Соотношение (1.2) между импульсом и длиной волны, справедливость которого доказана экспериментально как для фотонов, так и для частиц вещества, наводит на мысль о том, что для описания локализованных частиц и квантов можно было бы воспользоваться волновыми образованиями, занимающими небольшую область пространства. Для разъяснения этой идеи рассмотрим волновую функцию $\psi$, зависящую от пространственных координат $x, y, z$ и от времени $t$. Предполагается, что она обладает следующими тремя основными свойствами: 1) она может интерферировать сама с собой, что позволяет объяснить результаты диффракционных опытов ; 2) ее абсолютное значение велико там, где наиболее вероятно нахождение частицы (или фотона), и мало в остальных местах ; 3) $\psi$ следует рассматривать как функцию, описывающую поведение отдельной частицы (или фотона), а не как характеристику статистического распределения многих квантов. Последнее свойство существенно, поскольку в § 2 было показано, что квант вещества или излучения интерферирует не с другими квантами, а сам с собой. В настоящем разделе мы ограничимся лишь качественным обсуждением одномерного случая, когда волновая функция $\psi$ зависит только от $x$ и $t$; количественное рассмотрение будет отложено до гл. II.

Пространственные пакеты.
Волновые образования, занимающие ограниченную область пространства, мы будем называть волновыми пакетами’. Типичный пакет изображен на фиг. 4, $a$, где
Фиг. 4. Графики функции $\psi(x)$, характеризующей типичный волновой пакет (a), и его преобразования Фурье (6).

представлена зависимость $\psi(x, t)$ от $x$ для данного момента времени $t$. На фигуре показаны средняя длина волны $\lambda_{0}$ и приблизительные размеры пакета $\Delta x$. В связи с исследованием волновых пакетов представляет интерес разложение $\psi$ в интеграл Фурье ${ }^{2)}$ по $x$, так как при этом выясняется, каким образом можно составить пакет, суммируя гармоники с различными длинами волн. Это показано на фиг. 4, б, где графически изображена зависимость коэффициентов Фурье функции $\psi$ от волнового числа $k=2 \pi / \lambda$.

C помощью стандартных математических методов можно показать, что
\[
\Delta k>\frac{1}{\Delta x},
\]

где $\Delta k$ приближенно характеризует разброс волновых чисел в пакете. Если считать, что длина волны связана с импульсом соотношением (1.2), то разбросу $\Delta k$ будет соответствовать разброс импульса
\[
\Delta p=\Delta\left(\frac{h}{\lambda}\right)=\frac{h}{2 \pi} \Delta k=\hbar \cdot \Delta k .
\]

Сопоставление уравнений (5.1) и (5.2) дает
\[
\Delta x \cdot \Delta p>\hbar,
\]

что согласуется с соотношением неопределенности (3.1). Таким образом, принцип неопределенности для координаты и импульса непосредственно вытекает из свойств волнового пакета и соотношения (1.2).

Временные пақеты.
Аналогичным путем можно исследовать зависимость $\psi$ от времени $t$ в некоторой точке $x$. Преобразование Фурье (по $t$ ) будет показывать в данном случае, каким образом $\psi$ образуется из непрерывной последовательности гармонических волн с различными частотами $
u$. Соотношение между интервалом времени и разбросом коэффициентов Фурье по частотам дается формулой
\[
\Delta t \cdot \Delta v>\frac{1}{2 \pi} .
\]

Используя связь энергии кванта $E$ с частотой волны [соотношение (1.1)], можно привести (5.4) в соответствие с принципом неопределенности. Именно, определим связь между энергией и частотой равенством (1.1):
\[
E=h v
\]
(в случае фотонов оно вытекает из опытов, описанных в § 1). Сопоставление (5.4) и (5.5) приводит к соотношению неопределенности (3.3).

Предположение о справедливости формулы (5.5) не только для излучения, но и для вещества можно сделать более убедительным, если вычислить групповую скорость ${ }^{\prime}$ волнового пакета, характеризующего нерелятивистскую частицу с массой $m$, кинетической энергией $E$ и импульсом $p$. Пусть длина волны и частота определяются соответственно формулами (1.2) и (5.5); тогда

C помощью стандартных математических методов можно показать, что
\[
\Delta k>\frac{1}{\Delta x},
\]

где $\Delta k$ приближенно характеризует разброс волновых чисел в пакете. Если считать, что длина волны связана с импульсом соотношением (1.2), то разбросу $\Delta k$ будет соответствовать разброс импульса
\[
\Delta p=\Delta\left(\frac{h}{\lambda}\right)=\frac{h}{2 \pi} \Delta k=\hbar \cdot \Delta k .
\]

Сопоставление уравнений (5.1) и (5.2) дает
\[
\Delta x \cdot \Delta p>\hbar,
\]

что согласуется с соотношением неопределенности (3.1). Таким образом, принцип неопределенности для координаты и импульса непосредственно вытекает из свойств волнового пакета и соотношения (1.2).

