спином и статистикой (спин $1 / 2 \hbar$, статистика Ферми-Дирака), но без электрического заряда. Ядро можно характеризовать его зарядом $Z e$, где $Z$ – целое число и е-положительный заряд протона, и массой $M$ (за единицу принимается $1 / 16$ часть массы $0^{16}$ – изотопа кислорода с массовым числом 16).

Масса $M$ всегда близка к некоторому целому числу $A$, называемому массовым числом. Число нейтронов в ядре равно $A-Z$. Таким образом, дейтрон $\mathrm{H}^{2}$ (ядро тяжелого водорода) состоит из одного протона и одного нейтрона, $\alpha$-частица $\mathrm{He}^{4}$ (ядро атома гелия) – из двух протонов и двух нейтронов, а ядро атома золота Аu ${ }^{197}$ – из 79 протонов и 118 нейтронов.

Согласно теории относительности, если составить разность между суммой масс $Z$ протонов и $A-Z$ нейтронов и массой $M$ того же ядра и умножить ее на квадрат скорости света в пустоте, то получится энергия, выделяющаяся при объединении отдельных нуклонов в ядро. Она называется энергией связи данного ядра; ее удобно измерять в миллионах электрон-вольт (Мэв).
$P a d u у с$ ядра $R$ представляет довольно хорошо определенную величину. Его можно измерить несколькими способами, используя, например, данные о рассеянии нейтронов, протонов и электронов большой энергии. Экспериментально найдено, что энергия связи и объем, отнесенные к одному нуклону, примерно постоянны для большинства элементов периодической системы. Первая из этих величин приблизительно равна 8 Мэв, а вторая обычно записывается в виде $R=r_{0} A^{1 / 3}$, где $r_{0}$ колеблется от 1,2 до $1,4 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$. Приближенное постоянство энергии связи и объема на один нуклон называют свойством ядерного насыщения.

Взаимодействие, между двумя нуклонами.
Наиболее важную проблему физики ядра составляет определение параметров, характеризующих энергию взаимодействия между двумя нуклонами. Может оказаться, что, коль скоро эти параметры будут найдены, задача об определении структуры ядер, более тяжелых, чем дейтрон, сведется только к чрезвычайно сложному упражнению по квантовой механике. Это было бы аналогично случаю, с которым приходится иметь дело при изучении строения атомов и молекул, где известно, что взаимодействие определяется в основном законом Кулона. С другой стороны, может оказаться также, что задание одного только закона взаимодействия двух нуклонов принципиально недостаточно для определения структуры тяжелых ядер. Так будет обстоять дело, если при сближении трех, четырех и более нуклонов будут возникать добавочные (не парные) взаимодействия, особенности которых нельзя найти, изучая систему двух нуклонов. Вопрос о том, существуют ли заметные взаимодействия такого типа, пока остается открытым, и мы здесь не будем его больше обсуждать.

Остальная часть этой главы будет посвящена рассмотрению системы двух нуклонов. Мы будем предполагать, что основную роль при этом играют короткодействующие силы. Разумно предположить, что радиус действия их значительно меньше размеров тяжелых ядер; вычисления типа приводимых ниже показывают, что по порядку величины он составляет $2 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$. Кроме того, мы допустим пока, что потенциальная энергия $V(r)$ зависит только от расстояния $r$ между нуклонами. Таким образом, прежде всего нужно решить уравнение Шредингера для относительного движения двух частиц с приведенной массой $\mu$ и потенциальной энергией $V(r)$. Поскольку массы нейтрона и протона почти одинаковы, приведенная масса $\mu$ очень близка к половине массы нуклона.

