Необходимость найти волновое уравнение.
Чтобы выйти за рамки простейшей задачи о гармонических волнах, крайне желательно иметь уравнение, решениями которого будут как гармонические, так и более сложные волны. Для большей ясности приведем пример из более знакомой отрасли физики. В случае трехмерных звуковых волн в газе решение задачи о рассеянии звука на твердом шаре можно получить путем наложения плоских гармонических волн, распространяющихся в различных направлениях. Однако значительно проще непосредственно решать дифференциальное уравнение для звуковых волн в сферических координатах. Если же температура газа изменяется от точки к точке, то в общем случае без такого дифференциального уравнения совсем невозможно обойтись. Основное уравнение для звуковых волн можно найти с помощью непосредственного рассмотрения механических свойств газа. Хотя последнее и не относится к уравнению, решениями которого являются волновые функции §5, найти такое уравнение в данном случае столь же необходимо. Это обстоятельство станет еще более очевидным, если с помощью волновой функции нужно будет описывать движение частицы под действием внешних сил. Ситуация в этом случае оказывается аналогичной распространению звуковых волн в неоднородном газе. Поэтому перейдем к нахождению уравнения для волновой функции и, найдя его, будем считать, что именно оно [а не частная гармоническая форма (6.3)] представляет собой фундаментальный закон природы.

Искомое уравнение должно обладать двумя основными свойствами. Во-первых, оно должно быть линейным, чтобы его решения удовлетворяли принципу наложения и можно было объяснить интерференцию (в трехмерном случае), а также образование волновых пакетов. Во-вторых, коэффициенты уравнения должны содержать только такие константы, как $\hslash$, масса и заряд частицы,

и не должны содержать специфических параметров, характеризующих тот или иной частный вид движения (т. е. импульса, энергии, волнового числа). Дело в том, что должно быть возможно наложение решений, относящихся к различным значениям этих параметров, а результат такой суперпозиции не может удовлетворять уравнениям, в которые они явно входят. Поскольку проще всего иметь дело с дифференциальными уравнениями, целесообразно прежде всего попытаться найти именно уравнения такого типа. Мы увидим, что это действительно оказывается возможным, причем будут соблюдены все сформулированные выше требования.

Имея в виду все изложенные соображения, рассмотрим прежде всего наиболее известное одномерное волновое уравнение, описывающее поперечные колебания, струны или плоские звуковые волны в газе :
$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\mathit{t}}^2}=\gamma \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}$$

здесь $\gamma$ — квадрат скорости волны. Подстановка гармонических функций (6.3) в (6.4) показывает, что все они (а следовательно, и все их комбинации) удовлетворяют данному дифференциальному уравнению в том и только в том случае, когда
$$\gamma =\frac{{\omega }^2}{k^2}=\frac{E^2}{p^2}=\frac{p^2}{4m^2},$$

где $m$ — масса частицы, движение которой мы пытаемся описывать. Но из (6.5) следует, что коэффициент $\gamma$, фигурирующий в (6.4), зависит от параметров движения ( $E$ или $p$ ), вследствие чего это уравнение оказывается непригодным.

Одномерное волновое уравнение.
Для дальнейших попыток найти волновое уравнение полезно заметить, что дифференцирование волновых функций типа (6.3) по $x$ приводит к умножению функции на $k$ (с возможной заменой синуса на косинус и наоборот), тогда как дифференцирование по $t$ сводится к умножению на $\omega$ : Поэтому соотношение $E=p^2/2m$, или эквивалентное ему равенство $\omega =\hslash k^2/2m$, наводит на мысль, что искомое дифференциальное уравнение содержит первую производную по $t$ и вторую — по $x$ :
$$\frac{\partial \psi }{\partial t}=\gamma \frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$$

Подстановка показывает, что первые две волновые функции (6.3) не удовлетворяют уравнению (6:6), тогда как любая из других функций (но не обе одновременно) может ему удовлетворять, если только выбрать соответствующим образом постоянную $\gamma$. Если, в частности, положить
$$\gamma =\frac{i\omega }{k^2}=\frac{i\hslash E}{p^2}=\frac{i\hslash }{2m},$$

то уравнению (6.6) будет удовлетворять третья из волновых функций (6.3). При этом, согласно (6.7), $\gamma$ зависит только от постоянных $\hslash$ и $m$.

