Тождественные частицы невозможно различить по какому-либо внутреннему свойству, так как в противном случае они не были бы полностью тождественны. В классической механике, где существуют вполне определенные траектории отдельных частиц, можно в принципе различить тождественные частицы, отличающиеся друг от друга только траекториями, так как за каждой из частиц можно следить в продолжение всего опыта. В квантовой механике вследствие конечного размера и расплывания волновых пакетов, описывающих отдельные частицы, зачастую невозможно различить тождественные частицы по их положению, особенно если они

заметно взаимодействуют друг с другом. Это относится, в частности, к электронам одного и того же атома, когда описание с помощью движущихся волновых пакетов оказывается полностью непригодным. Однако электроны различных атомов, которые достаточно удалены друг от друга, с большой степенью точности можно считать различными. В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые эффекты, возникающие при квантовомеханическом рассмотрении систем из двух или более частиц и связанные с тождественностью частиц. Далее будут рассмотрены другие эффекты, в которых существенную роль играет спин.

Физический смысл тождественности.
Принципиальная невозможность различить тождественные частицы ${ }^{1 /}$ в большинстве случаев, рассматриваемых квантовой механикой, может приводить $\dot{\text { к }}$ эффектам, не имеющим классических аналогий. Рассмотрим, например, упругое столкновение двух тождественных частиц, взаимодействующих друг с другом по определенному закону, и сравним его со столкновением двух различных частиц, взаимодействующих по тому же закону.

При классическом описании эти опыты принципиально друг от друга не отличаются, поскольку как в первом, так и во втором случаях рассеивающую и рассеиваемую частицы можно отличить друг от друга. Однако практически это обычно бывает возможно лишь во втором опыте. Таким образом, согласно классической механике, дифференциальное эффективное сечение, измеряемое в первом опыте, равно сумме соответствующих сечений для рассеивающих. и рассеиваемых частиц во втором опыте. В соответствующем квантовомеханическом случае тождественные частицы в первом опыте нельзя различить по их траекториям, так как невозможно локализовать частицы, не нарушая при этом процесса рассеяния. Таким образом, различие между рассеивающей и рассеиваемой частицами не имеет физического смысла и простое классическое соотношение между результатами обоих опытов может и не иметь места.

Под тождественными мы будем понимать такие частицы, при перестановке которых в любых возможных условиях физическое состояние системы остается неизменным. Иногда тождественные частицы можно отличить друг от друга, например в тех случаях, когда описывающие их волновые пакеты не перекрываются. Частицы можно различить также, если они обладают спином, значение которого сохраняется при столкновении.

Будем считать, что проекция спина на некоторую ось не меняется при столкновении. В этом случае можно различать частицы, если соответствующие проекции их спинов различны. Естественно,

подобные результаты должны сами собой вытекать из того формализма, который будет развит ниже.

Симметричные и антисимметричные волновые функции. Уравнение Шредингера для системы $n$ тождественных частиц имеет вид
\[
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(1,2, \ldots, n ; t)=H(1,2, \ldots, n) \psi(1,2, \ldots, n ; t),
\]

где каждое число характеризует все координаты частицы (пространственные и спиновые).

Гамильтониан, очевидно, симметричен относительно любой перестановки своих аргументов. Действительно, в силу тождественности частиц их можно менять местами, не меняя гамильтониана.

Уравнение (32.1) имеет два типа решений, свойства симметрии которых представляют особый интерес. Если волновая функция не меняется при перестановке любой пары частиц, чему соответствует перестановка аргументов, то она называется симметричной. Если же при перестановке любой пары частиц знак $\psi$ изменяется, то волновая функция называется антисимметричной. Покажем теперь, что с течением времени характер симметрии волновой функции не изменяется. Пусть в некоторый момент времени $t$ функция $\psi_{S}$ симметрична. Тогда функция $H \psi_{S}$ тоже симметрична, и из уравнения (32.1) следует, что симметрична и производная $\partial \psi_{S /} \partial t$. Поскольку в момент $t$ волновая функция $\psi_{\mathrm{S}}$ и ее производная по времени симметричны, волновая функция будет симметричной и в более поздний момент $t+d t$, ибо она равна $\psi_{\mathrm{S}}+\left(\partial \psi_{S} / \partial t\right) d t$. Такой процесс последовательного интегрирования волнового уравнения можно в принципе продолжать сколь угодно долго, и мы видим, что функция $\psi_{S}$ все время будет оставаться симметричной. Аналогично, если функция $\psi_{A}$ в некоторый момент времени антисимметрична, то антисимметричными будут и $H \psi_{A}$ и $\partial \psi_{A} / \partial t$. Интегрируя аналогичным образом волновое уравнение, убеждаемся, что волновая функция $\psi_{A}$ будет оставаться антисимметричной все время.