Система нейтрон – протон. Предположим для простоты, что $V(r)$ имеет вид прямоугольной потенциальной ямы (см. фиг. 13): $V(r)=-V_{0}$ при $r<a$ и $V(r)=0$ при $r>a$. В § 15 было показано, что в области с таким потенциалом частица с массой $\mu$ не имеет связанных состояний, если только не выполняется условие $V_{0} a^{2}>$ $>\pi^{2} \hbar^{2} / 8 \mu$. Для системы из нейтрона и протона величина $\pi^{2} \hbar^{2} / 8 \mu$ равна $1,01 \cdot 10^{-24}$ Мэв $\cdot$ см $^{2}$. Если положить $a=2,00 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$, то для того, чтобы было возможно существование дейтрона, константа $V_{0}$ должна превышать 25,2 Мэв. Поскольку дейтрон имеет лишь одно связанное состояние, разумно допустить, что оно соответствует случаю $l=0$. Тогда из решения задачи 7 гл. IV следует, что экспериментально измеряемая энергия связи, равная 2,23 Мэв, получается при $V_{0}=36,1$ Мэв. Формула (19.28) дает теперь эффективное сечение рассеяния нейтронов очень низкой энергии протонами. Пренебрегая энергией $E$ по сравнению с $V_{0}$, получаем $\sigma=$ $=3,5 \cdot 10^{-24}$ см $^{2}$. Опыт дает для нейтронов с энергией в несколько электрон-вольт $\sigma \approx 20,4 \cdot 10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}$. Названная энергия достаточно мала, чтобы ею можно было пренебречь по сравнению с $V_{0}$, и в то же время достаточно велика, чтобы энергия связи протона в молекуле водорода не играла роли. Объяснение указанного расхождения, основанное на учете зависимости сил взаимодействия нейтрон – протон от спинового состояния, было предложено в 1935 г. Е. Вигнером (не опубликовано). Известно, что спин дейтрона равен $\hbar$, так что его спиновое состояние представляет триплет. Однако, как указывалось в § 34 в связи с обменными столкновениями электронов с атомами водорода, в $75 \%$ всех столкновений нейтронов с протонами состояния будут триплетными, а в $25 \%$ – синглетными. Противоречие будет устранено, если эффективное сечение рассеяния в синглетном состоянии принять равным $70,8 \cdot 10^{-24}$ cм $^{2}$.

Если допустить, что в синглетном состоянии параметр взаимодействия $a$ также равен $2,00 \cdot 10^{-\mathbf{1 3}} \mathrm{cм}$, то, как следует из формулы (19.28), такое сечение будет получаться при $V_{0}$, равном 23,6

или 27,0 Мәв. Очевидно, мы имеем здесь резонансное рассеяние, рассматривавшееся в § 19, и два эти потенциала соответствуют виртуальному и связанному синглетным состояниям. Вопрос о том, какой из потенциалов правилен, нельзя решить исходя из зависимости эффективного сечения от энергии падающих нейтронов. Действительно, в § 19 показано, что как в том, так и в другом случае при $l=0$ эффективное сечение $\sigma$ монотонно убывает с ростом $E$ и различие в поведении обеих функций недостаточно сильно. Из других соображений вытекает, что синглетное состояние является виртуальным, так что глубина, соответствующая данной ширине, составляет 23,6 Mэв ${ }^{1}$.

Потенциал произвольной формы.
Потенциальная энергия взаимодействия между двумя нуклонами характеризуется малым радиусом действия $a$ и большой величиной $V_{0}$. Здесь величины $a$ и $V_{0}$ относятся не только к прямоугольному потенциальному барьеру, но и вообще определяют расстояние, в пределах которого $V(r)$ заметно отличается от нуля, и абсолютную величину $V(r)$ в этой области. Для столкновений с не слишком большой энергией (вплоть до нескольких $M э$ ) величина $k a$ достаточно мала по сравнению с единицей $\left[k=(2 \mu E)^{\frac{1}{2} / \hbar}, E\right.$ – кинетическая энергия в системе центра инерции]. Если, например, $a=2 \cdot 10^{-13} \mathrm{~cm}$, то $k a$ равно единице, когда в лабораторной системе энергия падающего нуклона составляет около 20 Мэв. Поэтому для не слишком больших энергий нужно принимать во внимание только парциальную волну с $l=0$. Далее, как $E$, так и энергия связи дейтрона $\varepsilon$ достаточно малы по сравнению с $V_{0}$. Отсюда следует, что в области действия ядерных сил вид радиальной волновой функции при $l=0$ лишь в незначительной степени зависит от энергии, тогда как вне этой области волновая функция имеет простой асимптотический вид. Это позволяет думать, что как энергия связи, так и характер рассеяния при малых энергиях в таком поле зависят главным образом от его \”силы\”, приближенно характеризуемой величиной $V_{0} a^{2}$, и от расстояния до тех точек, где волновая функция принимает асимптотический вид (это расстояние приближенно характеризуется параметром $a$ ).