Таким образом, мыполучаем одномерное волновое уравнение Шредингера ${}^1$ для свободной частицы с массой $m$. Согласно (6.6) и (6.7), его можно переписать в виде
$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}.$$

Данная форма записи уравнения (6.8) характерна в том отношении, что при подстановке решений в виде гармонической функции [третьей из функций (6.3)] левая часть становится равной $E\psi$, а правая — равной $\left(p^2/2m\right)\psi$. То, что решение вида $e^i(hx-\omega t)$ является комплексным, сам по себе еще нельзя считать недостатком формализма. Нужно лишь потребовать, чтобы все результаты возможных физических наблюдений выражались с помощью вещественных чисел; это условие поможет нам более точно выяснить смысл функции $\phi$.

Обобщение на случай трех измерений.
Проведенные выше рассуждения легко обобщаются на случай трех измерений. Равенство (6.1) естественно переписать в виде
$$\mathbf{p}=\hslash \mathbf{k},k=|\mathbf{k}|=\frac{2\pi }{\lambda }$$

где $\mathbf{k}$ есть волновой вектор. Аналогично третья волновая функция (6.3) теперь запишется в виде
$$e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)},$$

где $\mathbf{r}$ — радиус-вектор частицы. Тогда, очевидным образом обобщая соображения, приведшие к уравнению (6.8), найдем трехмерное уравнение Шредингера для свободной частицы, характеризуемой волновой функцией $\psi (\mathbf{r},t)$ :
$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2\psi$$

Сравнение формул (6.9) — (6.11) с классическим выражением для энергии
$$E=\frac{p^2}{2m}$$

наводит на мысль, что по крайней мере для свободной частицы энергия и импульс могут быть представлены дифференциальными

операторами
$$E\to i\hslash \frac{\partial }{\partial t},\mathrm{p}\to -i\hslash \text{ grad, }$$

действующими на волновую функцию $\psi$. В § 7, 8, 10 и 11 будет показано, что это представление справедливо также и для несвободной частицы.

Учет действия сил.
Следующая задача состоит в обобщении волнового уравнения для свободной частицы (6.11) с целью учета возможного действия внешних сил. Предположим пока, что природа этих сил (электрических, гравитационных, а может быть, и ядерных) такова, что все они могут быть объединены в единую силу $\mathbf{F}$, выражающуюся через потенциальную энергию $V$ :
$$\mathbf{F}(\mathbf{r},t)=-\mathrm{grad}V(\mathbf{r},t).$$

Как и при выводе уравнения (6.11), желательно исходить из классического соотношения между энергией и импульсом, но теперь уже с учетом внешних сил. Если последние имеют потенциал, то это соотношение запишется в простом виде :
$$E=\frac{{\mathbf{p}}^2}{2m}+V(\mathbf{r},t)$$

здесь $E$ — полная энергия, а первый и второй члены в правой части (6.15) представляют собой соответственно кинетическую и потенциальную энергию частицы.

Поскольку $V$ не зависит от р или $E$, соотношения (6.15) и (6.13) наводят на мысль о следующем обобщении уравнения (6.11) :
$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}abl{a}^2\psi +V(\mathbf{r},t)\psi .$$

Это и есть волновое уравнение Шредингера, описывающее движение частицы с массой $m$ в силовом поле (6.14) ${}^1$. Наш вывод не может претендовать на такую же степень убедительности, как в случае уравнения (6.11); однако рассуждения следующего параграфа должны сделать его более правдоподобным. Разумеется, окончательным подтверждением справедливости и полезности волнового уравнения (6.16) будет совпадение его следствий с опытом.