Применим прежде всего развитый выше метод квантования поля к нерелятивистскому уравнению Шредингера (6.16). Это означает, что мы будем рассматривать (6.16) как классическое уравнение движения некоторой жидкости. Қак мы увидим, теория квантованных полей эквивалентна уравнению Шредингера для системы многих частиц типа (16.1) или (32.1). По этой причине квантование поля называют также вторичным квантованием. При терминологии первичным квантованием является переход от классической механики частицы к уравнению (6.16).

Уравнения Лагранжа и Гамильтона.
Плотность лагранжиана можно взять в виде:
\[
\boldsymbol{L}=i \hbar \bar{\psi} \dot{\psi}-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \operatorname{grad} \bar{\psi} \cdot \operatorname{grad} \psi-V(\mathbf{r}, t) \bar{\psi} \psi .
\]

Как показано в конце предыдущего параграфа, при выводе уравнений Лагранжа функции $\psi$ и $\bar{\psi}$ можно варьировать независимо. Уравнение типа (45.8), получаемое при варьировании $\varphi$, имеет вид
\[
-i \hbar \dot{\psi}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \bar{\psi}+V(\mathbf{r}, t) \bar{\psi} .
\]

Оно комплексно сопряжено с уравнением (6.16). Последнее получается варьированием по $\bar{\psi}$ :
\[
i \hbar \dot{\psi}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \psi+V(\mathbf{r}, t) \psi .
\]

Импульс, канонически сопряженный с $\psi$, равен
\[
\pi=\frac{\partial \boldsymbol{L}}{\partial \dot{\varphi}}=i \hbar \bar{\psi}
\]

Однако величина $\dot{\psi}$ не входит в плотность лагранжиана и, следовательно, импульс $\vec{\pi}$ тождественно равен нулю ${ }^{1}$. Поэтому второе из правил перестановки (45.28) (или соответствующее классическое соотношение, выраженное с помощью скобки Пуассона) не может удовлетворяться, в связи с чем величины $\bar{\psi}, \bar{\pi}$ нельзя рассматривать как канонически сопряженные переменные. Их, однако, легко исключить из функции Гамильтона, так как $\bar{\pi}$ в нее не входит, а функция $\tilde{\varphi}$ связана с $\pi$ по формуле (46.3) ${ }^{2}$.
Плотность гамильтониана есть
\[
\boldsymbol{H}=\pi \dot{\psi}-\boldsymbol{L}=-\frac{i \hbar}{2 m} \operatorname{grad} \pi \cdot \operatorname{grad} \psi-\frac{i}{\hbar} V \pi \psi .
\]

Уравнения Гамильтона, вытекающие из (45.19) и (45.18), имеют вид
\[
\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} V \psi+\frac{i \hbar}{2 m}
abla^{2} \psi, \quad \dot{\pi}=\frac{i}{\hbar} V \pi-\frac{i \hbar}{2 m}
abla^{2} \pi .
\]

Первое из этих уравнений совпадает с (46.2), а второе [с учетом (46.3)] комплексно сопряжено с ним. Таким образом, мы показали, исходя из классической теории поля, что плотность лагранжиана (46.1) и вытекающие из нее функция Гамильтона и канонические переменные согласуются с волновым уравнением (6.16) или (46.2).

Квантовые условия.
Мы получим квантовые условия, допустив, что гамильтониан дается объемным интегралом (46.4), уравнения движения имеют вид (45.23), а первое из соотношений (45.28) представляет собой квантовое условие, накладываемое на волновое поле. Поскольку $\psi$ является теперь не классической функцией, а оператором, то и функцию $\bar{\psi}$ следует считать не комплексно, а эрмитово сопряженной с $\psi$. Поэтому в соответствии с § 21 мы будем обозначать этот оператор через $\psi^{*}$. Для удобства заменим $\pi$ на $i \hbar \psi^{*}$ с помощью (46.3); тогда гамильтониан примет вид
\[
H=\int\left(\frac{\hbar^{2}}{2 m} \operatorname{grad} \psi^{*} \cdot \operatorname{grad} \psi+V \psi^{*} \psi\right) d \tau .
\]

Пользуясь (21.14) и (21.15), можно показать, что оператор $H$ эрмитов.

