В данном параграфе мы рассмотрим с точки зрения новой квантовой механики три довольно типичных опыта по измерению различных физических величин. Первые два служат для определения координаты и импульса частицы оптическими методами, третий представляет собой диффракционный эксперимент, описанный в $§ 2$.

Измерение координаты.
Рассмотрим частный пример, иллюстрирующий справедливость принципа неопределенности. Мы имеем в виду типичный метод определения координат и импульса, неоднократно обсуждавшийся в связи с вопросом об измерениях величин, характеризующих как частицы, так и поле излучения ${ }^{1}$. Именно, определим точность, с которой можно одновременно найти координату $x$ и соответствующую компоненту импульса частицы, наблюдая рассеиваемый ею свет через микроскоп (до некоторой степени идеализированный).

Как известно из опыта (или из волновой оптики), разрешающая способность линзы $L$ (фиг. 2) в лучшем случае такова, что максимальная точность определения координаты составляет
\[
\Delta x \sim \frac{\lambda}{\sin \varepsilon},
\]

где $\lambda$-длина волны излучения, падающего на линзу, а $\varepsilon$ – половина угла, проведенного из точки $P$, где находится частица, к краям линзы. Для простоты рассмотрим случай, когда на эк-

ран $S$ попадает только один квант света $Q$. В силу конечности апертуры линзы точное направление движения рассеянного фотона остается неизвестным. На основании (1.2) импульс фотона после рассеяния равен $h / \lambda$ и, следовательно, неопределенность в его $x$-компоненте составляет примерно ( $h / \lambda) \sin \varepsilon$.

До рассеяния $x$-компоненты импульсов фотона и частицы могли быть точно известны, так как тогда не было необходимости определять соответствующие координаты. Далее, коль скоро измерение координаты связано со смещением частицы относительно микроскопа, нет оснований ожидать изменения полного импульса всей системы (частицы, фотона и микроскопа). Тогда $\Delta p_{x}$ – неопределенность $x$-компоненты импульса частицы после рассеяния равна соответствующей неопределенности для фотона :
\[
\Delta p_{x} \sim \frac{h}{\lambda} \sin \varepsilon .
\]

Комбинируя соотношения (4.1) и (4.2), получаем, что непосредственно после рассеяния (при наиболее благоприятных условиях)
\[
\Delta x \cdot \Delta p_{x} \sim h
\]
$\Phi$ иг. 2. Измерение координаты частицы $P$ с помощью одного из рассеянных квантов.

Квант $Q$ фокусируется линзой $L$ и дает изображение на экране $S$.

в соответствии с соотношением неопределенности (3.1).

Данный опыт можно рассмотреть также с точки зрения принципа дополнительности. Дополнительные системы отличаются друг от друга длиной волны излучения: при достаточно малых $\lambda$ можно со значительной точностью определить координату частицы, а при больших $\lambda$ – ее импульс.

Измерение импульса.
В только что описанном опыте по измерению координаты импульс частицы до измерения предполагался точно известным. Оказалось, что не только координата измеряется с некоторой неточностью, но, сверх того, измерение вносит также известную неопределенность и в значение импульса.

Рассмотрим теперь другой эксперимент, в начале которого точно известна координата частицы и производится измерение импульса. Мы увидим, что не только последнюю величину можно найти лишь с некоторой неточностью, но, сверх того, измерение вносит неопределенность и в значение координаты. Пусть частица представляет собой атом в возбужденном состоянии; будучи неподвижен, этот атом испускает фотон с частотой $v_{0}$. Вследствие эффекта Допплера при движении атома к наблюдателю со скоростью $v$ наблюдаемая частота будет приближенно определяться

формулой
\[
v \sim v_{0}\left(i+\frac{v}{c}\right),
\]

так что
\[
v \approx c\left(\frac{v}{
u_{0}}-1\right) .
\]

Достаточно точное измерение импульса $m v$ путем измерения частоты $v$ потребует относительно большого времени $\tau$; как можно показать, минимальная ошибка при определении частоты составляет
\[
\Delta
u \sim \frac{1}{\tau} .
\]

Таким образом, момент испускания фотона можно определить лишь с точностью до величины $\tau$. В этот момент импульс атома уменьшается на $h v / c$, а его скорость – на $h v / m c$. Соответственно в координату атома вносится неопределенность
\[
\Delta x=\frac{h v \tau}{m c},
\]

ибо чем позднее испускается фотон, тем дольше атом имеет большую скорость и тем дальше он пройдет. Эта неопределенность возникает в силу конечности времени $\tau$. Если бы $\tau$ было равно нулю и если бы мы знали начальную скорость атома и изменение скорости при испускании фотона, то мы могли бы узнать, где находится атом в любой момент времени. Именно в силу конечности $\tau$ мы не знаем, когда происходит изменение скорости, и, следовательно, не знаем и местоположения атома в более поздние моменты времени.
Неопределенность импульса, в силу (4.5) и (4.6), составляет
\[
\Delta p_{x}=m \Delta v \approx \frac{m c \Delta v}{v_{0}} \sim \frac{m c}{v_{0} \tau} .
\]

В рассмотренном здесь нерелятивистском случае $v / c \ll 1$ и $v \approx v_{0}$. Таким образом, комбинируя (4.7) и (4.8), мы получаем соотношение неопределенности (3.1).

