\theta)|^{2}+\frac{3}{4}|f(\theta)-g(\theta)|^{2} .
\]

Формулу (34.25) можно вывести и не обращаясь явно к спиновым функциям. Достаточно лишь, как и в случае (33.2), использовать сделанное ранее замечание о том, что частицы с разными значениями компонент спина являются различимыми. Для $50 \%$ всех столкновений компоненты спинов электронов различны и эффективное сечение рассеяния равно просто сумме $|f(\theta)|^{2}+|g(\theta)|^{2}$ прямого и обменного эффективных сечений. В остальных $50 \%$ столкновений электроны неразличимы, и необходимо использовать антисимметричную пространственную функцию. Таким образом,
1) Это следует из основной гипотезы квантовой статистики (см, например, книгу Толмэна [3], § 84). Можно показать, что в подобных статистических вычислениях можно пользоваться любой из двух ортонормированных систем волновых функций (в нашей задаче две данные системы функций являются полными по отношению к спинам двух электронов). Қак было показано в § 22 , две системы функций, \”например $v_{n}$ и $u_{k}$, связаны унитарным преобразованием $v_{n}=\sum_{k} S_{k n} u_{k}$, где $S$ – унитарная матрица. Поэтому
\[
\sum_{n}\left|v_{n}\right|^{2}=\sum_{n, k, k^{\prime}} S_{k n} \bar{S}_{k^{\prime} n} \bar{u}_{k} \bar{u}_{k^{\prime}}=\sum_{k, k^{\prime}} \delta_{k k^{\prime}} u_{k} \bar{u}_{k^{\prime}}=\sum_{k}\left|u_{k}\right|^{2} .
\]

Поскольку вероятность данного события (например, рассеяния в определенном направлении) пропорциональна квадрату волновой функции, среднее значение получается одним и тем же при усреднении по смеси волновых функций любой системы.

мы получаем
\[
\sigma(\theta)=\frac{1}{2}\left(|f(\theta)|^{2}+|g(\theta)|^{2}\right)+\frac{1}{2}|f(\theta)-g(\theta)|^{2},
\]

что, как нетрудно видеть, совпадает с (34.25).
Интеграл вида $\int e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} F(\mathbf{r}) d \tau$ будет мал, если $k a \gg 1$ (предполагается, что $F$ – непрерывная функция $\mathrm{r}$, малая при $r>a$ ). Поскольку интегралы по $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$ в формуле (34.23) относятся именно к этому типу, можно ожидать, что при $k a_{0} \gg 1$ функция $g$ будет мала по сравнению с $f$. Но именно в этом случае борновское приближение является наиболее удовлетворительным. Таким образом, следует ожидать, что обменные поправки к формулам § 30 для эффективного сечения будут довольно малы.

Обменные столқновения с атомами гелия.
При рассмотрении упругого рассеянияэлектронов атомами гелия в основном состоянии удобнее пользоваться сразу и пространственной и спиновой волновыми функциями. Как было показано в § 33, два электрона в атоме гелия находятся в симметричном пространственном и антисимметричном (синглетном) спиновом состоянии. Поэтому если бомбардирующий электрон обозначить цифрой 1 , а атомные электроны цифрами 2 и 3, то невозмущенная волновая функция имеет вид $e^{i \mathbf{k}_{0}} \cdot \mathbf{r}_{1} u_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathrm{r}_{3}\right) v(1,2,3)$, где $u_{0}$ – симметричная пространственная функция нормального состояния, а $v(1,2,3)$ – спиновая функция, антисимметричная относительно электронов 2 и 3. Восемь спиновых функций трехэлектронной системы (33.9) сгруппированы в зависимости от их симметрии по отношению к электронам 2 и 3 ; очевидно, функция $v(1,2,3)$ должна быть одной из компонент последнего дублета в (33.9).

