В качестве второго примера рассмотрим квантование релятивистского уравнения Дирака (43.3), описывающего свободный электрон. Уравнение для одной частицы снова будем рассматривать как классическое уравнение поля. Соответствующая теория квантованного поля описывает движение многих невзаимодействующих свободных электронов.

Уравнения Лагранжа и Гамильтона.
Волновая фунцция Дирака $\psi$ имеет четыре компоненты, которые мы обозначим через $\psi_{j}(j=1,2$, 3,4 ). В качестве плотности лагранжиана можно взять выражение
\[
\boldsymbol{L}=\sum_{j} \bar{\psi}_{j}\left(i \hbar \dot{\psi}_{j}-i \hbar c \sum_{l} \alpha_{j l} \cdot \operatorname{grad} \psi+m c^{2} \sum_{l} \beta_{j l} \psi_{l}\right),
\]

где матрицы $\alpha_{j l}$ и $\beta_{j l}$ имеют вид (43.12). Теперь следует воспользоваться обобщением теории поля на случай нескольких компонент (см. конец § 45). Варьируя $\psi_{l}$ – одну из компонент $\psi$, получаем уравнение типа (45.8):
\[
m c^{2} \sum_{j} \bar{\psi}_{j} \beta_{j l}+i \hbar c \sum_{j} \operatorname{grad} \tilde{\varphi}_{j} \cdot \alpha_{j l}-i \hbar \dot{\psi}_{l}=0 .
\]

Интеграл по поверхности обращается в нуль либо вследствие обращения $\psi$ в нуль на бесконечности, либо в силу периодических граничных условий.

В § 32 мы уже видели, что электроны подчиняются принципу Паули. Поэтому при квантовании поля мы будем считать, что компоненты $\psi$ подчиняются соотношениям антикоммутации. Последние с помощью (47.4) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{j}(\mathbf{r}), \psi_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\psi_{j}^{*}(\mathbf{r}), \psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+}=0,} \\
{\left[\psi_{j}(\mathbf{r}), \psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{j l} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) .}
\end{array}
\]

Замена $\bar{\psi}_{j}$ на $\psi_{j}^{*}$ связана с тем, что теперь компоненты $\psi_{j}$ представляют собой не функции, а операторы. Под $\psi^{*}$ мы подразумеваем матрицу с одной строкой и четырьмя столбцами, элементами которой являются операторы $\psi_{j}^{*}$.

Квантовое уравнение движения для $\psi$ получается заменой в (45.23) $F$ на $\psi_{j}$, причем гамильтониан $H$ дается формулой (47.6) или (47.7):
\[
i \hbar \dot{\psi}_{i}=\left[\psi_{j}, \int\left(i \hbar c \sum_{k l} \psi_{k}^{* \prime} \alpha_{k l} \cdot \operatorname{grad}^{\prime} \psi_{l}^{\prime}-m c^{2} \sum_{k l} \psi_{k}^{* \prime} \beta_{k l} \psi_{l}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}\right] .
\]

Штрихи означают, что в качестве переменной интегрирования вместо $\mathbf{r}$ берется $\mathbf{r}^{\prime}$. При помощи соотношений (47.8) второй член в правой части можно преобразовать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{j}, \int-m c^{2} \sum_{k l} \psi_{k}^{* \prime} \beta_{k l} \psi_{l}^{\prime} d \tau^{\prime}\right]=} \\
\quad=-m c^{2} \sum_{k l} \beta_{k l} \int\left[\psi_{j}, \psi_{k}^{* \prime} \psi_{l}^{\prime}\right] d \tau^{\prime}= \\
\quad=-m c^{2} \sum_{k l} \beta_{k l} \int\left(\psi_{j} \psi_{k}^{* \prime} \psi_{l}^{\prime}-\psi_{k}^{* \prime} \psi_{l}^{\prime} \psi_{j}\right) d \tau^{\prime}= \\
\quad=-m c^{2} \sum_{\tilde{k l}} \beta_{k l} \int\left(\psi_{j} \psi_{k}^{* \prime}+\psi_{k}^{* \prime} \psi_{*}\right) \psi_{l}^{\prime} d \tau^{\prime}= \\
\quad=-m c^{2} \sum_{k l} \beta_{k l} \delta_{j k} \int \psi_{l}^{\prime} \delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}=-m c^{2} \sum_{l} \beta_{j l} \psi_{l} .
\end{array}
\]