Квантованный гамильтониан, определяемый формулой (46.5), характеризует полную энергию поля; его не следует смешивать с оператором энергии отдельной частицы (22.2), описываемой волновым уравнением (6.16) или (23.1). До сих пор мы не дали явного представления для операторов $\psi$ и $H$ и потому не можем сказать, на что они действуют. Пока мы имеем дело с уравнениями движения, выбор частного представления не является необходимым, но его желательно сделать, имея в виду последующее физическое истолкование развитого формализма.
Правила перестановки имеют вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi(\mathbf{r}), \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]=\left[\psi^{*}(\mathbf{r}), \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]=0,} \\
{\left[\psi(\mathbf{r}), \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]=\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .}
\end{array}
\]

Отсутствие аргумента $t$ у переменных поля означает, что они относятся к одному и тому же моменту времени ${ }^{1}$.

При помощи соотношений (46.6) выражение в скобках под знаком интеграла преобразуется следующим образом
\[
\begin{array}{c}
\psi^{*} \psi \psi^{* \prime} \psi^{\prime}-\psi^{* \prime} \psi^{\prime} \psi^{*} \psi=\psi^{*}\left[\psi^{* \prime} \psi+\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] \psi^{\prime}-\psi^{* \prime} \psi^{\prime} \psi^{*} \psi= \\
=\psi^{* \prime} \psi^{*} \psi^{\prime} \psi+\psi^{*} \psi^{\prime} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)-\psi^{* \prime} \psi^{\prime} \psi^{*} \psi= \\
=\psi^{* \prime}\left[\psi^{\prime} \psi^{*}-\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] \psi+\psi^{*} \psi^{\prime} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)-\psi^{* \prime} \psi^{\prime} \psi^{*} \psi=0
\end{array}
\]
(здесь принято во внимание, что $\delta$-функция отлична от нуля только при $\mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}$ ). Аналогичное, но несколько более сложное вычисление показывает, что
$\left[\psi^{*} \psi, \operatorname{grad}^{\prime} \psi^{* \prime} \cdot \operatorname{grad}^{\prime} \psi^{\prime}\right]=\left[\psi^{*} \operatorname{grad}^{\prime} \psi^{\prime}-\left(\operatorname{grad}^{\prime} \psi^{* \prime}\right) \psi\right] \cdot \operatorname{grad}^{\prime} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)$.
Интеграл от этого выражения по $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$ равен нулю. Таким образом, из (46.10) следует, что $N$ — интеграл движения

Можно показать также, что интегралами движения являются и правила перестановки, так что если они имеют место в какой-нибудь один момент времени, то они будут верны и в любой другой момент.
$\mathbf{N}$-представление. Выберем теперь такое представление, в котором оператор $N$ диагонален. Поскольку оператор $N$ эрмитов, его собственные значения вещественны. Это представление удобно в общем виде ввести при помощи разложения по ортонормированным функциям $u_{k}(\mathbf{r})$ типа (45.1). Для определенности будем считать индекс $k$ дискретным. Положим
\[
\psi(\mathbf{r}, t)=\sum_{k} a_{k}(t) u_{k}(\mathbf{r}), \quad \psi^{*}(\mathbf{r}, t)=\sum_{k} a_{k}^{*}(t) \bar{u}_{k}(\mathbf{r}),
\]

где $u_{k}$ — численные функции от пространственных координат, а $a_{k}$ — операторы, зависящие от времени. Уравнения (46.11) можно решить относительно $a_{k}$ :
\[
a_{k}(t)=\int \bar{u}_{k}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) d \tau, \quad a_{k}^{*}=\int u_{k}(\mathbf{r}) \psi^{*}(\mathbf{r}, t) d \tau .
\]

