Интересный и практически важный пример прямого применения матричных методов для описания динамических переменных дает исследование свойств оператора момента количества движения. Мы будем рассматривать их лишь в некоторый определенный момент времени, не интересуясь изменением матриц момента количества движения со временем. Однако нужно отметить, что если оператор момента количества движения коммутирует с гамильтонианом, то он является интегралом движения, и матрицы его не изменяют своего вида с течением времени. В § 23 было показано, что это имеет место в том случае, когда гамильтониан является сферически симметричным.

Произвольное вращение $R$ можно получить, последовательно производя вращения на бесконечно малые углы вокруг каждой из трех координатных осей. В силу сказанного выше можно ожидать, что каждая компонента м связана с бесконечно малым вращением вокруг соответствующей оси. Вращение на бесконечно малый угол $\varphi$ вокруг оси $z$ переводит произвольную функцию $f$ в
\[
\begin{array}{l}
\tilde{R}_{z}(\varphi) f(x, y, z)=f(x+\varphi y, y-\varphi x, z)= \\
\quad=f(x, y, z)+\varphi y \frac{\partial f}{\partial x}-\varphi x \frac{\partial f}{\partial y}=\left[1+\varphi\left(y \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial y}\right)\right] f(x, y, z) .
\end{array}
\]

В силу произвольности $f$ из (24.1) получаем
\[
R_{z}(\varphi)=1+\frac{\varphi}{i \hbar} M_{z},
\]

где угол $\varphi$ бесконечно мал. Это соотношение носит более фундаментальный характер, чем (24.1), и его можно использовать для определения М также и в том случае, когда не существует величин $\mathbf{r}$ и р, фигурирующих в (24.1).

Выбор представления. Из формул (24.2) явствует, что любые две компоненты М не коммутируют друг с другом, и, следовательно, в любом представлении может быть диагональной только одна из них. Однако все три компоненты коммутируют с оператором
\[
\mathbf{M}^{2}=M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2} ;
\]

так, например,
\[
\begin{aligned}
{\left[M_{z}, \mathbf{M}^{2}\right] } & =M_{z} M_{x}^{2}-M_{x}^{2} M_{z}+M_{z} M_{y}^{2}-M_{y}^{2} M_{z}= \\
& =i \hbar\left(M_{x} M_{y}+M_{y} M_{x}\right)-i \hbar\left(M_{y} M_{x}+M_{x} M_{y}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Поэтому можно одновременно диагонализовать одну из компонент $\mathbf{M}$, например $M_{z}$, и $\mathbf{M}^{2}$; этим мы и воспользуемся, чтобы задать представление.
Удобно пользоваться оператором $M_{y}$ и неэрмитовой матрицей
\[
L=M_{x}+i M_{y}
\]

из определения которой следует равенство
\[
\mathbf{M}^{2}=M_{z}^{2}+\frac{1}{2}\left(L L^{*}+L^{*} L\right) .
\]

Пользуясь (24.2), можно найти правила перестановки для $L$ :
\[
\left[\mathbf{M}^{2}, L\right]=0, \quad\left[M_{z}, L\right]=\hbar L, \quad\left[L, L^{*}\right]=2 \hbar M_{z} .
\]
Задача состоит в нахождении такого представления, в котором матрицы $M_{z}$ и $\mathbf{M}^{2}$ диагональны. Для нумерации строк и столбцов у матриц в этом представлении можно воспользоваться собствен-

отличный от нуля член, так что в силу (24.9) отсюда следует:
\[
\left|\lambda_{m-1}\right|^{2}-\left|\lambda_{m}\right|^{2}=2 m \text {. }
\]

Собственные значения $\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{z}}$. Равенство (24.10) представляет собой линейное разностное уравнение первого порядка относительно $\left|\lambda_{m}\right|^{2}$, и его общее решение содержит одну произвольную постоянную:
\[
\left|\lambda_{m}\right|^{2}=C-m(m+1) .
\]