Первый член в правой части (47.9) вычисляется таким же образом, поскольку $\psi_{j}$ антикоммутирует как с $\psi_{l}^{\prime}$, так и с grad’ $\psi_{l}^{\prime}$.
\[
\left[\psi_{j}, \int i \hbar c \sum_{k l} \psi_{k}^{* \prime} \alpha_{k l} \cdot \operatorname{grad}^{\prime} \psi_{l}^{\prime} d \tau^{\prime}\right]=i \hbar c \sum_{l} \alpha_{j l} \cdot \operatorname{grad} \psi_{l} .
\]

Таким образом, четыре уравнения типа (47.9) эквивалентны уравнению Дирака (47.3). Аналогичный расчет показывает, что

из четырех уравнений $i \hbar \dot{\psi}_{j}^{*}=\left[\psi_{j}^{*}, H\right]$ получается уравнение, эрмитово сопряженное с (47.3).

Оператор полного числа $N$ электронов в поле можно записать в виде
\[
N=\int \psi^{*} \psi d \tau=\int \sum \psi_{j}^{*} \psi_{j} d \tau
\]

Этот оператор эрмитов. Нетрудно показать также, что
\[
i \hbar \dot{N}=[N, H]=0,
\]
т. е. $N$ является интегралом движения (см. задачу 13). Как и в нерелятивистской теории (§ 46), можно показать, что значения антикоммутаторов в (47.8) не изменяются с течением времени.

$\boldsymbol{N}$-представление.
Чтобы найти представление, в котором оператор $N$ диагонален, оказывается удобным разложить $\psi$ по плоским волнам, удовлетворяющим уравнению Дирака для свободного электрона. Весь расчет протекает так же, как и в предыдущем параграфе, но несколько осложняется наличием нескольких компонент у дираковского поля. Различные компоненты мы по-прежнему будем обозначать индексами $j$ или $l$ (принимающими четыре значения). Волновой вектор плоской волны (равный импульсу, деленному на $\hbar$ ) будем обозначать через k. Будем считать, что плоские волны подчиняются периодическим граничным условиям на стенках куба с ребром $L$.

B § 43 мы видели, что каждому значению $\mathbf{k}$ соответствуют четыре решения, которые мы будем различать индексом $s(s=1,2$, $3,4)$. Таким образом, решение уравнения Дирака для одного свободного электрона характеризуется величинами $\mathbf{k}$ и $s$. Полная система таких решений, ортонормированная в кубе объема $L^{3}$, имеет вид
\[
v_{j}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r})=u_{j}(\mathbf{k}, s) L^{-3 / 2} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} .
\]

Здесь величины $u_{j}(\mathbf{k}, s)$ представляют собой числа, которые можно найти, умножая четыре значения $u_{j}$, определяемые формулами (43.17) и (43.18), на указанный там нормирующий множитель. Два решения (43.17) мы будем обозначать, полагая $s$ равным 1 и 2 ; они соответствуют двум ориентациям спина при положительном значении энергии
\[
E_{\mathbf{k}_{s}}=+\left(\hbar^{2} c^{2} \mathbf{k}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}, \quad s=1,2 .
\]

Два решения (43.18) соответствуют отрицательному значению энергии :
\[
E_{\mathbf{k} s}=-\left(\hbar^{2} c^{2} \mathbf{k}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}, \quad s=3,4 .
\]