Это доказательство не изменится, если аргументами $H$ и $у$ будут координаты тождественных частиц, входящих в две или более различные группы; поэтому если волновая функция симметрична или антисимметрична по отношению к перестановке координат тождественных частиц, входящих в каждую группу, то характер симметрии ее не изменяется со временем. В связи с этим различные группы тождественных частиц, встречающихся в природе, могут обладать определенными свойствами симметрии, что и имеет место в действительности; при этом опытные данные однозначно говорят 0 том, что электроны, протоны и нейтроны описываются антисимметричными волновыми функциями.

чим, беря верхний и нижний знак в выражении
\[
\begin{aligned}
{[u(1,2,3)+u(2,} & 3,1)+u(3,1,2)] \pm \\
& \pm[u(2,1,3)+u(1,3,2)+u(3,2,1)] .
\end{aligned}
\]

Из двух решений (32.2) можно составить все собственные функции, обменно вырожденные с $u(1,2)$. С другой стороны, при $n=3$ есть четыре линейно независимые собственные функции, которые нельзя получить из двух функций (32.3). Эти дополнительные решения, всегда имеющие место при $n>2$, можно выбрать таким образом, чтобы они обладали определенными свойствами симметрии, напоминающими свойства симметричного и антисимметричного решения, но более сложные; однако они, по-видимому, не описывают встречающихся в природе частиц.

Различимость тождественных частиц. Следует ожидать, что коль скоро координаты частиц не могут принимать одинаковых значений, результаты опыта не должны зависеть от характера симметрии волновой функции. При этом частицы все же можно различить – либо пространственно, либо по проекциям спина несмотря на их тождественность. Естественно, в этом случае волновая функция двух частиц $u(1,2)$ может быть отлична от нуля, лишь если координата 1 лежит в некоторой области $A$, а координата 2 – в области $B$, причем области $A$ и $B$ не перекрываются.

Плотность вероятности координат в состоянии с волновой функцией $u(1,2)$ равна $|u(1,2)|^{2}$, а выражения для плотности вероятности, определяемые симметризованными волновыми функциями (32.3), имеют вид
\[
|u(1,2) \pm u(2,1)|^{2}=|u(1,2)|^{2}+|u(2,1)|^{2} \pm 2 \operatorname{Re}[u(1,2) \bar{u}(2,1)], \text { (32.4) }
\]

где символ $\mathrm{Re}$ означает вещественную часть. Если теперь функция $u(1,2)$ удовлетворяет только что сформулированному условию, то член в скобках везде равен нулю и правая часть (32.4) становится равной $|u(1,2)|^{2}+|u(2,1)|^{2}$.

Таким образом, плотность вероятности, определяемая какой либо из симметризованных волновых функций (32.2), равна сумме плотностей, определяемых отдельно функциями $u(1,2)$ и $u(2,1)$. Совершенно такой же результат получился бы и для не тождественных частиц, если бы в процессе опыта не делалась попытка их различить. Таким образом, интерференционные эффекты между волновыми функциями, входящими в обменно вырожденную совокупность, действительно исчезают, если области изменения координат частиц не перекрываются.

Принцип Паули.
Во\” многих задачах можно получить полезное нулевое приближение, пренебрегая взаимодействием между частицами, образующими рассматриваемую систему. Приближенный (невозмущенный) гамильтониан представляет собой сумму одинаковых гамильтонианов отдельных частиц:
\[
H_{0}(1,2, \ldots, n)=H_{0}^{\prime}(1)+H_{0}^{\prime}(2)+\ldots+H_{0}^{\prime}(n),
\]

