потенциальной энергией имеет вид
\[
\begin{array}{l}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m}\left[\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}\right] u \\
+V(r) u=E u .
\end{array}
\]

Прежде всего разделим радиальную и угловую части, полагая
\[
u(r, \theta, \varphi)=R(r) Y(\theta, \varphi) .
\]

Деля обе части (14.1) на $u$, получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{R} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R}{d r}\right)+\frac{2 m r^{2}}{\hbar^{2}}[E & -V(r)]= \\
& =-\frac{1}{Y}\left[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}}\right] .
\end{aligned}
\]

Поскольку левая часть (14.2) зависит только от $r$, а правая -только от $\theta$ и $\varphi$, то обе части должны равняться постоянной, которую мы обозначим через $\lambda$. Таким образом, из (14.2) получаем радиальное уравнение
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R}{d r}\right)+\left\{\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-V(r)]-\frac{\lambda}{r^{2}}\right\} R=0
\]

и угловое уравнение
\[
\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} Y}{\partial \varphi^{2}}+\lambda Y=0 .
\]

Полагая в (14.4) $Y(\theta, \varphi)=\epsilon(\theta) \Phi(\varphi)$ и повторяя тот же самый прием, можно разделить переменные $\theta$ и $\varphi$, в результате чего получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} \Phi}{d \varphi^{2}}+
u \Phi=0 \\
\frac{1}{\sin \theta} \frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta}\right)+\left(\lambda-\frac{
u}{\sin ^{2} \theta}\right) \Theta=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (14.5), определяющее зависимость волновой функции от $\varphi$, немедленно интегрируется; общее решение его имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
\Phi(\varphi)=A e^{i
u^{1 / 2} \varphi}+B e^{-i
u^{1 / 2} \varphi}, & v
eq 0, \\
\Phi(\varphi)=A+B \varphi, & v=0 .
\end{array}
\]

В силу условия непрерывности функций $\Phi(\varphi)$ и $d \Phi / d \varphi$ величина $v$ во всей области $0 \quad \varphi \approx 2 \pi$ (см. §8) должна быть равна квадрату целого числа. Соответственно вместо (14.7) мы получим
\[
\Phi_{m}(\varphi)=(2 \pi)^{-1 / 2} e^{i m \varphi} .
\]

Коль скоро $m$ может равняться любому положительному или отрицательному целому числу или нулю¹), здесь -учтены все решения, имеющие физический смысл.

Постоянный множитель выбран равным ( $2 \pi)^{-1 / 2}$ для того, чтобы функция $\Phi$ была нормирована на единицу в области изменения $\varphi$.

Полиномы Лежандра.
Пока функция $V(r)$ не задана, самое большее, что мы можем сделать – это решить уравнение (14.6), где теперь $v=m^{2}$. Удобно произвести замену аргумента $w=\cos \theta$ и положить
\[
\Theta(\theta)=P(w) .
\]

Тогда уравнение (14.6) примет вид
\[
\frac{d}{d w}\left[\left(1-w^{2}\right) \frac{d P}{d w}\right]+\left(\lambda-\frac{m^{2}}{1-w^{2}}\right) P=0 .
\]

Поскольку $\theta$ изменяется от 0 до $\pi$, то $w$ изменяется от 1 до -1. Решение уравнения (14.9) можно получить методом, во многих отношениях аналогичным примененному в § 13; мы здесь не будем останавливаться на нем²).

Будучи дифференциальным уравнением второго порядка, уравнение (14.9) имеет два линейно независимых решения. Исключая некоторые специальные значения $\lambda$, оба эти решения обращаются в бесконечность при $w= \pm 1$ и, следовательно, являются физически недопустимыми (см. §8). Однако, если $\lambda=l(l+1)$, где $l$ положительное целое число или нуль, то одно из решений остается конечным при $w= \pm 1$. Это конечное решение имеет вид полинома от $w$ порядка $l-|m|$, умноженного на $\left(1-\mathfrak{w}^{2}\right)^{|m| / 2}$; четность его равна четности $l-|m|$.