Состолния с отрицательной энергией и позитроны.
Все результаты, полученные до сих пор в настоящем параграфе, не зависят от того, коммутируют или антикоммутируют различные операторы $\psi$ и $a$. Поэтому может показаться, что теория Дирака способна описывать қак частицы с целым спином подчиняющиеся статистике Бозе – Эйнштейна, так и электроны, подчиняющиеся принципу Паули. Однако легко видеть, что оператор энергии поля (47.18) имеет отрицательные собственные значения сколь угодно большой абсолютной величины, соответствующие электронам в состояниях с отрицательной энергией $(s=3,4)$. Существование подобных собственных значений означает, что при учете электромагнитных взаимодействий равновесное состояние поля вообще невозможно, так как электрон будет излучать фотоны, переходя при этом в состояния со все более низкой энергией. Если предположить, что частицы подчиняются статистике Бозе Эйнштейна, то избежать этой трудности невозможно.

Дирак предложил ${ }^{1}$ исключить из теории нежелательные переходы в состояния с отрицательной энергией, предположив, что в нормальном состоянии вакуума все состояния с положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты :
\[
N_{\mathrm{k} 1}=N_{\mathrm{k} 2}=0, N_{\mathrm{k} 3}=N_{\mathrm{k} 4}=1 \text { для всех k. }
\]

Это состояние поля является равновесным, так как в силу принципа Паули переходы в состояния с отрицательной энергией невозможны. Кроме того, предполагается, что бесконечная плотность электронов с отрицательной энергией не дает каких-либо наблюдаемых электромагнитных или гравитационных эффектов, но отклонения от вакуумных значений (47.19) можно наблюдать обычным образом. Поэтому из операторов полной энергии $(H)$ и полного заряда ( $e N$ ), где $e$ – заряд электрона (отрицательный), следует вычесть вакуумные значения этих величин:
\[
\sum_{\mathbf{k}} \sum_{s=3,4} E_{k s} \text { и } \sum_{\mathbf{k}} \sum_{s=3,4} e .
\]

В результате для полного наблюдэемого заряда получаем выражение :
$e \sum_{\mathbf{k}}\left(\sum_{s=1,2} N_{\mathbf{k} s}-\sum_{s=3,4} N_{\mathbf{k} s}^{\prime}\right), N_{\mathbf{k} s}^{\prime} \equiv 1-N=a(\mathbf{k}, s ; t) a^{*}(\mathbf{k}, s ; t)$.
Собственное значение нового оператора $N_{\mathrm{ks}}^{\prime}$ равно нулю (единице), если состояние ks заполнено (свободно). Аналогично для полной наблюдаемой энергии имеем :
\[
\sum_{\mathbf{k}}\left(\sum_{s=1,2} N_{\mathbf{k s} s} E_{\mathrm{k} s}+\sum_{s=3,4} N_{\mathbf{k} s}^{\prime}\left|E_{\mathbf{k} s}\right|\right) .
\]

В силу (47.20) каждая частица с положительной энергией ведет себя как отрицательно заряженный электрон, тогда как отсутствие частицы с отрицательной энергией проявляется как положительно заряженный электрон. При этом (47.21) показывает, что наблюдаемая энергия положительна и равна сумме положительных членов для всех частиц с положительной энергией и для всех отсутствующих частиц с отрицательной энергией. Поэтому „дырки\” среди занятых состояний с отрицательной энергией естественно истолковывать как положительно заряженные электроны или позитроны. Из соотношения (47.13) между энергией и импульсом вытекает, что позитроны имеют такую же массу покоя, что и электроны. На основе этой теории Дирак предсказал существование позитронов до их открытия в космических лучах ${ }^{1)}$.