Но, с другой стороны, величина $\left|\lambda_{m}\right|^{2}$ по определению положительна или равна нулю, тогда как правая часть (24.11) при достаточно больших положительных и отрицательных $m$, очевидно, отрицательна. Однако это не будет приводить к трудностям, если среди возможных значений $m$ есть два такие $m_{1}$ и $m_{2}$, для которых $\lambda_{m}=0$ и которые отличаются друг от друга на целое число. Тогда ряд последовательных чисел $m$, отличающихся друг от дру́га на единицу, может обрываться на обоих концах без того, чтобы величина $\left|\lambda_{m}\right|^{2}$ становилась отрицательной. На верхнем пределе ( $m=m_{1}$ ) уравнение (24.8) будет удовлетворяться, если $L_{m_{1}+1, m_{1}}=0$ (а не за счет наличия собственных значений $M_{z}$, больших $m_{1}$ ). Равным образом выполнение равенства (24.8) на нижнем пределе ( $m=m_{2}$ ) будет обеспечено условием $L_{m_{2}+1, m_{2}}=0$ (а не наличием собственных значений $M_{z}$, меньших $m_{2}+1$ ). Очевидно, в интервале значений $m$ от $m_{2}+1$ до $m_{1}$ включительно величина $\left|\lambda_{m}\right|^{2}$ будет неотрицательна.

Таким образом, мы получаем конечную последовательность собственных значений оператора $M_{z}$, отличающихся друг от друга на единицу и лежащих в интервале от $m_{2}+1$ до $m_{1}$; при этом числа $m_{1}$ и $m_{2}$ представляют собой соответственно больший и меньший корни квадратного уравнения $C-m(m+1)=0$, т. е.
\[
m_{1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+4 C)^{1 / 2}, \quad m_{2}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(1+4 C)^{1 / 2} .
\]

Обозначим теперь $m_{1}$ через $j$. Тогда $C=j(j+1)$ и собственные значения $M_{z}$ изменяются в пределах от – $j$ до $j$, отличаясь друг от друга на единицу. Это означает, что $2 j$ есть целое положительное число или нуль, т. е. $j$ может принимать только значения $0,1 / 2,1,3 / 2 \ldots$

Собственные значения $\boldsymbol{M}^{2}$. Матрица $\boldsymbol{L}$. Теперь в новых обозначениях равенство (24.11) принимает вид
\[
\left|\lambda_{m}\right|^{2}=j(j+1)-m(m+1)=(j-m)(j+m+1) .
\]

Вычисляя диагональный элемент матрицы (24.4), находим собственные значения $\mathbf{M}^{2}$ :
\[
\begin{aligned}
\left(\mathbf{M}^{2}\right)_{m j, m j} & =\left\{m^{2}+\frac{1}{2}[j(j+1)-(m-1) m+j(j+1)-\right. \\
& -m(m+1)]\} \hbar^{2}=j(j+1) \hbar^{2} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, имеется бесконечное число представлений для матриц $\mathbf{M}^{2}, M_{z}$ и $L$, каждое из которых характеризуется целым или полуцелым значением $j$ и содержит $2 j+1$ строк и столбцов. Как и следовало ожидать, при данном $j$ все собственные значения $\mathbf{M}^{2}$ одинаковы. Все эти представления можно объединить в одно представление бесконечного ранга, хотя часто удобнее рассматривать их отдельно.

Равенство (24.12) не определяет фазы матричных элементов $L$, которая остается произвольной. Это соответствует произволу в выборе фазы нормированных собственных функций оператора момента количества движения и не имеет физического значения. Поэтому мы положим все фазы равными нулю, в связи с чем для отличных от нуля матричных элементов $L$ получим
\[
L_{(m+1) j, m j}=[(j-m)(j+m+1)]^{1 / 2} \hbar .
\]

