Необходимость найти волновое уравнение.
Чтобы выйти за рамки простейшей задачи о гармонических волнах, крайне желательно иметь уравнение, решениями которого будут как гармонические, так и более сложные волны. Для большей ясности приведем пример из более знакомой отрасли физики. В случае трехмерных звуковых волн в газе решение задачи о рассеянии звука на твердом шаре можно получить путем наложения плоских гармонических волн, распространяющихся в различных направлениях. Однако значительно проще непосредственно решать дифференциальное уравнение для звуковых волн в сферических координатах. Если же температура газа изменяется от точки к точке, то в общем случае без такого дифференциального уравнения совсем невозможно обойтись. Основное уравнение для звуковых волн можно найти с помощью непосредственного рассмотрения механических свойств газа. Хотя последнее и не относится к уравнению, решениями которого являются волновые функции §5, найти такое уравнение в данном случае столь же необходимо. Это обстоятельство станет еще более очевидным, если с помощью волновой функции нужно будет описывать движение частицы под действием внешних сил. Ситуация в этом случае оказывается аналогичной распространению звуковых волн в неоднородном газе. Поэтому перейдем к нахождению уравнения для волновой функции и, найдя его, будем считать, что именно оно [а не частная гармоническая форма (6.3)] представляет собой фундаментальный закон природы.

Искомое уравнение должно обладать двумя основными свойствами. Во-первых, оно должно быть линейным, чтобы его решения удовлетворяли принципу наложения и можно было объяснить интерференцию (в трехмерном случае), а также образование волновых пакетов. Во-вторых, коэффициенты уравнения должны содержать только такие константы, как $\hbar$, масса и заряд частицы,

и не должны содержать специфических параметров, характеризующих тот или иной частный вид движения (т. е. импульса, энергии, волнового числа). Дело в том, что должно быть возможно наложение решений, относящихся к различным значениям этих параметров, а результат такой суперпозиции не может удовлетворять уравнениям, в которые они явно входят. Поскольку проще всего иметь дело с дифференциальными уравнениями, целесообразно прежде всего попытаться найти именно уравнения такого типа. Мы увидим, что это действительно оказывается возможным, причем будут соблюдены все сформулированные выше требования.

Имея в виду все изложенные соображения, рассмотрим прежде всего наиболее известное одномерное волновое уравнение, описывающее поперечные колебания, струны или плоские звуковые волны в газе :
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \boldsymbol{t}^{2}}=\gamma \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}
\]

здесь $\gamma$ — квадрат скорости волны. Подстановка гармонических функций (6.3) в (6.4) показывает, что все они (а следовательно, и все их комбинации) удовлетворяют данному дифференциальному уравнению в том и только в том случае, когда
\[
\gamma=\frac{\omega^{2}}{k^{2}}=\frac{E^{2}}{p^{2}}=\frac{p^{2}}{4 m^{2}},
\]

где $m$ — масса частицы, движение которой мы пытаемся описывать. Но из (6.5) следует, что коэффициент $\gamma$, фигурирующий в (6.4), зависит от параметров движения ( $E$ или $p$ ), вследствие чего это уравнение оказывается непригодным.

Одномерное волновое уравнение.
Для дальнейших попыток найти волновое уравнение полезно заметить, что дифференцирование волновых функций типа (6.3) по $x$ приводит к умножению функции на $k$ (с возможной заменой синуса на косинус и наоборот), тогда как дифференцирование по $t$ сводится к умножению на $\omega$ : Поэтому соотношение $E=p^{2} / 2 m$, или эквивалентное ему равенство $\omega=\hbar k^{2} / 2 m$, наводит на мысль, что искомое дифференциальное уравнение содержит первую производную по $t$ и вторую — по $x$ :
\[
\frac{\partial \psi}{\partial t}=\gamma \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

Подстановка показывает, что первые две волновые функции (6.3) не удовлетворяют уравнению (6:6), тогда как любая из других функций (но не обе одновременно) может ему удовлетворять, если только выбрать соответствующим образом постоянную $\gamma$. Если, в частности, положить
\[
\gamma=\frac{i \omega}{k^{2}}=\frac{i \hbar E}{p^{2}}=\frac{i \hbar}{2 m},
\]

то уравнению (6.6) будет удовлетворять третья из волновых функций (6.3). При этом, согласно (6.7), $\gamma$ зависит только от постоянных $\hbar$ и $m$.