Таким образом, умножая обе части второго из правил перестановки (46.6) на $\bar{u}_{k}(\mathbf{r}) u_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)$ и интегрируя по $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}^{\prime}$, получаем, принимая во внимание ортонормированность функций $u_{k}$
\[
\left[a_{k}(t), a_{l}^{*}(t)\right]=\iint \bar{u}_{k}(\mathbf{r}) u_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau d \tau^{\prime}=\delta_{k l} .
\]

Таким же путем легко убедиться, что операторы $a_{k}$ и $a_{l}$, а также $a_{k}^{*}$ и $a_{l}^{*}$ коммутируют при всех $k$ и $l$. Подстановка (46.11) в выражение для $N$ показывает, что
\[
N=\sum_{k} N_{k}, \text { где } N_{k}=a_{k}^{*} a_{k} .
\]

Легко видеть, что все $N_{k}$ коммутируют друг с другом, и, следовательно, их можно одновременно привести к диагональному виду.

Чтобы найти представление, в котором как $N$, так и все $N_{k}$ диагональны, запишем операторы $a_{k}$ в виде
\[
a_{k}=2^{-1 / 2}\left(q_{k}+i p_{k}\right), \quad a_{k}^{*}=2^{-1 / 2}\left(q_{k}-i p_{k}\right),
\]

где операторы $q_{k}$ и $p_{k}$ эрмитовы. Это всегда возможно, так как, обращая уравнения (46.14), мы имеем
\[
q_{k}=2^{-1 / 2}\left(a_{k}+a_{k}^{*}\right), \quad p_{k}=-i 2^{-1 / 2}\left(a_{k}-a_{k}^{*}\right),
\]

а эти операторы, очевидно, эрмитовы. Из соотношения вытекает, что

и
\[
\left[q_{k}, q_{l}\right]=\left[p_{k}, p_{l}\right]=0,\left[q_{k}, p_{l}\right]=i \delta_{k l}
\]
\[
N_{k}=\frac{1}{2}\left(p_{k}^{2}+q_{k}^{2}\right)-\frac{1}{2} .
\]

Уравнения (46.15) и (46.16) имеют то преимущество по сравнению с эквивалентными им соотношениями (46.12) и (46.13), что их решения уже были однажды получены в связи с задачей о линейном гармоническом осцилляторе. Теперь мы покажем, что с помощью некоторых результатов § 13 можно найти явные выражения для матриц $p_{k}$ и $q_{k}$, причем матрицы $N_{k}$ будут диагональны.

Связь с гармоническим осциллятором.
Квантовое движение частицы с массой $m$ под действием силы — $K x$, где $x$ — смещение из положения равновесия, рассматривалось в § 13 с точки зрения уравнения Шредингера. Қак показано в § 22 и 23 , решение этой задачи эквивалентно диагонализации матрицы энергии
\[
\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} K x^{2},
\]

где координата $x$ и канонически сопряженный импульс $p$ удовлетворяют правилу перестановки типа (23.13):
\[
[x, p]=i \hbar .
\]

Для собственных значений оператора энергии была получена формула (13.8) :
\[
\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar\left(\frac{K}{m}\right)^{1 / 2}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

В представлении, в котором энергия диагональна, матрица $x$ дается выражением (13.18)’).

Если теперь отождествить $x$ с $q_{k}, p$ с $p_{\text {і }}$ а $\hbar, m$ и $K$ положить равными единице, то мы сразу же увидим, что оператор $N_{k}+\frac{1}{2}$ совпадет с энергией осциллятора и собственные значения его равны $n_{k}+\frac{1}{2}$, где $n_{k}$ — положительное целое число или нуль. Тогда в силу (13.18) отличные от нуля матричные элементы $q_{k}$ будут иметь вид
\[
\left(q_{k}\right)_{n_{k}, n_{k}+1}=\left(q_{k}\right)_{n_{k}+1, n_{k}}=\left(\frac{n_{k}+1}{2}\right)^{1 / 2}
\]
(все прочие матричные элементы $q_{k}$ обращаются в нуль). Матрицу $p_{k}$ можно вычислить методом, использованным при выводе (13.18). Мы получаем
\[
\left(p_{k}\right)_{n_{k}, n_{k}+1}=-\left(p_{k}\right)_{n_{k}+1, n_{k}}=-i\left(\frac{n_{k}+1}{2}\right)^{1 / 2},
\]

