Допустим теперь, что волновая функция $\psi(\mathbf{r}, t)$, удовлетворяющая уравнению (6.16), дает полное квантовомеханическое описание поведения частицы с массой $m$ и потенциальной энергией $V(\mathbf{r}, t$,$) , вследствие чего она аналогична классической траекто-$ рии $\mathbf{r}(t)$. До сих пор мы имеем лишь одно указание на возможный смысл волновой функции: она должна быть велика там, где нахождение частицы вероятно, и мала в остальных местах. Это соображение необходимо дополнить более точными утверждениями, которые позволили бы извлекать из функции $\psi$ максимум сведений, допускаемых – законами природы, в соответствии с § 3 Как и в случае волнового уравнения, можно сказать, что критерием истинности нашей интерпретации волновой функции должны быть логическая непротиворечивость и совпадение результатов с опытом.

Статистическая интерпретация.
Замечание о том, что волновая функция $\psi$ должна быть велика там, где „вероятно нахождение частицы\”, а также соображения § 3 говорят о необходимости статистической интерпретации функции $\psi$. Представим себе очень большое число тождественных, независимых и не перекрывающихся областей пространства, каждая из которых достаточно велика, чтобы содержать все, что может повлиять на физически интересные особенности движения. В каждой из областей поведение частицы с потенциальной энергией $V(\mathbf{r}, t)$ описывается одной и той же волновой функцией $\psi(\mathbf{r}, t)$, причем радиус-вектор $\mathbf{r}$ в каждом случае относится к началу координат соответствующей области. Предположим теперь, вслед за Борном [3], что в той мере, в какой вообще можно установить момент проведения измерения, численные результаты измерения любой физической величины, например координаты, импульса или энергии частицы в момент времени $t$ в разных областях пространства, вообще говоря, оказываются отнюдь не одинаковыми. Наоборот, распределение этих результатов можно описать с помощью некоторой вероятностной функции.

Например, в § 5 мы видели, что результат определения координаты содержит неопределенность порядка линейных размеров области, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому естественно рассматривать $\psi$ как меру вероятности обнаружить частицу в данной точке соответствующей области. Но функция $\psi$, вообще говоря, является комплексной, тогда как вероятность представляет собой вещественное положительное число. Поэтому мы допустим, что плотность вероятности координат частицы определяется произведением $\psi$ на комплексно сопряженную функцию $ф$ :
\[
P(\mathrm{r}, t)=|\psi(\mathrm{r}, t)|^{2} .
\]

Это означает, что если производить большое число точных измерений координат независимых частиц, каждая из которых описывается волновой функцией $\psi(\mathbf{r}, t)$, то вероятность обнаружить

частицу в элементе объема $d x d y d z$ около точки $\mathbf{r}$ в момент времени $t$ будет равна $P(\mathbf{r}, t) d x d y d z$.

Нормировка волновой функции $\varphi$.
Поскольку вероятность найти частицу где-либо в области должна быть равна единице, из формулы (7.1) следует условие нормировки волновой функции :
\[
\int|\psi(\mathrm{r}, t)|^{2} d \tau=1 ;
\]

здесь $d \tau$ – элемент объема $d x d y d z$, и интегрирование производится по всей области. Если функция $\psi$ характеризует волновой пакет типа рассмотренного в \& 5, то интеграл в формуле (7.2) сходится, и численный множитель у $\psi$ можно выбрать так, чтобы интеграл был равен единице. Разумеется, в силу однородности уравнения (6.16) нормировка не мешает функции $\psi$ удовлетворять ему. Однако существуют волновые функции типа (6.10), для которых интеграл (7.2), взятый по всему бесконечному пространству, оказывается расходящимся. Эти волновые функции требуют специального рассмотрения, которое мы отложим до \& 10 и 11. Пока что будем считать область пространства, в которой находится такая волновая функция, сколь угодно большой, но конечной; тогда интеграл (7.2) берется по конечному объему. и сходится, так что нормировка всегда возможна.

Чтобы функция $\varphi$ удовлетворяла волновому уравнению (6.16), нормирующий множитель не должен зависеть от времени. Поэтому истолкование $|\varphi|^{2}$ как плотности вероятности требует, чтобы нормировочный интеграл не зависел от времени, если соотношение (7.2) имеет место в какой-то один момент. Фактически именно так дело и обстоит, в чем можно убедиться, вычисляя производную по времени от интеграла от $P$ по любому фиксированному объему $V$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} P(\mathbf{r}, t) d \tau=\int_{V}\left(\bar{\psi} \frac{\partial \psi}{\partial t}+\frac{\partial \bar{\psi}}{\partial t} \psi\right) d \tau= \\
=\frac{i \hbar}{2 m} \int_{V}\left[\bar{\psi} \Gamma^{2} \psi-\left(\Gamma^{2} \bar{\psi}\right) \psi\right] d \tau=\frac{i \hbar}{2 m} \int_{V} \operatorname{div}[\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi-(\operatorname{grad} \bar{\psi}) \psi] d \tau= \\
=\frac{i \hbar}{2 m} \int_{A}[\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi-(\operatorname{grad} \bar{\psi}) \psi]_{n} d A .
\end{array}
\]

Здесь производная $\partial \psi / \partial t$ выражена с помощью (6.16), а $\partial \psi / \partial t$ с помощью комплексно сопряженного уравнения. Последний интеграл получается интегрированием по частям на основании теоремы Грина; буквой $A$ обозначена поверхность, ограничивающая область интегрирования, а символ [ ] [ означает компоненту в направлении внешней нормали к элементу поверхности $d A^{13}$.