а его приближенная собственная функция равна произведению собственных функций отдельных частиц:
\[
\begin{aligned}
u(1,2, \ldots, n) & =v_{\alpha}(1) v_{\beta}(2) \ldots v_{
u}(n), \\
E & =E_{\alpha}+E_{\beta}+\ldots+E_{
u}, \\
H_{0}^{\prime}(1) v_{\alpha}(1) & =E_{\alpha} v_{\alpha}(1), \text { и т. д. }
\end{aligned}
\]

Если рассматриваемые частицы представляют собой электроны, то вместо функции $u$, определяемой равенством (32.6), необходимо взять соответствующую антисимметричную линейную комбинацию. Проще всего представить ее в виде детерминанта, составленного из функций $v$ :
\[
u_{A}(1,2, \ldots, n)=\left|\begin{array}{cccc}
v_{\alpha}(1) & v_{\alpha}(2) & \ldots & v_{\alpha}(n) \\
v_{\beta}(1) & v_{\beta}(2) & \ldots & v_{\beta}(n) \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
v_{
u}(1) & v_{
u}(2) & \ldots & v_{
u}(n)
\end{array}\right| .
\]

Ясно, что (ненормированная) функция $u_{A}$ (32.7) представляет собой антисимметричное решение приближенного волнового уравнения $\left(H_{0}-E\right) u_{A}=0$.

Выражөние (32.7) обладает интересной особенностью: оно обращается в нуль, если две (или более) функции $v$ одинаковы. Мы имеем здесь частный случай высказанного ранее общего утверждения, согласно которому антисимметричную волновую функцию нельзя получить из решения, не меняющегося при перестановке любых двух частиц. Поэтому приближенный гамильтониан $H_{0}$ не имеет решений, для которых в каком-либо из состояний $\alpha, \beta, \ldots, v$ находится более одного электрона. Этот результат известен как принцип исключения ${ }^{1}$; впервые он был введен Паули [2] в качестве постулата, позволяющего объяснить периодическую систему химических элементов (см. § 38).

Связь со статистической механикой.
Из несимметризированных решений нулевого приближения можно составить как симметричную, так и антисимметричную волновую функцию. Легко видеть, что симметричное (ненормированное) решение дается суммой функций, полученных в результате всех возможных перестановок чисел $1,2, \ldots, n$ между отдельными ,одночастичными” функциями $v_{\alpha}, v_{\beta}, \ldots, v_{
u}$. Такая волновая функция является единственной; чтобы задать ее, достаточно указать, сколько частиц находится в каждом из состояний $\alpha, \beta, \ldots$ Аналогично антисимметричная волновая функция полностью определяется заданием числа частиц в каждом отдельном состоянии. Фундаментальное статистическое различие между частицами, описываемыми антисимметричными и симметричными волновыми функциями, заключается в том, что в первом случае в каждом состоянии может быть не более одной частицы, тогда как во втором число частиц в каждом состоянии не ограничено $(0,1,2 \ldots)$.

Состояния ряда систем многих частиц, не взаимодействующих (или слабо взаимодействующих) друг с другом, можно определять одним из указанных выше способов. Исследование таких систем составляет предмет квантовой статистической механики. Если частицы описываются антисимметричными волновыми функциями, то говорят, что они подчиняются статистике Ферми – Дирака; частицы, описываемые симметричными волновыми функциями, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна ${ }^{1}$.

Из частиц, статистика которых точно известна, электроны, протоны и нейтроны ${ }^{2}$ описываются статистикой Ферми – Дирака, а $\pi$-мезоны – статистикой Бозе – Эйнштейна ${ }^{3}$.

Световые кванты или фотоны в той мере, в какой их можно рассматривать как частицы, также подчиняются статистике Бозе Эйнштейна, хотя их описание с помощью волновой функции не является полезным. Далее, комплексы частиц, столь тесно связанных друг с другом, что весь комплекс можно рассматривать как единую частицу, также описываются симметричными или антисимметричными волновыми функциями.