Мы видели, что теорию Дирака, описывающую частицы со спином $\hbar_{i} 2$, можно квантовать только в соответствии с принципом Паули. Этот вывод представляет собой частный случай общего результата, полученного Паули [10], согласно которому частицы с нулевым или целым спином подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна, а частицы с полуцелым спином – статистике Ферми – Дирака. Связь между спином и статистикой может быть установлена только для релятивистских теорий. Например, состояния с отрицательной энергией, не позволяющие квантовать уравнение Дирака по статистике Бозе – Эйнштейна, появляются только в релятивистской теории, а нерелятивистское уравнение Шредингера в § 46 успешно квантовалось обоими способами.

Соотношения антикоммутации для различных моментов времени.
Все использовавшиеся до настоящего времени соотношения коммутации и антикоммутации относились к величинам, взятым в один и тот же момент времени. Однако в релятивистской теории есть основания интересоваться такими соотношениями и для величин, соответствующих различным моментам времени. При помощи таких соотношений можно исследовать причинные связи между событиями, происходящими в различные моменты времени в разных точках пространства, и тем самым изучать релятивистские свойства теории поля в целом.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим какую-нибудь физически наблюдаемую величину (например, плотность числа частиц или заряда), которую можно изобразить оператором, зависящим от $\mathbf{r}$ и $t$. Интересно выяснить, при каких условиях ее можно изме-

рить в различных точках пространства – времени так, чтобы одно измерение не мешало другому. Такие измерения можно произвести, если операторы, характеризующие наблюдаемую величину в разных точках, коммутируют друг с другом. В этом случае соответствующие матрицы можно одновременно привести к диагональному виду, и, следовательно, оба измерения дадут точные результаты (собственные значения). Можно ожидать, что величины, взятые в различных точках пространства, но в один и тот же момент времени, будут коммутировать, так как никакое действие не может быть передано на конечное расстояние за нулевой промежуток времени. В нерелятивистской теории это необязательно должно иметь место, так как в ней не налагается ограничений на скорость передачи взаимодействия. В релятивистской же теории следует ожидать коммутации любых величин, если расстояние между точками, в которых они взяты, превышает умноженный на $c$ соответствующий промежуток времени. Поэтому соотношения коммутации или антикоммутации для величин, взятых в различные моменты времени, могут служить для непосредственной физической проверки релятивистского характера теории, тогда как в нерелятивистской теории они не представляют большого интереса.

Обобщение соотношений антикоммутации (47.8) или (47.16) на случай разных моментов времени удобно произвести с помощью уравнений движения для операторов $a$. В силу (45.23), (47.16) и (47.18) имеем
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \dot{a}(\mathbf{k}, s ; t)=[a(\mathbf{k}, s ; t), H]=E_{\mathbf{k} \dot{\delta}} a(\mathbf{k}, s ; t), \\
i \hbar \dot{a}^{*}(\mathbf{k}, s ; t)=\left[a^{*}(\mathbf{k}, s ; t), H\right]=-E_{\mathbf{k} s} a^{*}(\mathbf{k}, s ; t) .
\end{array}
\]

Эти уравнения легко интегрируются, и мы получаем
\[
\begin{aligned}
a(\mathbf{k}, s ; t) & =a(\mathbf{k}, s ; 0) e^{-i E_{\mathbf{k} s} t / \hbar}, \\
a^{*}(\mathbf{k}, s ; t) & =a^{*}(\mathbf{k}, s ; 0) e^{i E_{\mathbf{k} s} t / \hbar} .
\end{aligned}
\]

Равенства (47.16) справедливы для того случая, когда оба момента времени совпадают. Эти моменты можно принять за начало отсчета времени ; тогда на основании (47.22) находим
\[
\begin{array}{c}
{\left[a(\mathbf{k}, s ; t), a\left(\mathbf{k}^{\prime}, s^{\prime} ; t^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[a^{*}(\mathbf{k}, s ; t) a^{*}\left(\mathbf{k}^{\prime}, s^{\prime} ; t^{\prime}\right)\right]_{+}=0,} \\
{\left[a(\mathbf{k}, s ; t), a^{*}\left(\mathbf{k}^{\prime}, s^{\prime} ; t^{\prime}\right)\right]_{+}=\delta_{\mathbf{k k}^{\prime}} \delta_{s s^{\prime}} e^{i E_{\mathbf{k} s}\left(t^{\prime}-t\right) / h} .}
\end{array}
\]