Определим вектор S $(\mathbf{r}, t)$ :
\[
\mathbf{S}(\mathbf{r}, t)=\frac{\hbar}{2 i m}[\bar{\psi} \operatorname{grad} \psi-(\operatorname{grad} \bar{\psi}) \psi],
\]

с помощью которого получим
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int_{V} P(\mathbf{r}, t) d \tau=-\int_{V} \operatorname{div} \mathrm{S} d \tau=-\int_{A} S_{n} d A .
\]

Если под объемом $V$ подразумевать все пространство, то в случае волнового пакета, когда на больших расстояниях функция $\psi$ обращается в нуль и нормировочный интеграл сходится, интеграл по поверхности, очевидно, равен нулю. В случаях типа (6.10) волновые функции можно определить в конечной области $V$ таким образом, что на ограничивающих поверхностях они либо обращаются в нуль, либо удовлетворяют условиям периодичности (см. § 10). Легко показать, что при любых условиях поверхностный интеграл в (7.4) равен нулю, так что нормировочный интеграл в (7.2) не меняется с течением времени.

Плотность тока вероятности.
Равенство (7.4) означает также справедливость дифференциального соотношения
\[
\frac{\partial P(r, t)}{\partial t}+\operatorname{div} \mathbf{S}(r, t)=0 .
\]

По форме оно аналогично известному уравнению непрерывности для жидкости с плотностью $P$ и плотностью тока $\mathbf{S}$ (в отсутствие источников и стоков). Поэтому естественно истолковывать век$\operatorname{top} \mathbf{S}(\mathbf{r}, t)$, определяемый формулой (7.3), как плотность тока вероятности. Такая интерпретация делает более правдоподобным отождествление оператора – iћ grad с импульсом при наличии внешних сил. Поскольку при этом ( $\hbar / \mathrm{im}$ ) grad будет оператором скорости, то, очевидно,
\[
\mathbf{S}(\mathbf{r}, t)=\operatorname{Re}\left(\bar{\psi} \frac{\hbar}{i m} \operatorname{grad} \psi\right),
\]

где $\operatorname{Re}$ означает вещественную часть. Хотя указанное истолкование вектора $\mathrm{S}$ и напрашивается само собой, нужно иметь в виду, что $\mathrm{S}$ невозможно измерять так же непосредственно, как $P$. Например, было бы ошибочным утверждать, что $\mathbf{S}(\mathbf{r}, t$ ) представляет собой, скажем, среднее значение тока частиц в точке r в момент времени $t$, поскольку под измерением среднего тока в данной точке подразумевается одновременное точное определение координаты и скорости (эквивалентной импульсу), что противоречит соотношению неопределенности (3.1). Тем не менее иногда удобно представлять себе S как вектор тока, особенно в тех случаях, когда он мало или совсем не зависит от $r$, так как тогда
можно достаточно точно определять скорость, не нарушая смысла представления о токе.

Среднее значение.
Существование плотности вероятности координат частицы $P(\mathrm{r}, t)$ позволяет определить величину, которую мы будем называть средним значением радиуса-вектора; компоненты его представляют собой взвешенные средние соответствующих компонент радиуса-вектора частицы. Это среднее значение представляет собой математическое ожидание (в смысле теории вероятности) результатов отдельного измерения; его можно рассматривать также как результат усреднения измерений, проводимых над большим числом независимых систем, рассмотренных в начале настоящего параграфа. Запишем среднее значение $r$ в виде
\[
\langle\mathbf{r}\rangle=\int \mathbf{r} P(\mathbf{r}, t) d \tau=\int \bar{\psi}(\mathbf{r}, t) \mathbf{r} \psi(\mathbf{r}, t) d \tau,
\]

что эквивалентно трем равенствам:
\[
x\rangle=\int \bar{\psi} x \psi d \tau, \quad\langle y\rangle=\int \bar{\psi} y \psi d \tau, \quad\langle z\rangle=\int \bar{\psi} z \psi d \tau,
\]

где функция $\psi$ нормирована. Среднее значение зависит только от времени, так как от $t$ зависят $\psi$ и $P$, а по пространственным координатам произведено интегрирование.

Подобным же образом можно найти и средние значения любых других имеющих физический смысл величин, если только они зависят лишь от компонент радиуса-вектора r. Так, среднее значение потенциальной энергии составляет
\[
\langle V\rangle=\int V(\mathbf{r}, t) P(\mathbf{r}, t) d \tau=\int \bar{\psi}(\mathbf{r}, t) V(\mathbf{r}, t) \psi(\mathbf{r}, t) d \tau .
\]

Однако, чтобы ввести аналогичные понятия для таких величин как импульс или энергия, надо предварительно выразить их через $\mathrm{r}$ и $t$. Мы допустим, что для этой цели можно воспользоваться дифференциальными операторами (6.13); это предположение будет обосновано с помощью соответствующих распределений вероятности в § 10 (для энергии) и в § 11 (для импульса). Однако тотчас же возникает вопрос, каким образом следует комбинировать подобные дифференциальные операторы с плотностью вероятности координат $P$.

Ответ можно дать, налагая на средние значения разумное требование, чтобы по аналогии с классической формулой (6.15) имело место равенство
\[
\langle E\rangle=\left\langle\frac{\mathbf{p}^{2}}{2 m}\right\rangle+\langle V\rangle .
\]

С помощью дифференциальных операторов его можно переписать в виде
\[
\left\langle i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\right\rangle=\left\langle-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}\right\rangle+\langle V\rangle .
\]