а все остальные матричные элементы равны нулю. Теперь при помощи (46.14) можно найти матричные представления для операторов $a_{k}$ и $a_{k}^{*}$ :
\[
\left(a_{k}\right)_{n_{k}, n_{k}+1}=\left(a_{k}^{*}\right)_{n_{k}+1, n_{k}}=\left(n_{k}+1\right)^{1 / 2} .
\]

Все другие матричные элементы обращаются в нуль. Поскольку при $l
eq k$ величины $q_{k}, p_{k}, a_{\imath}, a_{k}^{*}$ коммутируют с $N_{l}$, из соотношений (46.17), (46.18) и (46.19) следует, что отличные от нуля матричные элементы связывают пары состояний, для которых все другие $n_{l}$ одинаковы.

В задаче о гармоническом осцилляторе матрицу $x$ можно связать с системой волновых функций $u_{n}(x)$, определяемых равенством (13.13), так что
\[
x_{n n^{\prime}}=\int \bar{u}_{n}(x) x u_{n^{\prime}}(x) d x .
\]

Можно ожидать, что матрицы $q_{k}, p_{k}, a_{k}$ и $a_{k}^{*}$ также будут аналогичным образом связаны с некоторыми величинами, играющими роль волновых функций в квантовой теории поля. Эти величины мы будем называть волновыми функционалами $\Psi$ от чисел $n_{k}$; их можно представлять в виде матриц с одним столбцом, удовлетворяющих соотношениям
\[
\begin{array}{l}
\Psi^{*}\left(n_{1}, \ldots, n_{i}, \ldots\right) \Psi\left(n_{1}^{\prime}, \ldots, n_{k}^{\prime}, \ldots\right)=\delta_{n_{1} n_{1}^{\prime}} \ldots \delta_{n_{n} n_{k}^{\prime}}, \\
\Psi *\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right) a_{k} \Psi\left(n_{1}^{\prime}, \ldots, n_{k}^{\prime}, \ldots\right)= \\
=\left(n_{k}+1\right)^{1 / 2} \delta_{n_{1} n_{1}^{\prime}} \ldots \delta_{n_{k}+1, n_{k}^{\prime}} \ldots, \\
\Psi *\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right) a_{k}^{*} \Psi\left(n_{1}^{\prime}, \ldots, n_{k}^{\prime}, \ldots\right)= \\
=n^{1 / 2} \delta_{n_{1} n_{1}^{\prime}} \ldots \delta_{n_{k}-1, n_{k}^{\prime}} \ldots \\
\end{array}
\]

[в соответствии с (46.19)]. Равенства (46.20) эквивалентны утверждению о том, что волновые функционалы $\Psi$ ортонормированы и удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{r}
a_{k} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right)=n_{k}^{1 / 2} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}-1, \ldots\right), \\
a_{k}^{*} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right)=\left(n_{k}+1\right)^{1 / 2} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}+1, \ldots\right) .
\end{array}
\]

Физическая интерпретация.
Рассматривая $N$ как оператор полного числа частиц квантованного поля, естественно допустить, что $N_{\ell}$ есть оператор числа частиц в состоянии, описываемом функцией $u_{\imath}(\mathbf{r})$. Таким образом, мы приходим к результату, что при точном измерении числа частиц, находящихся в каком-либо состоянии, должно получаться положительное целое число или нуль. Тогда из формулы (46.13) следует, что это имеет место и для полного числа частиц.

