Исторически правила квантования Бора-Зоммерфельда, введенные в старой квантовой теории [см. (§2)], занимают промежуточное положение между классической и квантовой механикой. Интересно отметить, что существует приближенный метод решения уравнения Шредингера, выявляющий связь этого уравнения с правилами квантования. Метод основан на разложении волновой функции в ряд по степеням $\hbar$, и, хотя этот ряд оказывается лишь асимптотическим, тем не менее названный метод в некоторых слу-

чаях позволяет явно найти приближенное решение квантовомеханической задачи. Его называют обычно квазиклассическим методом или методом Вентцеля – Крамерса-Бриллюэна (сокращенно $B К Б$-методом), хотя математический прием, лежащий в его основе, использовался еще Лиувиллем, Рэлеем и Джефрисом ${ }^{1}$. Его можно применять в тех случаях, когда в результате разделения переменных задача сводится к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предельный переход к классической механике. Решение волнового уравнения Шредингера (6.16)
\[
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu}
abla^{2} \psi+V(\mathrm{r}) \psi
\]

можно записать в виде
\[
\psi(\mathbf{r}, t)=A e^{i W(r, t) / \hbar},
\]

где функция $W$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+\frac{1}{2 \mu}(\operatorname{grad} W)^{2}+V-\frac{i \hbar}{2 \mu}
abla^{2} W=0 .
\]

В предельном случае классической механики $(\hbar \rightarrow 0$ ) равенство (28.1) совпадает с дифференциальным уравнением Гамильтона-Якоби для действия $W^{2}$ :
\[
\frac{\partial W}{\partial t}+H(\mathbf{r}, \mathbf{p})=0, \quad \mathbf{p}=\operatorname{grad} W .
\]

Поскольку импульс частицы равен градиенту действия, возможные ее траектории ортогональны к поверхностям $W=$ const, т. е. (в классическом предельном случае) к поверхностям постоянной фазы волновой функции. Таким образом, при переходе к классической механике „лучи\”, связанные с функцией $\psi$ (траектории, ортогональные к поверхностям постоянной фазы), представляют собой возможные траектории движения частицы.

Если $\psi$ – собственная функция оператора энергии $\mu(\mathbf{r}) e^{-i E t / \hbar}$, то $W$ можно переписать в виде
\[
W(\mathbf{r}, t)=S(\mathbf{r})-E t .
\]

В этом случае
\[
u(\mathbf{r})=A e^{i S(\mathbf{r}) / \hbar}, \frac{1}{2 \mu}(\operatorname{grad} S)^{2}-[E-V(\mathbf{r})]-\frac{i \hbar}{2 \mu}
abla^{2} S=0 .
\]

Қвазиклассический метод дает два первых члена (классическое выражение и еще один член) в разложении $S$ по степеням $\hbar$ для одномерного случая.

Приближенные решения.
Основное уравнение, которое нам предстоит рассмотреть, записывается в одной из следующих форм:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}+k^{2}(x) u=0, & k^{2}>0, \\
\frac{d^{2} u}{d x^{2}}-x^{2}(x) u=0, & x^{2}>0,
\end{array}
\]

так что $k$ и $x$ всегда вещественны. Эти уравнения эквиваленты одномерному волновому уравнению (8.5), если положить
\[
\begin{array}{lll}
k(x)=+\frac{1}{\hbar}\{2 \mu[E-V(x)]\}^{1 / 2} & \text { при } & V(x)<E, \\
\left.x(x)=+\frac{1}{\hbar}\{2 \mu[V(x)-E]\}\right\}^{1 / 2} & \text { при } & V(x)>E .
\end{array}
\]

Уравнения (28.3) и (28.4) эквивалентны также радиальному волновому уравнению (19.2), если заменить $x$ на $r, V(r)$ на
\[
V(r)+\frac{\hbar^{2} l(l+1)}{2 \mu r^{2}},
\]