Подставляя (47.23) в (47.15), можно вычислить соотношения антикоммутации для операторов $\psi$, взятых в различные моменты времени. Ясно, что
\[
\left[\psi_{j}(\mathbf{r}, t), \psi_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]_{+}=\left[\psi_{j}^{*}(\mathbf{r}, t), \psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]_{+}=0
\]

Антикоммутатор $\psi$ и $\psi^{*}$ принимает вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{j}(\mathbf{r}, t), \psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]_{+}=} \\
=\sum_{\mathbf{k} \mathbf{k}^{\prime} s s^{\prime}}\left[a(\mathbf{k}, s ; t), a^{*}\left(\mathbf{k}^{\prime}, s^{\prime} ; t^{\prime}\right)\right]_{+} v_{j}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r}) \bar{v}_{t}\left(\mathbf{k}^{\prime}, s^{\prime} ; \mathbf{r}^{\prime}\right)= \\
\quad=\sum_{\mathbf{k s}} v_{j}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r}) \bar{v}_{l}\left(\mathbf{k}, s ; r^{\prime}\right) e^{i E_{\mathbf{k} s}\left(t^{\prime}-t\right) / \hbar} .
\end{array}
\]

Если бы энергия $E_{\mathbf{k s}}$ не имела различных знаков при различных $s$, то последнюю сумму можно было бы сразу упростить с помощью условия полноты
\[
\sum_{s} u_{j}(\mathbf{k}, s) \bar{u}_{l}(\mathbf{k}, s)=\delta_{j l},
\]

вытекающего из выражений (43.17) и (43.18).
Однако соотношением (47.26) все же можно воспользоваться, если переписать экспоненциальные выражения в (47.25) так, чтобы индекс $s$ не входил туда явно. Положим
\[
\begin{aligned}
e^{-i E_{\mathbf{k} s} \tau / \hbar} & =\cos \frac{E_{\mathbf{k} s} \tau}{\hbar}-i \sin \frac{E_{\mathbf{k} s} \tau}{\hbar}= \\
& =\cos \frac{\left|E_{\mathbf{k} s}\right| \tau}{\hbar}-\frac{i E_{\mathbf{k} s}}{\hbar} \frac{\sin \left(\left|E_{\mathbf{k} s}\right| \tau / \hbar\right)}{\left|E_{\mathbf{k} s}\right| / \hbar},
\end{aligned}
\]

где $\tau=t-t^{\prime}, k_{0}=m c / \hbar$, а величина $\left|E_{\mathrm{ks}}\right| / \hbar=+c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}$ не зависит от $s$. Это выражение можно переписать в виде
\[
e^{-i E_{\mathbf{k} s} \tau / \hbar}=\left(\frac{\partial}{\partial \tau}-\frac{i E_{\mathbf{k} s}}{\hbar}\right) \frac{\sin c \tau\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}{c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Остающийся множитель $E_{\mathbf{k} s}$ можно заменить оператором
\[
E_{\mathbf{k} \delta} v_{j}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r})=\sum_{l^{\prime}}\left(i \hbar c \alpha_{j l^{\prime}} \cdot \operatorname{grad}-m c^{2} \beta_{j l^{\prime}}\right) v_{l^{\prime}}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r}) .
\]