Хотя $N$ представляет собой интеграл движения, числа $N_{k}$ таковыми быть не обязаны. Подставляя $N_{k}$ в (45.23) вместо $F$, получаем
\[
i \hbar \dot{N}_{k}=\left[a_{k}^{*} a_{k}, H\right] .
\]

Гамильтониан $H$ можно выразить через $a_{k}$, подставляя (46.11) в (46.5) :
\[
\begin{array}{l}
H=\sum_{j l} a_{j}^{*} a_{l} \int\left(\frac{\hbar^{2}}{2 m} \operatorname{grad} \bar{u}_{j} \cdot \operatorname{grad} u+V \bar{u}_{j} \cdot u_{l}\right) d \tau= \\
=\sum_{j l} a_{j}^{*} a_{l} \int \bar{u}_{j}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V\right) u_{l} d \tau .
\end{array}
\]

При помощи соотношения (46.12) легко показать, что данный оператор $N_{k}$ будет интегралом движения в том и только в том случае, когда в (46.22) будут равны нулю все объемные интегралы, для которых $j$ или $l$ совпадает с $k$. Эти интегралы представляют собой матричные элементы гамильтониана одной частицы (22.2). Таким образом, необходимое и достаточное условие, при котором $N_{k}$ является интегралом движения, состоит в обращении в нуль всех недиагональных матричных элементов гамильтониана, содержащих функцию $u_{k}{ }^{1}$.

Особенно интересен случай, когда $u_{k}$ представляют собой собственные функции оператора (22.2), принадлежащие собственным значениям $E_{k}$. При этом интегралы в (46.22) равны $E_{l} \delta_{j l}$ и гамильтониан поля принимает вид
\[
H=\sum_{k} a_{k}^{*} a_{k} E_{k}=\sum_{k} N_{k} E_{k} .
\]

В данном конкретном $N$-представлении оператор $H$ также диагонален, волновому функционалу $\Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right)$ соответствует собственное значение оператора полной энергии $\sum_{k} n_{k} E_{k}$. Очевидно, в этом случае все $N_{k}$ суть интегралы движения.

Первое из соотношений (46.21) позволяет интерпретировать $a_{k}$ как оператор уничтожения частицы в состоянии $k$, так как он превращает волновой функционал в кратное другого функционала, для которого числа частиц в данном состоянии меньше на единицу. Аналогично $a_{k}^{*}$ можно рассматривать как оператор порождения, так как он увеличивает число частиц в состоянии $k$ на единицу.

Связь с уравнением Шредингера для системы многих частиц.
Теория квантованного поля тесно связана с уравнением Шредингера для системы многих частиц, рассмотренным в § 32. Если $u_{k}$ представляют собой собственные функции гамильтониана одной частицы (22.2), то теория поля показывает, что существуют стационарные решения, в которых число частиц, находящихся в $k$-м состоянии $n_{k}$, представляет собой целую положительную величину или нуль, а энергия равна $\sum_{k} n_{k} E_{k}$. Каждое решение можно охарактеризовать при помощи волнового функционала $\Psi\left(n_{1}, \ldots\right.$ $\left.n_{k}, \ldots\right)$, причем все функционалы $\Psi$ образуют полную систему и для каждой последовательности чисел $n_{1}, \ldots$ имеется только одно решение. Если взаимодействие между частицами отсутствует, то стационарные волновые функции системы многих частиц, аналогичные функции $\psi$ (32.1), можно записать в виде произведения волновых функций $u_{k}(\mathbf{r}) e^{-i E_{k} t / \hbar}$ отдельных частиц. Задавая число частиц, находящихся в каждом состоянии, можно однозначно определить линейные комбинации таких произведений, симметричные по отношению к перестановке координат любой пары частиц. Число частиц в каждом состоянии снова равно положительной целой величине или нулю, а полная энергия дается суммой энергий всех частиц.

Итак, развитая в настоящем параграфе теория квантованного поля эквивалентна уравнению Шредингера для нескольких невзаимодействующих частиц, если брать при этом только симметричные решения. Таким образом, мы приходим к теории частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Можно показать, что обе теории будут полностью эквивалентны и при наличии взаимодействия между частицами ${ }^{1}$.

Естественно спросить, нельзя ли как-либо видоизменить формализм теории квантованного поля, с тем чтобы получить теорию частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака.