При $j=0$ полный момент $\mathbf{M}^{2}$ и все компоненты $\mathbf{M}$ представляются нулевыми матрицами первого ранга: (0). Для следующих трех возможных значений $j$ матрицы, полученные с помощью (24.6), (24.13) и (24.14), имеют вид
\[
\begin{array}{l}
j=\frac{1}{2}, \quad M_{x}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad M_{y}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right) \text {, } \\
M_{z}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad \mathbf{M}^{2}=\frac{3}{4} \hbar^{2}\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \\
j=1, \quad M_{x}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right), \quad M_{y}=\frac{\hbar}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rrr}
0 & -i & 0 \\
i & 0 & -i \\
0 & i & 0
\end{array}\right) \text {, } \\
M_{z}=\hbar\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right), \quad \mathbf{M}^{2}=2 \hbar^{2}\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {, } \\
j=\frac{3}{2}, \quad M_{x}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{cccc}
0 & \sqrt{3} & 0 & 0 \\
\sqrt{3} & 0 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 0 & \sqrt{3} \\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0
\end{array}\right) \text {, } \\
M_{y}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{cccc}
0 & -\sqrt{3} i & 0 & 0 \\
\sqrt{3} i & 0 & -2 i & 0 \\
0 & 2 i & 0 & -\sqrt{3} i \\
0 & 0 & \sqrt{3} i & 0
\end{array}\right) \text {, } \\
M_{z}=\frac{1}{2} \hbar\left(\begin{array}{rrrr}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -3
\end{array}\right), \quad \mathbf{M}^{2}=\frac{15}{4} \hbar^{2}\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Связь со сферическими функциями. Сравнение всего изложенного с результатами § 14 указывает на тесную связь между матричными представлениями оператора момента количества движения при целом $j=l$ и сферическими функциями $Y_{l m}(\theta, \varphi)$, определяемыми уравнением (14.6). Сопоставление равенств (14.22) и (14.23) с выражениями для матриц $\mathbf{M}^{2}$ и $M_{z}$ приводит к выводу, что введенные в § 14 операторы момента количества движения дают просто другое представление матриц, рассмотренных в настоящем параграфе. Равным образом это относится и к матрице $L$, что можно показать, вычисляя результат действия $L$ на сферические функции. В соответствии с (14.20) и (24.3) в полярных координатах оператор $L$ имеет вид
\[
L=\hbar e^{i \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}+i \operatorname{ctg} \theta \frac{\partial}{\partial \varphi}\right) .
\]

Соответственно, пользуясь рассмотренными в § 14 свойствами сферических функций, можно показать, что
\[
L Y_{l m}(\theta, \varphi)= \pm[(l-m)(l+m+1)]^{1 / 2} \hbar Y_{l, m+1}(\theta, \varphi),
\]

где знак минус берется для $m \geqslant 0$, а знак плюс – для $m<0$ (вычисления носят несколько различный характер для разных групп значений $m$ ). Таким образом, если по аналогии с (22.5) ввести матрицу оператора $L$, то мы получим матрицу (24.14) с целыми $j$ (с точностью, может быть, до изменения нескольких знаков, которые все равно произвольны).

Равным образом по аналогии с (22.7) и (22.8) можно показать, что функция $Y_{I m}(\theta, \varphi)$ играет роль унитарной матрицы, осуществляющей преобразование от представления, в котором строки и столбцы нумеруются угловыми переменными $\theta, \varphi$, к другому представлению, в котором они нумеруются квантовыми числами $l, m$. С первым представлением мы, не оговаривая этого явно, имели дело в § 14 ; матрица $L$ при этом является результатом действия оператора (24.16) на соответствующим образом нормированную $\delta$-функцию от углов. Во втором представлении, исследованном в настоящем параграфе, матрица $L$ определяется (с точностью до некоторых знаков) формулой (24.14).

Спиновый момент количества движения. Из результатов, полученных в настоящем параграфе и в § 14, следует, что если все представления с целыми $j$ объединить в единое представление бесконечного ранга, то компоненты м с помощью (24.1) можно выразить через матрицы $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$, подчиняющиеся правилам перестановки (23.16). Для матриц с полуцелыми значениями $j$ это уже неверно, так как, хотя они и удовлетворяют соотношениям (24.2), более жесткие условия (24.1) и (23.16) для них не выполняют-

Полученный результат совпадает с правилом сложения моментов количества движения в старой квантовой теории: длина вектора, равного сумме двух векторов момента количества движения, может скачками изменяться на единицу, уменьшаясь при этом от суммы длин двух векторов (когда они параллельны) до разности этих длин (когда векторы антипараллельны).

С помощью матричных методов можно найти унитарную матрицу, осуществляющую преобразование от представления $m_{1}, m_{2}$ к представлению $j, m$ при фиксированных $j_{1}$ и $j_{2}$. Поскольку явное ее выражение имеет довольно сложный вид, оно здесь не приводится