Оказывается, что действительно, коль скоро преобладают силы притяжения и они достаточно велики, любой потенциал с малым радиусом действия можно охарактеризовать двумя параметрами. В качестве последних можно выбрать „силу\” потенциала и радиус действия; совместно они определяют энергию связанного состояния $-\varepsilon$ и зависимость фазы рассеяния от энергии при не слишком больших значениях $E^{1}$. Таким образом, можно ожидать, что в опытах с низкими энергиями будут определяться только эти два параметра, но не форма потенциала $V(r)$; экспериментальные результаты подтверждают это предположение.

Соотношения для фаз. Мы будем рассматривать исключительно парциальную волну с $l=0$. Обозначим через $u(r)$ произведение $r$ на радиальную волновую функцию. Нормировка $u$ выбрана таким образом, что вне области действия ядерных сил асимптотическое выражение этой функции имеет вид
\[
u(r) \rightarrow \psi(r),
\]

где
\[
\psi(r) \equiv \frac{\sin (k r+\delta)}{\sin \delta}
\]

при всех $r$. Фаза $\delta$ согласуется с определением (19.8), и полное эффективное сечение, как и в случае (19.13), равно
\[
\sigma=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sin ^{2} \delta .
\]

Волновые уравнения для некоторых значений энергии $E_{1}$ и $E_{2}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} u_{1}}{d r^{2}}+k_{1}^{2} u_{1}-U u_{1}=0 \\
\frac{d^{2} u_{2}}{d r^{2}}+k_{2}^{2} u_{2}-U u_{2}=0
\end{array}
\]

где $U(r)=2 \mu V(r) / \hbar^{2}$. Умножим первое из уравнений (41.4) на $u_{2}$, второе – на $u_{1}$ и разность между полученными выражениями проинтегрируем по $r$ от нуля до значения $r=R$, несколько превышающего радиус действия потенциала:
\[
\left.\left(u_{2} \frac{d u_{1}}{d r}-u_{1} \frac{d u_{2}}{d r}\right)\right|_{0} ^{R}=\left(k_{2}^{2}-k_{1}^{2}\right) \int_{0}^{R} u_{1} u_{2} d r .
\]

Уравнения, которым удовлетворяют функции $\psi$, совпадают с (41.4) при $U=0$. Поэтому уравнение (41.5) справедливо также и для функций $\psi$ :
\[
\left.\left(\psi_{2} \frac{d \psi_{1}}{d r}-\psi_{1} \frac{d \psi_{2}}{d r}\right)\right|_{0} ^{R}=\left(k_{2}^{2}-k_{1}^{2}\right) \int_{0}^{R} \psi_{1} \psi_{2} d r .
\]

все функции $\psi$ очень близки к единице, так как там произведения $k r$ и $\beta r$ малы по сравнению с единицей; кроме того, все функции $u$ почти одинаковы, так как $U$ много больше, чем $k^{2}$ или $\beta^{2}$. Таким образом, $\varrho$ слабо зависит от своих аргументов, и при вычислении ее можно брать любые удобные значения энергии. Соответственно, в качестве приближенного выражения для $\varrho$ возьмем
\[
r_{0} \equiv \varrho(0,0)=2 \int_{0}^{\infty}\left(\psi_{0}^{2}-u_{0}^{2}\right) d r .
\]

Эта величина называется эффективным радиусом действия. Эффективный радиус действия можно было бы определить и иначе, полагая, например,
\[
\varrho(-\varepsilon,-\varepsilon)=2 \int_{0}^{\infty}\left(\psi_{g}^{2}-u_{g}^{2}\right) d r .
\]

В задаче 17 показано, что эффективные радиусы действия, вычисленные для типичного случая по формулам (41.11) и (41.12), совпадают друг с другом с точностью до нескольких процентов.

