Главная > КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА(Л.ШИФФ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Исторически правила квантования Бора-Зоммерфельда, введенные в старой квантовой теории [см. (§2)], занимают промежуточное положение между классической и квантовой механикой. Интересно отметить, что существует приближенный метод решения уравнения Шредингера, выявляющий связь этого уравнения с правилами квантования. Метод основан на разложении волновой функции в ряд по степеням , и, хотя этот ряд оказывается лишь асимптотическим, тем не менее названный метод в некоторых слу-

чаях позволяет явно найти приближенное решение квантовомеханической задачи. Его называют обычно квазиклассическим методом или методом Вентцеля — Крамерса-Бриллюэна (сокращенно BКБ-методом), хотя математический прием, лежащий в его основе, использовался еще Лиувиллем, Рэлеем и Джефрисом 1. Его можно применять в тех случаях, когда в результате разделения переменных задача сводится к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предельный переход к классической механике. Решение волнового уравнения Шредингера (6.16)
iψt=22μabla2ψ+V(r)ψ

можно записать в виде
ψ(r,t)=AeiW(r,t)/,

где функция W удовлетворяет уравнению
Wt+12μ(gradW)2+Vi2μabla2W=0.

В предельном случае классической механики (0 ) равенство (28.1) совпадает с дифференциальным уравнением Гамильтона-Якоби для действия W2 :
Wt+H(r,p)=0,p=gradW.

Поскольку импульс частицы равен градиенту действия, возможные ее траектории ортогональны к поверхностям W= const, т. е. (в классическом предельном случае) к поверхностям постоянной фазы волновой функции. Таким образом, при переходе к классической механике „лучи\», связанные с функцией ψ (траектории, ортогональные к поверхностям постоянной фазы), представляют собой возможные траектории движения частицы.

Если ψ — собственная функция оператора энергии μ(r)eiEt/, то W можно переписать в виде
W(r,t)=S(r)Et.

В этом случае
u(r)=AeiS(r)/,12μ(gradS)2[EV(r)]i2μabla2S=0.

Қвазиклассический метод дает два первых члена (классическое выражение и еще один член) в разложении S по степеням для одномерного случая.

Приближенные решения.
Основное уравнение, которое нам предстоит рассмотреть, записывается в одной из следующих форм:
d2udx2+k2(x)u=0,k2>0,d2udx2x2(x)u=0,x2>0,

так что k и x всегда вещественны. Эти уравнения эквиваленты одномерному волновому уравнению (8.5), если положить
k(x)=+1{2μ[EV(x)]}1/2 при V(x)<E,x(x)=+1{2μ[V(x)E]}}1/2 при V(x)>E.

Уравнения (28.3) и (28.4) эквивалентны также радиальному волновому уравнению (19.2), если заменить x на r,V(r) на
V(r)+2l(l+1)2μr2,

а u на rRl(r).
Обратимся прежде всего к уравнению (28.3); в дальнейшем мы сумеем обобщить решение и на случай (28.4).
Положим
u(x)=AeiS(x)/.

Подставляя это в (28.3), получаем одномерную форму уравнения (28.2):
iSS2+2k2=0
(штрих означает дифференцирование по x ).
Подставим в (28.6) разложение S в ряд по степеням и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :
S=S0+S1+S02+2μ(EV)=0,iS0n2S0S1=0, и т. д. 

Интегрируя эти уравнения, находим
S0(x)=±xk(x)dx,S1(x)=12ilnk(x);

постоянные интегрирования здесь опущены, так как их можно включить в коэффициент A. С даннсй точностью получаем, следо-

вательно, приближенное решение
u(x)=Ak1/2exp(±ixkdx),V<E.

Аналогично в случае (28.4) имеем
u(x)=Bx1/2exp(±xxdx),V>E.

Асимптотический харақтер решений.
0 степени точности квазиклассического приближения можно судить, сравнивая абсолютные величины последовательных членов разложения S,S0 и S1. Если k(x) не равно нулю, то S0 представляет собой возрастающую функцию x. Следовательно, отношение S1/S0 мало, если мала величина S1/S0. В связи с этим можно предположить, что выражение (28.7) будет хорошим приближением для таких значений x, когда
|S1S0|=|k2k2|1.