Таким образом, мыполучаем одномерное волновое уравнение Шредингера ${ }^{1}$ для свободной частицы с массой $m$. Согласно (6.6) и (6.7), его можно переписать в виде
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} .
\]

Данная форма записи уравнения (6.8) характерна в том отношении, что при подстановке решений в виде гармонической функции [третьей из функций (6.3)] левая часть становится равной $E \psi$, а правая — равной $\left(p^{2} / 2 m\right) \psi$. То, что решение вида $e^{i}(h x-\omega t)$ является комплексным, сам по себе еще нельзя считать недостатком формализма. Нужно лишь потребовать, чтобы все результаты возможных физических наблюдений выражались с помощью вещественных чисел; это условие поможет нам более точно выяснить смысл функции $\varphi$.

Обобщение на случай трех измерений.
Проведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай трех измерений. Равенство (6.1) естественно переписать в виде
\[
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}, \quad k=|\mathbf{k}|=\frac{2 \pi}{\lambda}
\]

где $\mathbf{k}$ есть волновой вектор. Аналогично третья волновая функция (6.3) теперь запишется в виде
\[
e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)},
\]

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор частицы. Тогда, очевидным образом обобщая соображения, приведшие к уравнению (6.8), найдем трехмерное уравнение Шредингера для свободной частицы, характеризуемой волновой функцией $\psi(\mathbf{r}, t)$ :
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi
\]

Сравнение формул (6.9) — (6.11) с классическим выражением для энергии
\[
E=\frac{p^{2}}{2 m}
\]

наводит на мысль, что по крайней мере для свободной частицы энергия и импульс могут быть представлены дифференциальными

операторами
\[
E \rightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \mathrm{p} \rightarrow-i \hbar \text { grad, }
\]

действующими на волновую функцию $\psi$. В § 7, 8, 10 и 11 будет показано, что это представление справедливо также и для несвободной частицы.

Учет действия сил.
Следующая задача состоит в обобщении волнового уравнения для свободной частицы (6.11) с целью учета возможного действия внешних сил. Предположим пока, что природа этих сил (электрических, гравитационных, а может быть, и ядерных) такова, что все они могут быть объединены в единую силу $\mathbf{F}$, выражающуюся через потенциальную энергию $V$ :
\[
\mathbf{F}(\mathbf{r}, t)=-\operatorname{grad} V(\mathbf{r}, t) .
\]

Как и при выводе уравнения (6.11), желательно исходить из классического соотношения между энергией и импульсом, но теперь уже с учетом внешних сил. Если последние имеют потенциал, то это соотношение запишется в простом виде :
\[
E=\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}+V(\mathbf{r}, t)
\]

здесь $E$ — полная энергия, а первый и второй члены в правой части (6.15) представляют собой соответственно кинетическую и потенциальную энергию частицы.

Поскольку $V$ не зависит от р или $E$, соотношения (6.15) и (6.13) наводят на мысль о следующем обобщении уравнения (6.11) :
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi+V(\mathbf{r}, t) \psi .
\]

Это и есть волновое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы с массой $m$ в силовом поле (6.14) ${ }^{1}$. Наш вывод не может претендовать на такую же степень убедительности, как в случае уравнения (6.11); однако рассуждения следующего параграфа должны сделать его более правдоподобным. Разумеется, окончательным подтверждением справедливости и полезности волнового уравнения (6.16) будет совпадение его следствий с опытом.