а $u$ на $r R_{l}(r)$.
Обратимся прежде всего к уравнению (28.3); в дальнейшем мы сумеем обобщить решение и на случай (28.4).
Положим
\[
u(x)=A e^{i S(x) / \hbar} .
\]

Подставляя это в (28.3), получаем одномерную форму уравнения (28.2):
\[
i \hbar S^{\prime \prime}-S^{\prime 2}+\hbar^{2} k^{2}=0
\]
(штрих означает дифференцирование по $x$ ).
Подставим в (28.6) разложение $S$ в ряд по степеням $\hbar$ и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $\hbar$ :
\[
\begin{array}{c}
S=S_{0}+\hbar S_{1}+\ldots-S_{0}^{\prime 2}+2 \mu(E-V)=0, \\
i S_{0}^{n}-2 S_{0}^{\prime} S_{1}^{\prime}=0, \text { и т. д. }
\end{array}
\]

Интегрируя эти уравнения, находим
\[
S_{0}(x)= \pm \hbar \int^{x} k\left(x^{\prime}\right) d x^{\prime}, \quad S_{1}(x)=\frac{1}{2} i \ln k(x) ;
\]

постоянные интегрирования здесь опущены, так как их можно включить в коэффициент $A$. С даннсй точностью получаем, следо-

вательно, приближенное решение
\[
u(x)=A k^{-1 / 2} \exp \left( \pm i \int^{x} k d x\right), \quad V<E .
\]

Аналогично в случае (28.4) имеем
\[
u(x)=B x^{-1 / 2} \exp \left( \pm \int^{x} x d x\right), \quad V>E .
\]

Асимптотический харақтер решений.
0 степени точности квазиклассического приближения можно судить, сравнивая абсолютные величины последовательных членов разложения $S, S_{0}$ и $\hbar S_{1}$. Если $k(x)$ не равно нулю, то $S_{0}$ представляет собой возрастающую функцию $x$. Следовательно, отношение $\hbar S_{1} / S_{0}$ мало, если мала величина $\hbar S_{1}^{\prime} / S_{0}^{\prime}$. В связи с этим можно предположить, что выражение (28.7) будет хорошим приближением для таких значений $x$, когда
\[
\left|\frac{\hbar S_{1}^{\prime}}{S_{0}^{\prime}}\right|=\left|\frac{k^{\prime}}{2 k^{2}}\right| \ll 1 .
\]

Поскольку длина волны де Бройля $\lambda$ в любой точке равна $2 \pi / k$, неравенство (28.9) можно переписать в виде
\[
\frac{\lambda}{4 \pi}\left|\frac{d k}{d x}\right| \ll k,
\]

это означает, что относительное изменение волнового вектора (или длины волны) на расстоянии $\lambda / 4 \pi$ должно быть мало по сравнению с единицей. Поэтому квазиклассический метод полезен лишь при достаточно медленном изменении потенциальной энергии, когда импульс частицы практически постоянен на протяжении многих длин волн.

Такой же критерий получается и в случае (28.8), если только под „длиной волны\” понимать здесь расстояние, на котором абсолютная величина $u(x)$ изменяется в $e^{2 \pi}$ раз.

Условие (28.9), очевидно, нарушается вблизи классических точек поворота, когда $V(x)=E$, величины $k$ и $x$ равны нулю и „длина волны\” становится бесконечной. Поэтому решения (28.7) и (28.8) справедливы лишь асимптотически, т. е. на расстоянии нескольких длин волн от ближайшей точки поворота (если только, как это обычно бывает, длина волны там изменяется медленно). Эти асимптотические решения мало полезны до тех пор, пока мы не знаем, каким образом связать осциллирующее решение (28.7) с экспоненциальным (28.8) при переходе через точку поворота. Установление такой связи необходимо, например, чтобы наложить граничные условия и получить собственные значения оператора энергии. Вывод соответствуюших формул связи, к которому мы сейчас и обратимся, составляет центральный пункт квазиклассического метода расчета.