Как показано в § 32, систему таких частиц можно описать с помощью волновой функции, антисимметричной относительно перестановки координат ${ }^{1}$ любых двух частиц. Соответствующую линейную комбинацию произведений одночастичных волновых функций можно однозначно определить, задавая число частиц в каждом состоянии, при условии, что эти числа могут принимать только значения нуль и единица. Таким образом, искомое видоизменение теории состоит в ограничении возможных собственных значений операторов $N_{k}$ только нулем и единицей.

Соотношения антикоммутации.
Из предыдущего ясно, что область изменения собственных значений операторов $N_{k}$ определяется правилами перестановки операторов $a_{k}$, $a_{k}^{*}$. Так из (46.12) следует, что числа $N_{\imath}$ могут принимать любые целые неотрицательные значения. Но соотношения (46.12) вытекают из правил перестановки (46.6) для $\psi$ и $\psi^{*}$. Поэтому, желая получить теорию частиц, подчиняющихся принципу Паули, нужно видоизменить равенства (46.6). При этом естественно потребовать, чтобы в том случае, когда гамильтониан имеет вид (46.5), қвантовым уравнением движения для $\psi$ было волновое уравнение (46.2).

Иордан и Вигнер [8] нашли, что искомое видоизменение состоит в замене в (45.22) и (46.6) коммутаторов
\[
[A, B] \equiv A B-B A
\]

на антикоммутаторы
\[
[A, B]_{+} \equiv A B+B A .
\]

Это означает, что соотношения (46.6) заменяются следующими:
\[
\begin{aligned}
{\left[\psi(\mathbf{r}), \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+} } & =\psi(\mathbf{r}) \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+\psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi(\mathbf{r})=0 \\
{\left[\psi^{*}(\mathbf{r}), \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+} } & =\psi^{*}(\mathbf{r}) \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+\psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi^{*}(\mathbf{r})=0 \\
{\left[\psi(\mathbf{r}), \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+} } & =\psi(\mathbf{r}) \psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+\psi^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi(\mathbf{r})=\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Тогда из (46.11) и (46.24) непосредственно вытекает, что
\[
\begin{array}{l}
{\left[a_{k}, a_{l}\right]_{+}=a_{k} a_{l}+a_{l} a_{k}=0,} \\
{\left[a_{k}^{*}, a_{l}^{*}\right]_{+}=a_{k}^{*} a_{l}^{*}+a_{l}^{*} a_{k}^{*}=0,} \\
{\left[a_{k}, a_{l}^{*}\right]_{+}=a_{k} a_{l}^{*}+a_{l}^{*} a_{k}=\delta_{k l} .}
\end{array}
\]

Как и раньше, положим $N_{k}=a_{k}^{*} a_{k}$ и заметим, прежде всего, что операторы $N_{k}$ коммутируют друг с другом, вследствие чего

их можно одновременно привести к диагональному виду. Собственные значения их можно найти из матричного уравнения
\[
N_{k}^{2}=a_{k}^{*} a_{k} a_{k}^{*} a_{k}=a_{k}^{*}\left(1-a_{k}^{*} a_{k}\right) a_{k}=a_{k}^{*} a_{k}=N_{k},
\]

при получении которого были использованы соотношения (46.25). Если матрица $N_{k}$ приведена к диагональному виду и имеет собственные значения $n_{k}^{\prime}, n_{k}^{\prime}, \ldots$, то ясно, что $N_{k}^{2}$ также диагональна и собственные значения ее равны $n_{k}^{\prime 2}, n_{k}^{\prime 2}, \ldots$ Поэтому матричное уравнение (46.26) эквивалентно алгебраическим уравнениям для собственных значений
\[
n_{k}^{\prime 2}=n_{k}^{\prime}, n_{k}^{\prime 2}=n_{k}^{\prime \prime}, \ldots
\]

Эти квадратные уравнения имеют по два корня, равных 0 и 1 . Поэтому собственные значения каждого из операторов $N_{k}$ равны 0 и 1 , и частицы подчиняются принципу Паули. Как и раньше, собственные значения оператора $N=\sum_{k} N_{k}$ представляют собой положительные целые числа (или нуль). Найденные выше выражения для гамильтониана (46.22) и (46.23) остаются неизменными, а собственные значения оператора энергии равны $\sum_{k} n_{k} E_{k}$.