Физически допустимые решения уравнения (14.9) при $m=0$ называются полиномами Лежандра $P_{l}(w)$. Их свойства, как и в случае полиномов Эрмита, можно рассматривать с помощью производящей функции
\[
T(w, s)=\left(1-2 s w+s^{2}\right)^{-1 / 2}=\sum_{l=0}^{\infty} P_{l}(w) s^{l}, \quad s<1 .
\]

Дифференцирование производящей функции по $w$ и по $s$ приводит к соотношениям, аналогичным равенствам (13.11) для полиномов Эрмита:
\[
\begin{array}{l}
\left(1-w^{2}\right) P_{l}^{\prime}=-l w P_{l}+l P_{l-1}, \\
(l+1) P_{l+1}=(2 l+1) w P_{l}-l P_{l-1} ;
\end{array}
\]
1) Для квантового числа, соответствующего координате $\varphi$, мы применяем обычное обозначение $m$, которое не следует смешивать с массой частицы.
a) Полное решение этого уравнения можно найти в книге Уиттекера и Ватсона [4], гл. 15.

(штрихом обозначено дифференцирование по $w$ ). Дифференциальное уравнение наименьшего порядка, вытекающее из (14.11) и содержащее только $P_{l}$, как нетрудно видеть, совпадает с (14.9), если в последнем положить $\lambda=l(l+1)$ и $m=0$.

При $m$, отличном от нуля, уравнение (14.9) имеет физически допустимые решения, если $\lambda=l(l+1)$ и $|m| \leqslant l$. Эти решения, называемые присоединенными полиномами Лежандра, выражаются через полиномы Лежандра следующим образом:
\[
P_{l}^{m}(w)=\left(1-w^{2}\right)^{|m| / 2} \frac{d^{|m|}}{d w^{|m|}} P_{l}(w) .
\]

Это можно показать, подставляя (14.12) в уравнение, получаемое путем $|m|$-кратного дифференцирования уравнения для $P_{l}(w)$. Дифференцируя (14.10) $|\mathrm{m}|$ раз по $w$ и умножая результат на $\left(1-\mathfrak{w}^{2}\right)^{|m| / 2}$, получим производящую функцию для присоединенных полиномов Лежандра:
\[
T_{m}(w, s)=\frac{\left.(2|m|) !\left(1-w^{2}\right)^{|m| / 2}\right|^{|m|}}{2^{|m|}(|m|) !\left(1-2 s w+s^{2}\right)^{|m|+1 / 2}}=\sum_{l=|m|}^{\infty} P_{l}^{m}(w) s^{l} .
\]

Сферические функции.
Угловая часть $Y_{l m}(\theta, \varphi)$ полной волновой функции, удовлетворяющая уравнению (14.4) при $\lambda=l(l+1)$, называется сферической функцией (или сферической гармоникой). Очевидно, .
\[
Y_{l m}(\theta, \varphi)=N_{l m} P_{l}^{m}(\cos \theta) \Phi_{m}(\varphi),
\]

где $\Phi_{m}(\varphi)$ дается формулой (14.8), а $N_{l m}$ – нормировочная постоянная для присоединенного полинома Лежандра.

Так же, как в \& 10 была доказана ортогональность собственных функций оператора энергии, можно доказать и ортогональность решений уравнения (14.4), соответствующих различным значениям $\lambda$ или $l$. Однако собственное значение $l$ является $(2 l+1)$-кратно вырожденным, так как ему принадлежат все линейно независимые решения $Y_{l m}(\theta, \varphi)$, в которых $m$ принимает любое целое значение от $-l$ до $+l$. В силу специального вида функции $\Phi_{m}(\varphi)$, определяемой выражением (14.8), все эти вырожденные собственные функции взаимно ортогональны. Таким образом, интеграл
\[
\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \bar{Y}_{l n}(\theta, \varphi) Y_{l^{\prime} m^{\prime}}(\theta, \varphi) \sin \theta d \theta d \varphi=\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \bar{Y}_{l m} Y_{l^{\prime} m^{\prime}} d w d \varphi
\]

обращается в нуль, если только не имеют места условия $l=l^{\prime}$ и $m=m^{\prime}$.