Поскольку длина волны де Бройля λ в любой точке равна 2π/k, неравенство (28.9) можно переписать в виде
λ4π|dkdx|k,

это означает, что относительное изменение волнового вектора (или длины волны) на расстоянии λ/4π должно быть мало по сравнению с единицей. Поэтому квазиклассический метод полезен лишь при достаточно медленном изменении потенциальной энергии, когда импульс частицы практически постоянен на протяжении многих длин волн.

Такой же критерий получается и в случае (28.8), если только под „длиной волны\» понимать здесь расстояние, на котором абсолютная величина u(x) изменяется в e2π раз.

Условие (28.9), очевидно, нарушается вблизи классических точек поворота, когда V(x)=E, величины k и x равны нулю и „длина волны\» становится бесконечной. Поэтому решения (28.7) и (28.8) справедливы лишь асимптотически, т. е. на расстоянии нескольких длин волн от ближайшей точки поворота (если только, как это обычно бывает, длина волны там изменяется медленно). Эти асимптотические решения мало полезны до тех пор, пока мы не знаем, каким образом связать осциллирующее решение (28.7) с экспоненциальным (28.8) при переходе через точку поворота. Установление такой связи необходимо, например, чтобы наложить граничные условия и получить собственные значения оператора энергии. Вывод соответствуюших формул связи, к которому мы сейчас и обратимся, составляет центральный пункт квазиклассического метода расчета.

будучи величиной второго порядка в отклонении k2 от простого выражения Cxn. Поэтому можно ожидать, что для медленно меняющихся функций V(x) выражение (28.10) будет хорошо апроксимировать точное решение уравнения (28.3).

Линейная точка поворота.
Рассмотрим теперь физически наиболее интересный частный случай n=1. Типичная линейная точка поворота показана на фиг. 25 ; уравнение (28.3) справедливо в области 1(x>0), а (28.4)B области 2(x<0). Положим ξ10xkdx,ξ2x0xdx; тогда при удалении x от точки поворота как ξ1, так и ξ2 возрастает ; это позволяет легко обобщить ре-
Фиг. 25. Типичная линейная точка поворота, когда при x=0V(x)=E.
В области 1E>V(x), в области 2E<V(x). зультаты на тот случай, когда области 1 и 2 меняются местами. В каждой из этих областей два независимых решения запишутся в виде
u1±(x)=A±ξ11/2k1/2J±1/3(ξ1),u2±(x)=B±ξ21/2χ1/2I±1/3(ξ2).
(Ясно, что в области 2 нужно заменить J функцией Бесселя мнимого аргумента I.)

Главные члены разложений при малых ξ и асимптотических разложений для этих функций имеют вид 1)
J±1/3(ξ1)x0(12ξ1)±1/2Γ(1±13),J±1/3(ξ1)x(12πξ1)1/2cos(ξ1π6π4),I±1/3(ξ2)x0(12ξ2)±1/3Γ(1±13)I±1/3(ξ2)x(2πξ2)1/2[eξ2+eξ2e(1/2±1/3)πi].

Важно отметить, что в асимптотическом выражении для I член с eξ2 можно оставить только в том случае, когда выбрана такая линейная комбинация решений I±1/3, что коэффициент при eξ2 равен нулю. Это связано с тем, что мы пренебрегли в асимптотическом разложении членами типа eξ2/ξ2, по абсолютной величине превышающими eξ2. Ввиду асимптотического характера квазиклассического приближения невозможно сказать, будет ли при наличии члена, экспоненциально возрастающего с удалением от точки поворота, иметься и экспоненциально убывающий член.

Формулы связи в точке поворота.
При x=0 главный член в выражении k2 равен Cx, так что
kcx1/2,xc|x|1/2,ξ1(2c3)x3/3,ξ2(2c3)|x|3/3,

где c=+C12. Тогда в силу (28.14) и (28.15) поведение функции u вблизи точки x=0 определяется формулами :
u1+A+(23)1/2(13c)1/3Γ(43)x,u1A(23)1/2(13c)1/3Γ(23),u2+B+(23)1/2(13c)1/3Γ(43)|x|,u2B(23)1/2(13c)1/3Γ(23).