В указанном приближении фаза, определяемая равенством (41.9), составляет
\[
k \operatorname{ctg} \delta+\beta \approx \frac{1}{2} r_{0}\left(k^{2}+\beta^{2}\right)
\]
(индекс 2 опущен). С другой стороны, из (41.10) находим
\[
k \operatorname{ctg} \delta+\frac{1}{a_{t}} \approx \frac{1}{2} r_{0} k^{2} .
\]

Сравнивая (41.13) и (41.14), получаем следующую связь между $a_{t}$, $\beta$ и триплетным эффективным радиусом действия $r_{0}$ :
\[
\frac{1}{a_{t}} \approx \beta-\frac{1}{2} r_{0} \beta^{2} .
\]

Если положить $1 / \beta=4,28 \cdot 10^{-13} c м$, что соответствует значению $\varepsilon=2,23$ Мэв и $a_{t}=5,34 \cdot 10^{-13} c \mathcal{c}$, то формула (41.15) дает $r_{0} \approx$ $\approx 1,70 \cdot 10^{-13} \mathrm{cм}$.

Любую из величин $\beta$ и $a_{t}$ можно считать параметром, характеризующим силу потенциала, а $r_{0}$ – параметром, определяющим радиус действия; однако $\beta$ и $a_{t}$ достаточно отличаются друг от друга, так что определение любых двух из трех данных величин позволяет определить и третью. Таким образом, согласно этой теории эффективного радиуса, все свойства потенциала, характеризующие энергию связи нуклонов и рассеяние при не слишком больших энергиях, определяются только двумя параметрами. Опытные данные показывают, что это действительно имеет место, и, таким образом, подтверждают лежащее в основе всей теории предположение о сильном взаимодействии на малых расстояниях.

обменные операторы.
Отмеченную выше спиновую зависимость сил взаимодействия между нейтроном и протоном можно выразить с помощью оператора спинового обмена $1 / \varepsilon\left(1+\sigma_{N} \cdot \sigma_{P}\right)$, где $\sigma_{N}$ и $\sigma_{p}$ – спиновые матрицы Паули (33.3) соответственно для нейтрона и протона. Как показано в задаче 18, подобный оператор умножает триплетную (симметричную) спиновую функцию на +1 , а синглетную (антисимметричную) на – 1 . Из предыдущего следует, что коэффициент при обменной части взаимодействия между нейтроном и протоном равен примерно одной пятой коэффициента при части, не связанной с обменом спинами.

Оператор пространственного обмена ${ }^{1)}$ при четном $l$ умножает волновую функцию на +1 , а при нечетном $l$ на -1 ; он не влияет на полученные до сих пор результаты, так как все они относились к случаю $l=0$. В $§ 19$ было показано, что при более высокой энергии рассеиваемых частиц заметную роль может играть парциальная волна с $l=1$. Если фаза $\delta_{1}$ мала, а фазами более высокого порядка можно пренебречь, то формулу (19.32) приближенно можно представить в виде
\[
\sigma(\theta) \approx \frac{1}{k^{2}}\left(\sin ^{2} \delta_{0}+3 \delta_{1} \sin 2 \delta_{0} \cos \theta\right) .
\]

Для достаточно высоких значений энергии, когда фаза $\delta_{1}$ уже заметна, величина $\delta_{0}$ вероятнее всего лежит в пределах от 0 до $90^{\circ}$, а знак части, характеризующей угловую асимметрию, определяется знаком $\delta_{1}$.

Если взаимодействие в основном не связано с пространственным обменом, то при $l=1$ потенциал будет отрицательным (притягивающим), и фаза $\delta_{1}$ будет положительна. В этом случае нейтроны, падающие на протоны, будут рассеиваться в основном вперед как в системе центра инерции, так и в лабораторной системе. Если, наоборот, главную роль во взаимодействии играет оператор пространственного обмена, то при $l=1$ потенциал будет отталкивающим, а фаза $\delta_{1}$ будет отрицательна. При этом в системе центра инерции нейтроны будут рассеиваться главным образом назад, а в лабораторной системе – под прямым углом к направлению падения; протоны отдачи в обеих системах координат будут двигаться в основном в направлении первичного пучка. Наглядно этот процесс можно рассматривать как рассеяние за счет обычных сил, но сопровождаемое переходом нейтрона в протон и наоборот.

Опыты по рассеянию нейтронов больших энергий показывают, что в системе центра инерции дифференциальное эффективное сечение почти симметрично относительно направления $90^{\circ}$.