Уравнения движения.
Чтобы найти квантовое уравнение движения для $\psi$ в случае гамильтониана (46.5), нужно решить, остается ли в силе общий вид (45.23) уравнения движения. Указанное уравнение было получено заменой в (45.20) классических скобок Пуассона на квантовые (т. е. на коммутаторы). Основанием для такой записи служила аналогия с теорией частиц, излагавшейся в § 23, тождественность алгебраических свойств (23.12) для скобок обоего рода и, наконец, излагавшиеся в гл. VI (задача 10) соображения соответствия. Таким образом, отказ от уравнения (45.23) означает также и отказ от классического уравнения (45.20). Поскольку многие интересующие нас величины (число частиц, энергия и т. д.) имеют вполне определенные классические аналоги, мы по-прежнему будем писать квантовое уравнение движения в виде (45.23).

Соответственно для оператора $\psi$ мы получим уравнение (46.7), где теперь при вычислении правой части нужно использовать соотношения антикоммутации (46.24). Поэтому соотношение (46.8) заменяется следующим :
\[
\begin{array}{c}
\int V^{\prime}\left(\psi \psi^{* \prime} \psi^{\prime}-\psi^{* \prime} \psi^{\prime} \psi\right) d \tau^{\prime}=\int V^{\prime}\left(\psi \psi^{* \prime}+\psi^{* \prime} \psi\right) \psi^{\prime} d \tau^{\prime}= \\
=\int V^{\prime} \psi^{\prime} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}=V \psi .
\end{array}
\]

Аналогичное преобразование первого члена в правой части (46.7) не изменяет правой части (46.9). Поэтому при замене коммутаторов на антикоммутаторы волновое уравнение (46.2) остается неизменным. Легко показать также, что как $N$, так и значения антикоммутаторов в (46.24) представляют собой интегралы движения.

Физический смысл антикоммутации.
Поскольку антикоммутаторы не обладают алгебраическими свойствами скобок Пуассона, можно заключить, что величины $\psi$ и $a_{k}$, удовлетворяющие соотношениям (46.24) и (46.25), не имеют классических аналогов. Это, однако, не означает отсутствия таких аналогов у операторов $N$ и $H$ : последние представляют собой билинейные комбинации $\psi$ или $a_{k}$ и коммутируют друг с.другом.

Эти выводы можно подтвердить физическими соображениями. Чтобы амплитуду поля можно было измерить классическим путем, она должна быть достаточно велика, а для этого необходимо, чтобы в одном и том же состоянии было очень много частиц (тогда их поля когерентны). Следовательно, такие частицы должны подчиняться статистике Бозе — Эйнштейна. Так, например, можно утверждать, что световые кванты (фотоны) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, ибо известно, что действительно можно создать сильные электрические и магнитные поля и измерить их классическим путем. С другой стороны, в случае электронов в металле, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, величины типа энергии, заряда и плотность тока можно измерить классически, поскольку они допускают представление в виде билинейных комбинаций амплитуд поля, тогда как амплитуда электронного поля сама по себе не является измеримой1).

Представление антикоммутирующих операторов $a_{k}$.
Явное представление операторов, фигурирующих в (46.25), легко получить в гипотетическом, но поучительном случае, когда система имеет только одно состояние. Тогда задача сводится к решению матричных уравнений
\[
a^{2}=a^{* 2}=0, \quad a a^{*}+a^{*} a=1, \quad N=a^{*} a .
\]

Но такие уравнения уже решались в задаче 3 в гл. VI. Мы уже видели [см. (46.26)], что $N^{2}=N$, так что собственные значения $N$ равны 0 и 1. Если вырождение отсутствует, то $N$ можно представить в виде диагональной матрицы
\[
N=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \text {. }
\]

Интересно отметить, что матрицу $a$ нельзя диагонализовать, так как $N$ имеет отличное от нуля собственное значение. В противном случае первое из уравнений (46.27) означало бы, что квадраты всех собственных значений $a$ равны нулю. Это означало бы, что $a$, а потому также $a^{*}$ и $N$, тождественно равны нулю и, следовательно, матрица $N$ ни в каком представлении не могла бы иметь вид (46.28).