Временные пақеты.
Аналогичным путем можно исследовать зависимость $\psi$ от времени $t$ в некоторой точке $x$. Преобразование Фурье (по $t$ ) будет показывать в данном случае, каким образом $\psi$ образуется из непрерывной последовательности гармонических волн с различными частотами $
u$. Соотношение между интервалом времени и разбросом коэффициентов Фурье по частотам дается формулой
\[
\Delta t \cdot \Delta v>\frac{1}{2 \pi} .
\]

Используя связь энергии кванта $E$ с частотой волны [соотношение (1.1)], можно привести (5.4) в соответствие с принципом неопределенности. Именно, определим связь между энергией и частотой равенством (1.1):
\[
E=h v
\]
(в случае фотонов оно вытекает из опытов, описанных в § 1). Сопоставление (5.4) и (5.5) приводит к соотношению неопределенности (3.3).

Предположение о справедливости формулы (5.5) не только для излучения, но и для вещества можно сделать более убедительным, если вычислить групповую скорость ${ }^{\prime}$ волнового пакета, характеризующего нерелятивистскую частицу с массой $m$, кинетической энергией $E$ и импульсом $p$. Пусть длина волны и частота определяются соответственно формулами (1.2) и (5.5); тогда
1) См. книгу Борна [2], стр. 88 и 330 .”},{“createdAt”:1709630409000,”createdBy”:292016,”updatedAt”:1709630420000,”updatedBy”:292016,”id”:3059606,”sessionId”:1313720,”inputText”:null,”imgPath”:”session-input/img/3059606/Pasted Image.png”,”imgUrl”:”https://s3.us-east-2.amazonaws.com/fmd-mathgpt-prod/session-input/img/3059606/Pasted%20Image.png?X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20240305T092033Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=9000&X-Amz-Credential=AKIARZJS4SGXPVQY57LL%2F20240305%2Fus-east-2%2Fs3%2Faws4_request&X-Amz-Signature=1d47879cfcac6184837c88f63268518718ff5dc08d92b5d239bcb2c046528e1c”,”status”:”SUCCESS”,”parsedText”:”§ 5. Волновые пакеты в пространстве и во времени
27
групповая скорость (скорость центра пакета) будет равна
\[
\frac{d v}{d(1 / \lambda)}=\frac{d E}{d p}=\frac{d\left(p^{2} / 2 m\right)}{d p}=\frac{p}{m},
\]

что совпадает с классическим выражением для скорости. Это означает, что если можно пренебречь размерами и внутренней структурой волнового пакета, то, с учетом (5.5), волновое описание движения частицы будет совпадать с классическим.

Волновой формализм.
Таким образом, мы видим, что частицы вещества, равно как и кванты излучения, можно представить в виде волновых пакетов, при наложении которых может иметь место интерференция. Амплитуды волн определяют вероятность нахождения частицы в данной точке. Это представление согласуется с принципом неопределенности, коль скоро принимаются во внимание выведенные из опыта соотношения (1.2) и (5.5). Таким путем, исходя из математического описания волновых движений, можно развить количественный аппарат квантовой теории. Для вещества это будет сделано в гл. II на основании развитых в настоящей главе физических принципов. Мы также всегда будем требовать, чтобы при соответствующем предельном переходе результаты любых вычислений совпадали с классическими выражениями. Это требование выражает принцип соответствия Бора, упоминавшийся в § 2. В настоящее время, когда существует достаточно полная квантовая теория, принцип соответствия представляет интерес главным образом в связи с требованием, чтобы квантовый формализм в пределе давал правильные классические результаты; однако при новых расчетах или при расширении границ теории принцип соответствия может иметь эвристическое значение.

На первый взгляд может показаться, что описание вещества исключительно с помощью волнового формализма, как это сделано в последующих четырех главах, противоречит корпускулярно-волновому дуализму, обсуждавшемуся в \& 1, и, следовательно, не соответствует принципу дополнительности. Однако это неверно, так как в действительности данный формализм позволяет разобраться во всех доступных измерению свойствах вещества, включая, например, и такие явления, как образование следов частиц в камере Вильсона. Так, в § 30 будет показано, что если в камере Вильсона движется одна частица с определенным импульсом и, следовательно, совершенно неопределенной координатой, то вероятность ионизации двух или более молекул газа будет пренебрежимо мала для всех точек, не лежащих очень близко к линии, параллельной вектору импульса.

Необходимо подчеркнуть, что сделанные замечания справедливы только в том случае, если описанная в настоящем разделе

волновая функция всегда интерпретируется как величина, характеризующая одну частицу, а не статистическое распределение многих частиц. Для описания нескольких частиц надо воспользоваться волновой функцией, зависящей от координат их всех. Аналогичное количественное описание световых квантов, которому посвящена гл. XIV, требует несколько иного подхода. Это связано главным образом с тем, что при взаимодействии с веществом фотоны могут испускаться и поглощаться так, что их число не сохраняется (тогда как число частиц, в рамках задач, рассматриваемых в этой книге, является постоянным). В связи с этим волновая функция фотонов должна была бы зависеть от переменного числа параметров, что является нежелательным.