Отсюда ясно, что u1+непрерывно переходит в u2+, если B+=A+, а u1непрерывно переходит в u2, если B=A.

С помощью этих соотношений между коэффициентами можно найти асимптотические представления типа (28.7) и (28.8) для двух независимых решений u+и uв двух областях (произвольные постоянные множители A±опускаются):
u+x+(12πk)1/2cos(ξ15π12),u+x(2πx)1/2(eξ2+eξx5πi6)ux+(12πk)1/2cos(ξ1π12),ux(2πx)1/2(eξ2+eξ3πi6)

Пользуясь (28.16), можно найти асимптотические представления произвольных линейных комбинаций u+и u.

В точке поворота x1, отделяющей область типа 2 от области типа 1 (где x1<x<x2 ), можно воспользоваться формулой связи (28.17). Единственное отличие состоит в том, что нижний предел в интеграле ξ1 нужно взять равным не нулю, а x1. Таким образом, справа от точки поворота решение имеет вид (с точностью до произвольного постоянного множителя) :
k1/2cos(x1xkdxπ4).

Этой же формулой связи можно воспользоваться и в точке x2, если изменить направление оси x на обратное и в качестве фиксированного предела в интеграле ξ взять x2, а не нуль; стрелка в (28.17)
Фиг. 26. Применение квазиклассического метода к задаче о движении в потенциальной яме.
Точки x1 и x2 представляют собой линейные точки поворота.

по-прежнему означает, что мы переходим от решения в области 2 к решению в области 1 , но теперь последняя находится слева от точки поворота, а первая — справа. Изменим определения ξ1 и ξ2, полагая
ξ1=xx3kdx,ξ2=x2xxdx,

так что при удалении от точки поворота эти величины по-прежнему возрастают. В этом случае формулой (28.17) можно пользоваться без каких-либо изменений. Решение слева от данной точки поворота есть k1/2cos(xx2kdxπ4), что можно переписать
в виде
k1/2cos(x2xkdxπ4η),ηx1x2kdxπ2.

Как и при качественном обсуждении вопроса о дискретных уровнях в § 8, уровни энергии данной системы можно найти, требуя, чтобы два решения (28.19) и (28.20) в области 1 непрерывно переходили друг в друга. Так как интеграл x1x2kdx обязательно больше нуля, отсюда, очевидно, следует, что величина η должна быть равна или нулю, или целому кратномул. Соответственно уравнение для определения собственных значений можно записать в виде
x1x2kdx=(n+12)π,n=0,1,2,

Соотношение (28.21) можно применять вплоть до значений n, соответствующих столь большой энергии E, что одна или обе точки поворота исчезают.

Правила квантования.
Подставляя выражение (28.5) для k в (28.21), получаем одно из правил квантования Бора-Зоммерфельда, использовавшихся в старой квантовой теории:
2xIx2{2μ[EV(x)]}1/2dx=(n+12)h;

здесь в левой части стоит интеграл от импульса [2μ(EV)]1/2, взятый по полному периоду классического движения (т. е. для движения от x1 к x2 и обратно к x1 ). Правая часть представляет собой квантовое значение фазового интеграла, но не с целыми, а с полуцелыми квантовыми числами.

Из решения в форме (28.20) явствует, что n представляет собой число узлов квазиклассической волновой функции в области между точками поворота. Поскольку в квазиклассическом методе асимптотические решения типа (28.7) справедливы лишь на расстоянии нескольких длин волн от каждой из точек поворота, наша апроксимация имеет смысл только в том случае, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн; иначе говоря, число n должно быть велико по сравнению с единицей. Это оправдывает название метода, так как он оказывается наиболее полезным в почти классической области, когда квантовые числа велики.

Фактически, однако, квазиклассическое приближение в целом ряде случаев может дать достаточно хорошие результаты и для низших квантовых состояний. Так, если применить соотношение (28.22) к гармоническому осциллятору, когда V(x)=Kx2/2, то, как известно из старой квантовой теории, правильные уровни энергии получаются для всех квантовых чисел.

1
Оглавление
email@scask.ru