Так, например, ядро атома гелия состоит из тесно связанных друг с другом двух протонов, двух нейтронов и неопределенного числа $\pi$-мезонов. Если рассматривать систему ядер гелия, взаимодействие между которыми настолько слабо, что можно пренебречь его влиянием на внутреннее движение ядер, то движение центров тяжести ядер приближенно можно описывать с помощью симметричной волновой функции. Перестановку двух атомов гелия можно представить как результат перестановки двух пар протонов, двух пар нейтронов и нескольких $\pi$-мезонов. Поскольку точная волновая функция антисимметрична относительно всех протонов и всех нейтронов, то в результате первых четырех перестановок приближенная волновая функция не изменится; относительно л-мезонов волновая функция симметрична, и, следовательно, остальные перестановки также ее не изменят. Обобщая эти рассуждения, приходим к выводу, что слабо взаимодействующие „частицы” (ядра, атомы или молекулы) подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, если полное число содержащихся в каждой из них электронов, протонов и нейтронов является четным, и статистике Ферми – Дирака, если каждая из них содержит нечетное число этих частиц¹).

Столкновения тождественных частиц.
Из \& 16 и 18 известно, что при наличии только сил взаимодействия движение системы двух частиц можно разделить на перемещение центра инерции системы и на движение одной частицы относительно другой. Очевидно, что при перестановке двух тождественных частиц радиус-вектор центра инерции [равный $\left(\mathrm{r}_{1}+\mathbf{r}_{2}\right) / 2$, так как массы частиц одина. ковы] остается неизменным, а относительные координаты ( $\mathbf{r}=\mathbf{r}_{1}$ – $\mathbf{r}_{2}$ ) меняют знак. Учет спинов мы отложим до следующего параграфа, а сейчас посмотрим, какую роль играет симметрия или антисимметрия пространственной части волновой функции двух тождественных частиц, испытывающих упругое столкновение.

Асимптотическое выражение для несимметризованной волновой функции, характеризующей рассеяние частиц, в системе координат центра инерции дается формулой (18.10):
\[
u(\mathbf{r}) \xrightarrow[r \rightarrow \infty]{ } e^{i k z}+r^{-1} f(\theta, \varphi) e^{i k r},
\]

где $r, \theta, \varphi$ – полярные координаты вектора r. Так как сферическими координатами вектора – $\mathbf{r}$ будут $r, \pi-\theta, \varphi+\pi$, то в силу (32.8) асимптотические выражения симметричной и антисимметричной волновых функций имеют вид
\[
\left(e^{i k z} \pm e^{-i k z}\right)+[f(\theta, \varphi) \pm f(\pi-\theta, \varphi+\pi)] r^{-1} e^{i k r} ;
\]

здесь верхний знак соответствует симметричной, а нижний – антисимметричной волновой функции.

Как показано в § 18, дифференциальное эффективное сечение в системе центра инерции равно квадрату абсолютной величины выражения в фигурных скобках (32.9):
\[
\begin{aligned}
\sigma(\theta, \varphi) & =|f(\theta, \varphi)|^{2}+|f(\pi-\theta, \varphi+\pi)|^{2} \pm \\
& \pm 2 \operatorname{Re}[f(\theta, \varphi) \bar{f}(\pi-\theta, \varphi+\pi)] .
\end{aligned}
\]

Чтобы убедиться в правильности принятой нормировки, заметим, что в классическом предельном случае, когда тождественные частицы различимы и последний (интерференционный) член в (32.10) отсутствует, сечение $\sigma(\theta, \varphi)$ становится в точности равным сумме эффективных сечений для рассеиваемых $\left(|f(\theta, \varphi)|^{2}\right)$ и рассеивающих ( $|f(\pi-\theta, \varphi+\pi)|^{2}$ ) частиц, как это и должно быть.

Очевидно, что в обычном случае, когда функция $f$ не зависит от $\varphi$, сечение рассеяния в единичный телесный угол симметрично относительно направления $\theta=90^{\circ}$ (в системе центра инерции). Из формулы (18.7) при $\gamma=1$ нетрудно видеть, что в лабораторной системе координат сечение рассеяния, отнесенное к единице угла (но не к единице телесного угла), равно
$\sigma_{v}\left(\theta_{0}\right) \sin \theta_{0}=4 \cos \theta_{0} \sin \theta_{0}\left\{\left|f\left(2 \theta_{0}\right)\right|^{2}+\right.$
\[
\left.+\left|f\left(\pi-2 \theta_{0}\right)\right|^{2} \pm 2 \operatorname{Re}\left[f\left(2 \theta_{0}\right) \bar{f}\left(\pi-2 \theta_{0}\right)\right]\right\} .
\]

Это выражение симметрично относительно направления $\theta_{0}=45^{\circ}$.