Подставляя в (47.25) и пользуясь (47.26), получаем
\[
\begin{array}{l}
{\left[\psi_{j}(\mathbf{r}, t,) \varphi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]_{+}=\sum_{\mathbf{k}, s} \bar{v}_{l}\left(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r}^{\prime}\right) \times} \\
\times \sum_{l^{\prime}}\left(\delta_{j l^{\prime}} \frac{\partial}{\partial \tau}+c \alpha_{j l^{\prime}} \cdot \operatorname{grad}+i c k_{0} \beta_{j l^{\prime}}\right) v_{l^{\prime}}(\mathbf{k}, s ; \mathbf{r}) \frac{\sin c \tau\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}{c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}= \\
=\left(\delta_{j l} \frac{\partial}{\partial \tau}+c \alpha_{j l} \cdot \operatorname{grad}+i c k_{0} \beta_{j l}\right) \sum_{k} L^{-3} e^{i \mathbf{k} \cdot\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)} \frac{\sin c \tau\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}{c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}= \\
=\left(\delta_{i l} \frac{\partial}{\partial t}+c \alpha_{j l} \cdot \operatorname{grad}+i c k_{0} \beta_{j l}\right) D\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}, t-t^{\prime}\right),
\end{array}
\]

где
\[
D(\mathbf{r}, t) \equiv \sum_{\mathbf{k}} L^{-3} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \frac{\sin c t\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}{c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Можно показать, что при $t^{\prime}=t$ выражение (47.27) переходит в третье из соотношений (47.8) (см. задачу 14).

Правила перестановқи для плотности заряда.
В теории Дирака без модификации (47.20), учитывающей наличие позитронов, плотность заряда дается выражением
\[
\varrho(\mathbf{r}, t)=e \psi^{*}(\mathbf{r}, t) \psi(\mathbf{r}, t)=e \sum_{j} \psi_{j}^{*}(\mathbf{r}, t) \psi_{j}(\mathbf{r}, t) .
\]

Чтобы выяснить, в какой степени измерения $\varrho$ в различных точках пространства – времени влияют друг на друга, нужно вычислить коммутатор
\[
\begin{array}{l}
{\left[\varrho(\mathbf{r}, t), \varrho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]=e^{2} \sum_{j l}\left[\psi_{j}^{*}(\mathbf{r}, t) \psi_{j}(\mathbf{r}, t) \psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \psi_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)-\right.} \\
\left.-\psi_{l}^{*}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \psi_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right) \psi_{j}^{*}(\mathbf{r}, t) \psi_{j}(\mathbf{r}, t)\right] . \\
\end{array}
\]

При помощи (47.24) и (47.27) его можно привести к виду
\[
\begin{array}{c}
{\left[\varrho(\mathbf{r}, t), \varrho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\right]=e^{2} \sum_{j l} \psi_{j}^{*}(\mathbf{r}, t) \psi_{l}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)\left(\delta_{j l} \frac{\partial}{\partial t}+c \alpha_{j l} \cdot \operatorname{grad}+i c k_{0} \beta_{j l}\right) \times} \\
\times D\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}, t-t^{\prime}\right)-
i . \text { c. },
\end{array}
\]

где э. с. означает эрмитово сопряженное выражение. Вообще говоря, $\varrho(\mathbf{r}, t)$ коммутирует с $\varrho\left(\mathbf{r}^{\prime}, t^{\prime}\right)$, только если $D\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}, t-t^{\prime}\right)=0$, что заставляет нас исследовать структуру функции $D$. Для этой цели заменим сумму по $\mathbf{k}$ в (47.28) интегралом 1) [cp. (11.14)]:
\[
D(\mathbf{r}, t) \xrightarrow[L \rightarrow \infty]{\longrightarrow}(2 \pi)^{-3} \int e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \frac{\sin c t\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}}{c\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2}} d \tau_{k} .
\]

Интегрирование по полярным углам вектора $\mathbf{k}$ легко выполняется, и мы получаем
\[
\begin{aligned}
D(\mathbf{r}, t) & =\left(2 \pi^{2} r c\right)^{-1} \int_{0}^{\infty} k\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{-1 / 2} \sin k r \cdot \sin c t\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2} d k= \\
& =-\left(4 \pi^{2} r c\right)^{-1} \frac{\partial}{\partial r} \int_{-\infty}^{\infty}\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{-1 / 2} \cos k r \cdot \sin c t\left(k^{2}+k_{0}^{2}\right)^{1 / 2} d k .
\end{aligned}
\]

