Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
потенциальной энергией имеет вид Прежде всего разделим радиальную и угловую части, полагая Деля обе части (14.1) на $u$, получаем Поскольку левая часть (14.2) зависит только от $r$, а правая -только от $\theta$ и $\varphi$, то обе части должны равняться постоянной, которую мы обозначим через $\lambda$. Таким образом, из (14.2) получаем радиальное уравнение и угловое уравнение Полагая в (14.4) $Y(\theta, \varphi)=\epsilon(\theta) \Phi(\varphi)$ и повторяя тот же самый прием, можно разделить переменные $\theta$ и $\varphi$, в результате чего получим Уравнение (14.5), определяющее зависимость волновой функции от $\varphi$, немедленно интегрируется; общее решение его имеет вид В силу условия непрерывности функций $\Phi(\varphi)$ и $d \Phi / d \varphi$ величина $v$ во всей области $0 \quad \varphi \approx 2 \pi$ (см. §8) должна быть равна квадрату целого числа. Соответственно вместо (14.7) мы получим Коль скоро $m$ может равняться любому положительному или отрицательному целому числу или нулю¹), здесь -учтены все решения, имеющие физический смысл. Постоянный множитель выбран равным ( $2 \pi)^{-1 / 2}$ для того, чтобы функция $\Phi$ была нормирована на единицу в области изменения $\varphi$. Полиномы Лежандра. Тогда уравнение (14.6) примет вид Поскольку $\theta$ изменяется от 0 до $\pi$, то $w$ изменяется от 1 до -1. Решение уравнения (14.9) можно получить методом, во многих отношениях аналогичным примененному в § 13; мы здесь не будем останавливаться на нем²). Будучи дифференциальным уравнением второго порядка, уравнение (14.9) имеет два линейно независимых решения. Исключая некоторые специальные значения $\lambda$, оба эти решения обращаются в бесконечность при $w= \pm 1$ и, следовательно, являются физически недопустимыми (см. §8). Однако, если $\lambda=l(l+1)$, где $l$ положительное целое число или нуль, то одно из решений остается конечным при $w= \pm 1$. Это конечное решение имеет вид полинома от $w$ порядка $l-|m|$, умноженного на $\left(1-\mathfrak{w}^{2}\right)^{|m| / 2}$; четность его равна четности $l-|m|$. Физически допустимые решения уравнения (14.9) при $m=0$ называются полиномами Лежандра $P_{l}(w)$. Их свойства, как и в случае полиномов Эрмита, можно рассматривать с помощью производящей функции Дифференцирование производящей функции по $w$ и по $s$ приводит к соотношениям, аналогичным равенствам (13.11) для полиномов Эрмита: (штрихом обозначено дифференцирование по $w$ ). Дифференциальное уравнение наименьшего порядка, вытекающее из (14.11) и содержащее только $P_{l}$, как нетрудно видеть, совпадает с (14.9), если в последнем положить $\lambda=l(l+1)$ и $m=0$. При $m$, отличном от нуля, уравнение (14.9) имеет физически допустимые решения, если $\lambda=l(l+1)$ и $|m| \leqslant l$. Эти решения, называемые присоединенными полиномами Лежандра, выражаются через полиномы Лежандра следующим образом: Это можно показать, подставляя (14.12) в уравнение, получаемое путем $|m|$-кратного дифференцирования уравнения для $P_{l}(w)$. Дифференцируя (14.10) $|\mathrm{m}|$ раз по $w$ и умножая результат на $\left(1-\mathfrak{w}^{2}\right)^{|m| / 2}$, получим производящую функцию для присоединенных полиномов Лежандра: Сферические функции. где $\Phi_{m}(\varphi)$ дается формулой (14.8), а $N_{l m}$ — нормировочная постоянная для присоединенного полинома Лежандра. Так же, как в \& 10 была доказана ортогональность собственных функций оператора энергии, можно доказать и ортогональность решений уравнения (14.4), соответствующих различным значениям $\lambda$ или $l$. Однако собственное значение $l$ является $(2 l+1)$-кратно вырожденным, так как ему принадлежат все линейно независимые решения $Y_{l m}(\theta, \varphi)$, в которых $m$ принимает любое целое значение от $-l$ до $+l$. В силу специального вида функции $\Phi_{m}(\varphi)$, определяемой выражением (14.8), все эти вырожденные собственные функции взаимно ортогональны. Таким образом, интеграл обращается в нуль, если только не имеют места условия $l=l^{\prime}$ и $m=m^{\prime}$. Интересно отметить, что сферические функции, так сказать, не более ортогональны, чем это необходимо для обращения интеграла в нуль, когда следует. Именно при любых значениях $l$ интеграл по $\varphi$ обращается в нуль при $m или $w$ обращается в нуль только при $l можно вычислить различными способами, например с помощью производящей функции (14.13), как это делалось в § 13. Как и следовало ожидать, интеграл (14.15) отличен от нуля только при $l=l^{\prime}$, причем в этом случае он равен $[2 /(2 l+1)][(l+|m|) ! /(l-|m|) !]$. Следовательно, в качестве постоянной $N_{l m}$ (содержащей произвольный фазовый множитель единичного модуля) можно взять обратное значение корня квадратного из этой величины. Таким образом, нормированные сферические функции имеют вид В частности, первые четыре гармоники запишутся так: Четность. При $l>0$ уровни энергии для сферически симметричного потенциала вырождены по крайней мере по отношению к квантовому числу $m$. В этом случае четность всех вырожденных собственных функций одинакова и, как мы теперь покажем, равна четности числа $l$. Действительно, при преобразовании отражения радиальная часть решения. $R(r)$ остается неизменной. Функция $\Phi(\varphi)$, определяемая соотношением (14.8), имеет четность $|m|$. Четность $P_{l}^{m}(\cos \theta)$ определяется величиной $l-|m|$, так как функция $P_{l}^{m}(w)$ равна четной части $\left(1-w^{2}\right)^{|m| / 2}$, умноженной на полином вой все три компоненты М можно точно определить одновременно, тогда как во второй в общем случае одновременно можно задать только $M_{z}$ и $\mathbf{M}^{2}$. Действительно, сферические гармоники $Y_{l m}(\theta, \varphi)$ не являются собственными функциями операторов $M_{x}$ и $M_{y}$ (исключая случай $l=0$ ). Этот результат можно связать с принципом неопределенности. Разумеется, выбор направления полярной оси, выделяющий $M_{z}$ по сравнению с $M_{x}$ и $M_{y}$, является совершенно произвольным, что соответствует произволу в выборе оси пространственного квантования в старой квантовой теории (в отсутствие внешних полей).
|
1 |
Оглавление
|