Явные выражения матриц $a$ и $a^{*}$, согласующиеся с и (46.28), имеют вид
\[
a=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right), \quad a^{*}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Два волновых функционала, описывающие два возможных состояния данной системы, можно представить в виде
\[
\Psi(0)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \quad \Psi(1)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) .
\]

Легко видеть, что первому из них принадлежит нулевое собственное значение оператора $N$, а второму — собственное значение, равное 1. Из (46.29) и (46.30) легко получаются соотношения:
\[
a \Psi(n)=n \Psi(1-n), a^{*} \Psi(n)=(1-n) \Psi(1-n), n=0,1 .
\]

Поэтому $a$ и $a^{*}$ снова играют роль соответственно операторов уничтожения и порождения.

В практически встречающихся задачах число состояний системы бесконечно, и выписывать явные матричные представления типа (46.28) — (46.30) оказывается неудобным. Однако можно найти результат действия операторов $a_{\mathfrak{k}}$ и $a_{k}^{*}$ на волновой функционал $\Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right)$, соответствующий собственному значению $n_{k}$ (0 или 1) оператора $N_{k}$. Искомые соотношения имели бы вид (46.31), если бы не то обстоятельство, что система подобных уравнений (с дополнительными индексами) не удовлетворяет первым двум равенствам (46.25).

В связи с этим мы поступим следующим образом. Расположим состояния системы в произвольном, но определенном порядке: $1,2, \ldots, k$. Тогда действие операторов $a_{k}$ или $a_{k}^{*}$ на $\Psi$ с точностью до знака определяется равенствами (46.31), причем появление знака плюс или минус в правой части зависит от четности или нечетности числа занятых состояний, предшествующих состоянию $k$. Иначе говоря, вместо соотношений (46.21) получаем
\[
\begin{aligned}
a_{k} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{1}, \ldots\right) & =\theta_{k} n_{k} \Psi\left(n_{1}, \ldots, 1-n_{k}, \ldots\right), \\
a_{k}^{*} \Psi\left(n_{1}, \ldots, n_{k}, \ldots\right) & =\theta_{k}\left(1-n_{k}\right) \Psi\left(n_{1}, \ldots, 1-n_{k}, \ldots\right), \\
\theta_{k} & =(-1)^{\boldsymbol{v}_{i}}, \quad
u_{i}=\sum_{j=1}^{k-1} n_{j} .
\end{aligned}
\]

Вычислим, например, результат действия операторов $a_{k} a_{l}$ и $a_{l} a_{k}$ на волновой функционал $\Psi$, причем для определенности будем считать $l>k$. Если при каждой операции результат отличен от нуля, то в первоначальном волновом функционале оба числа $n_{k}$ и $n_{l}$ должны равняться единице. При действии оператора $a_{k} a_{l}$ освобождается сначала $l$-е, а затем $k$-е состояние и появляется множитель $\theta_{l} \theta_{k}$. При действии оператора $a_{l} a_{k}$ освобождается сначала $k$ е состояние, так что $\theta_{k}$ остается неизменным. Но в этом случае при освобождении $l$-го состояния в предыдущих состояниях имеется на одну частицу меньше, чем раньше, так как $k$-е состояние теперь уже свободно (тогда как раньше оно было занято). Соответственно изменяется знак $\theta_{l}$. В результате в соответствии с первым из соотношений (46.25) мы получим
\[
a_{k} a_{l} \Psi=-a_{l} a_{k} \Psi .
\]

Аналогично можно показать, что соотношения (46.32) согласуются с результатом действия двух других операторных уравнений (46.25) на произвольный функционал $\Psi$. Поскольку совокупность волновых функционалов характеризует все возможные состояния системы многих частиц, они образуют полную систему, и из (46.32) вытекает справедливость операторных уравнений (46.25).