Диффракционный опыт.
Проанализируем в заключение диффракционный опыт (82), исходя из принципов дополнительности и неопределенности. Именно, обсудим вопрос о двух противоположных устройствах, которые, с классической точки зрения, взаимно дополняют друг друга. Одно из них изображено на фиг. 1. Допустим, что расстояние от $A$ до $B$ велико по сравнению с расстоянием между обеими щелями, а последнее – велико по сравнению с длиной световой волны. Тогда распределение интенсивности в диффракционной картине на экране с хорошим приближением определяет угловое распределение фотонов, проходящих через щели в диафрагме, и, следовательно, определяет также распределение $y$-компонент импульса фотона за диафрагмой. Второе устройство, изображенное на фиг. 3, позволяет определить, через какую именно щель проходит фотон, и, следовательно, дает сведения об $y$-координате фотона.

Во втором устройстве фотон, проходящий через щель, регистрируется одним из индикаторов $C$, расположенных вблизи диафрагмы, передавая ему некоторый импульс в направлении оси $y$ (с неопределенностью $\Delta p_{y}$ ). Коль скоро мы не желаем нарушить диффракционную картину, создаваемую большим числом таких фотонов, неопределенность импульса отдельного фотона, возникающая при столкновении его с индикатором, должна быть значительно меньше импульса, необходимого для попадания фотона в соседний диффракционный минимум (вместо максимума). Для фотона с импульсом $p_{x}$ это означает, что
\[
\Delta p_{y} \ll \theta p_{x} .
\]

Фиг. 3. Установка, изображенная на фиг. 1, с добавлением индикатора квантов $C$.

В рассматриваемом простом случае, когда $R \gg a \gg \lambda$, угол $\theta$, как известно из волновой оптики (или из опыта), можно выразить через длину волны $\lambda$ и расстояние между щелями $a$ :
\[
\theta=\frac{\lambda}{2 a} .
\]

С другой стороны, если неопределенность $\Delta y$ в $y$-координате индикатора окажется больше половины расстояния между щелями, то мы не сможем узнать, через какую из щелей прошел фотон. Это дает условие
\[
\Delta y \therefore \frac{1}{2} a .
\]

Комбинируя выражения (4.9)-(4.11) и (1.2), видим, что попытка определить, не разрушая диффракционную картину на экране $B$, через какую именно щель прошел фотон, возможна лишь при условии
\[
\Delta y \cdot \Delta p_{y} \ll \frac{1}{4} h .
\]

Но это неравенство противоречит соотношению неопределенности (3.1). Следовательно, не разрушая диффракционную картину, невозможно определить, через какую щель проходит фотон.

Обсуждение диффрақционного опыта. Только что рассмотренные соображения выявляют тесную связь между принципами неопределенности и дополнительности, с одной стороны, и опытами по диффракции и по измерению координат – с другой1. Мы имеем здесь наглядное подтверждение справедливости принципа дополнительности, взятого в сочетании с наблюдаемыми на опыте свойствами вещества и излучения (дополнительность в данном случае состоит в необходимости выбора между двумя взаимно исключающими друг друга, но классически дополнительными опытами по диффракции и локализации частиц). Из изложенного следует, что представление 0 фотонах не приводит к существенным трудностям только до тех пор, пока мы не настаиваем на таком же детальном описании, как и в классической физике.

Разумеется, для объяснения данных опыта все же приходится приписывать фотонам необычные свойства; приведенные выше соображения не разъясняют, каким образом фотон может интерферировать сам с собой при образовании диффракционной картины ${ }^{2}$. Равным образом остается неясным, каким путем электромагнитные волны могут вырывать фотоэлектроны из экрана ${ }^{3}$. Эти вопросы лежат за пределами качественных рассуждений настоящей главы; они требуют применения математического аппарата квантовой механики. Тем не менее квантовомеханическое рассмотрение диффракционного опыта позволяет устранить трудность, с которой мы встретились в § 2 : при успешной попытке определить, через какую именно щель проходит фотон, диффракционная картина исчезает.