Подстановка $k=k_{0}$ sh $x$ дает
\[
D(\mathbf{r}, t)=-\left(4 \pi^{2} r c\right)^{-1} \frac{\partial}{\partial r} \int_{-\infty}^{\infty} \cos \left(k_{0} r \operatorname{sh} x\right) \sin \left(k_{0} c t \operatorname{ch} x\right) d x .
\]

Подинтегральное выражение в (47.30) можно переписать в виде $\frac{1}{2} \sin \left(k_{0} c t \cdot \operatorname{ch} x+k_{0} r \operatorname{sh} x\right)+\frac{1}{2} \sin \left(k_{0} c t \cdot \operatorname{ch} x-k_{0} r \cdot \operatorname{sh} x\right)$.

Дальнейшее преобразование зависит от соотношения между величинами сt и $r$. Допустим сначала, что $c t>r$ ( $r>0$ всегда); тогда можно положить
\[
k_{0} c t \operatorname{ch} x \pm k_{0} r \operatorname{sh} x=k_{0}\left(c^{2} t^{2}-r^{2}\right)^{1 / 2} \operatorname{ch}(x \pm \theta), \quad \text { th } \theta \equiv \frac{r}{c t},
\]

и интеграл в (47.30) примет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \sin [z \operatorname{ch}(x+\theta)] d x+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \sin [z \operatorname{ch}(x-\theta)] d x, \\
z \equiv k_{0}\left(c^{2} t^{2}-r^{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Это выражение совпадает с одним из интегральных представлений функции Бесселя ${ }^{11}$ :
\[
J_{0}(z)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \sin (z \operatorname{ch} x) d x .
\]

Оба интеграла в (47.32) одинаковы ; их сумма равна $\pi J_{0}(z)$. Очевидно, при $c t<0,|c t|>r$ интеграл в (47.30) равен – $\pi J_{0}(z)$.

Чтобы рассмотреть случай, когда $c t$ лежит между $r$ и – $r$, предположим сначала, что $r>c t>0$. Аргументы синусов в (47.31) преобразуем следующим образом:
\[
k_{0} c t \operatorname{ch} x \pm k_{0} r \operatorname{sh} x= \pm k_{0}\left(r^{2}-c^{2} t^{2}\right)^{1 / 2} \operatorname{sh}\left(x \pm \theta^{\prime}\right), \text { th } \theta^{\prime} \equiv \frac{c t}{r} .
\]

Тогда интеграл в (47.30) примет вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \sin \left[z^{\prime} \operatorname{sh}\left(x+\theta^{\prime}\right)\right] d x-\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \sin \left[z^{\prime} \operatorname{sh}\left(x-\theta^{\prime}\right)\right] d x \\
z^{\prime} \equiv k_{0}\left(r^{2}-c^{2} t^{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Так как подинтегральные выражения здесь представляют собой нечетные функции от $x+\theta^{\prime}$ и $x-\theta^{\prime}$, то оба интеграла обращаются в нуль. Таким образом, интеграл в (47.30) равен
\[
\begin{array}{cc}
\pi J_{0}\left[k_{0}\left(c^{2} t^{2}-r^{2}\right)^{1 / 2}\right] & \text { для } c t>r, \\
0 & \text { для } r>c t>-r, \\
-\pi J_{0}\left[k_{0}\left(c^{2} t^{2}-r^{2}\right)^{1 / 2}\right] & \text { для }-r>c t .
\end{array}
\]

Тем самым показано, что измерения плотности заряда в двух различных точках пространства – времени не будут влиять друг на друга тогда и только тогда, когда пространственное