В первом приближении асимптотические выражения возмущенных волновых функций с учетом спина имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\psi(1,2,3) \underset{r_{1} \rightarrow \infty}{ }\left[e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}}+r_{1}^{-\mathbf{1}} f\left(\theta_{1}\right)\right] u_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right) v(1,2,3), \\
\psi(1,2,3) \underset{r_{2} \rightarrow \infty}{ } r_{2}^{-1} g^{\prime}\left(\theta_{2}\right) u_{0}\left(\mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{1}\right) v(2,3,1), \\
\psi(1,2,3) \underset{r_{3} \rightarrow \infty}{ } r_{3}^{-1} g^{\prime}\left(\theta_{3}\right) u_{0}\left(\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}\right) v(3,1,2),
\end{array}
\]

где антисимметрия имеет место только по отношению к электронам 2 и 3. Здесь
\[
\begin{aligned}
f\left(\theta_{1}\right)=-\frac{m}{2 \pi \hbar^{2}} \iint & \int e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{1}} \bar{u}_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right) \times \\
& \times\left(\frac{e^{2}}{r_{12}}+\frac{e^{2}}{r_{13}}-\frac{2 e^{2}}{r_{1}}\right) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right) d \tau_{1} d \tau_{2} d \tau_{3}
\end{aligned}
\]
и спиновый член $v^{*}(1,2,3) v(1,2,3)=1$ опущен. Далее,
\[
\begin{aligned}
g^{\prime}\left(\theta_{2}\right) & =g\left(\theta_{2}\right) v^{*}(2,3,1) v(1,2,3), \\
g\left(\theta_{2}\right) & =-\frac{m}{2 \pi^{2}} \iiint e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_{2}} \bar{u}_{0}\left(\mathbf{r}_{3}, \mathbf{r}_{1}\right) \times \\
& \times\left(\frac{e^{2}}{r_{12}}+\frac{e^{2}}{r_{23}}-\frac{2 e^{2}}{r_{2}}\right) e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}} u_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right) d \tau_{1} d \tau_{2} d \tau_{3} ;
\end{aligned}
\]

выражение для $g^{\prime}\left(\theta_{3}\right)$ имеет аналогичный вид. Произведение спиновых функций в (34.27) легко вычисляется с помощью одноэлектронных функций (33.4), если только учесть, что функция $v^{*}$ эрмитово сопряжена с $v$. Примем в качестве $v(1,2,3)$ предпоследнюю спиновую функцию в (33.9); тогда получим
\[
\begin{aligned}
v^{*}(2,3,1) v(1,2,3)= & 2^{-1 / 2}\left[(-++)^{*}-(++-)^{*}\right] \times \\
& \times 2^{-1 / 2}[(++-)-(+-+)]=-\frac{1}{2} .
\end{aligned}
\]

Полностью антисимметричная волновая функция получается из $\psi(1,2,3)$ по формуле (32.3) с нижним знаком. Поскольку функция $\psi$ уже антисимметрична относительно двух последних аргументов, ясно, что члены в первой и во второй скобках в (32.3) будут одинаковы. Асимптотическое выражение волновой функции при больших значениях координат одного из электронов, например $r_{1}$, получается из соотношения (34.26) и (34.28):
\[
\begin{aligned}
\psi(1,2,3) & +\psi(2,3,1)+\psi(3,1,2) \xrightarrow[r_{1} \rightarrow \infty]{ }\left\{e^{i \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{r}_{1}}+r_{1}^{-1} e^{i k_{0} r_{1}} \times\right. \\
& \left.\times\left[f\left(\theta_{1}\right)-\frac{1}{2} g\left(\theta_{1}\right)-\frac{1}{2} g\left(\theta_{1}\right)\right]\right\} u_{0}\left(\mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}\right) v(1,2,3) .
\end{aligned}
\]

Отсюда находим дифференциальное эффективное сечение рассеяния:
\[
\sigma(\theta)=|f(\theta)-g(\theta)|^{2} .
\]

Формулу (34.30), как и формулы (33.2) и (34.25), можно вывести и не обращаясь явно к спиновым функциям. В основном состоянии атома гелия спины двух атомных электронов антипараллельны (синглет). Следовательно, спин падающего электрона будет параллелен спину одного и антипараллелен спину другого атомного электрона. При упругом столкновении обмен со вторым электроном невозможен, так как в противном случае оба атомных электрона оказались бы в одинаковом спиновом состоянии и в силу принципа Паули атом должен был бы перейти в возбужденное состояние. Иначе говоря, падающий электрон может обмениваться только с неотличимым от него атомным электроном, откуда следует, что необходимо пользоваться антисимметричной комбинацией простой $(f)$ и обменной (g) амплитуд рассеяния. Это и дает формулу (34.30).

В отсутствие спиновых взаимодействий возбуждение триплетного состояния атома гелия при столкновениях с электронами может происходить только за счет обмена падающего электрона с одним из атомных. В этом случае амплитуда простого рассеяния ( $f$ ) отсутствует и, следовательно, интерференции между амплитудами простого и обменного рассеяния не возникает.