Интересно отметить, что сферические функции, так сказать, не более ортогональны, чем это необходимо для обращения интеграла в нуль, когда следует. Именно при любых значениях $l$ интеграл по $\varphi$ обращается в нуль при $m
eq m^{\prime}$; интеграл по $\theta$

или $w$ обращается в нуль только при $l
eq l^{\prime}$ и $|m|=\left|m^{\prime}\right|$, так как при $m
eq m^{\prime}$ ортогональность обеспечивается. интегралом по $\varphi$. Интеграл
\[
\int_{-1}^{1} P_{l}^{m}(w) P_{l^{\prime}}^{m}(w) d w
\]

можно вычислить различными способами, например с помощью производящей функции (14.13), как это делалось в § 13. Как и следовало ожидать, интеграл (14.15) отличен от нуля только при $l=l^{\prime}$, причем в этом случае он равен $[2 /(2 l+1)][(l+|m|) ! /(l-|m|) !]$. Следовательно, в качестве постоянной $N_{l m}$ (содержащей произвольный фазовый множитель единичного модуля) можно взять обратное значение корня квадратного из этой величины. Таким образом, нормированные сферические функции имеют вид
\[
Y_{l m}(\theta, \varphi)=\left[\frac{2 l+1}{4 \pi} \frac{(l-|m|) !}{(l+|m|) !}\right]^{1 / s} P_{l}^{m}(\cos \theta) e^{i m \varphi} .
\]

В частности, первые четыре гармоники запишутся так:
\[
\begin{aligned}
Y_{0,0} & =\frac{1}{(4 \pi)^{1 / 2}}, & Y_{1,1} & =\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{1 / 2} \sin \theta e^{i \varphi}, \\
Y_{1,0} & =\left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1 / 2} \cos \theta, & Y_{1,-1} & =\left(\frac{3}{8 \pi}\right)^{1 / 2} \sin \theta e^{-i \varphi} .
\end{aligned}
\]

Четность.
Теперь можно обобщить введенное в § 9 представление о четности на случай трехмерных задач, рассматриваемых в настоящем параграфе. Произведем отражение относительно начала координат, т. е. заменим переменные так, чтобы радиус-вектор $\mathbf{r}$ перешел в -r. Это соответствует замене $x$ на – $x, y$ на $-y$ и $z$ на $-z$ или же (при неизменном $r$ ) замене $\theta$ на $\pi-\theta$ и $\varphi$ на $\varphi+\pi$. Единственное изменение, которое может при этом произойти в (14.1), состоит в замене волновой функции $u(r, \theta, \varphi)$ на $u(r, \pi-\theta$, $\varphi+\pi)$; структура и коэффициенты уравнения остаются неизменными. Тогда из результатов § 9 следует, что можно найти ортогональные линейные комбинации вырожденных собственных функций, имеющие определенные четности, а невырожденные собственные функции должны сами обладать определенной четностью.

При $l>0$ уровни энергии для сферически симметричного потенциала вырождены по крайней мере по отношению к квантовому числу $m$. В этом случае четность всех вырожденных собственных функций одинакова и, как мы теперь покажем, равна четности числа $l$. Действительно, при преобразовании отражения радиальная часть решения. $R(r)$ остается неизменной. Функция $\Phi(\varphi)$, определяемая соотношением (14.8), имеет четность $|m|$. Четность $P_{l}^{m}(\cos \theta)$ определяется величиной $l-|m|$, так как функция $P_{l}^{m}(w)$ равна четной части $\left(1-w^{2}\right)^{|m| / 2}$, умноженной на полином

вой все три компоненты М можно точно определить одновременно, тогда как во второй в общем случае одновременно можно задать только $M_{z}$ и $\mathbf{M}^{2}$. Действительно, сферические гармоники $Y_{l m}(\theta, \varphi)$ не являются собственными функциями операторов $M_{x}$ и $M_{y}$ (исключая случай $l=0$ ). Этот результат можно связать с принципом неопределенности. Разумеется, выбор направления полярной оси, выделяющий $M_{z}$ по сравнению с $M_{x}$ и $M_{y}$, является совершенно произвольным, что соответствует произволу в выборе оси пространственного квантования в старой квантовой теории (в отсутствие внешних полей).