будучи величиной второго порядка в отклонении $k^{2}$ от простого выражения $\mathrm{C} x^{n}$. Поэтому можно ожидать, что для медленно меняющихся функций $V(x)$ выражение (28.10) будет хорошо апроксимировать точное решение уравнения (28.3).

Линейная точка поворота.
Рассмотрим теперь физически наиболее интересный частный случай $n=1$. Типичная линейная точка поворота показана на фиг. 25 ; уравнение (28.3) справедливо в области $1(x>0)$, а $(28.4)-\mathrm{B}$ области $2(x<0)$. Положим $\xi_{1} \equiv \int_{0}^{x} k d x, \quad \xi_{2} \equiv \int_{x}^{0} x d x ;$ тогда при удалении $x$ от точки поворота как $\xi_{1}$, так и $\xi_{2}$ возрастает ; это позволяет легко обобщить ре-
Фиг. 25. Типичная линейная точка поворота, когда при $x=0 \quad V(x)=E$.
В области $1 E>V(x)$, в области $2 E<V(x)$. зультаты на тот случай, когда области 1 и 2 меняются местами. В каждой из этих областей два независимых решения запишутся в виде
\[
\begin{array}{l}
u_{1}^{ \pm}(x)=A_{ \pm} \xi_{1}^{1 / 2} k^{-1 / 2} J_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{1}\right), \\
u_{2}^{ \pm}(x)=B_{ \pm} \xi_{2}^{1 / 2} \chi^{-1 / 2} I_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{2}\right) .
\end{array}
\]
(Ясно, что в области 2 нужно заменить $J$ функцией Бесселя мнимого аргумента I.)

Главные члены разложений при малых $\xi$ и асимптотических разложений для этих функций имеют вид ${ }^{1)}$
\[
\begin{array}{l}
J_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{1}\right) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{\longrightarrow} \frac{\left(\frac{1}{2} \xi_{1}\right)^{ \pm 1 / 2}}{\Gamma\left(1 \pm \frac{1}{3}\right)}, \\
J_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{1}\right) \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{\longrightarrow}\left(\frac{1}{2} \pi \xi_{1}\right)^{-1 / 2} \cos \left(\xi_{1} \mp \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}\right), \\
I_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{2}\right) \xrightarrow[x \rightarrow 0]{ } \frac{\left(\frac{1}{2} \xi_{2}\right)^{ \pm 1 / 3}}{\Gamma\left(1 \pm \frac{1}{3}\right)} \\
I_{ \pm 1 / 3}\left(\xi_{2}\right) \xrightarrow[x \rightarrow \infty]{\longrightarrow}\left(2 \pi \xi_{2}\right)^{-1 / 2}\left[e^{\xi_{2}}+e^{-\xi_{2}} e^{-(1 / 2 \pm 1 / 3) \pi i}\right] .
\end{array}
\]

Важно отметить, что в асимптотическом выражении для $I$ член с $e^{-\xi_{2}}$ можно оставить только в том случае, когда выбрана такая линейная комбинация решений $I_{ \pm 1 / 3}$, что коэффициент при $e^{\xi_{2}}$ равен нулю. Это связано с тем, что мы пренебрегли в асимптотическом разложении членами типа $e^{\xi_{2}} / \xi_{2}$, по абсолютной величине превышающими $e^{-\xi_{2}}$. Ввиду асимптотического характера квазиклассического приближения невозможно сказать, будет ли при наличии члена, экспоненциально возрастающего с удалением от точки поворота, иметься и экспоненциально убывающий член.

Формулы связи в точке поворота.
При $x=0$ главный член в выражении $k^{2}$ равен $C x$, так что
\[
k \approx c x^{1 / 2}, \quad x \approx c|x|^{1 / 2}, \quad \xi_{1} \approx\left(\frac{2 c}{3}\right) x^{3 / 3}, \quad \xi_{2} \approx\left(\frac{2 c}{3}\right)|x|^{3 / 3},
\]

где $c=+C^{\frac{1}{2}}$. Тогда в силу (28.14) и (28.15) поведение функции $u$ вблизи точки $x=0$ определяется формулами :
\[
\begin{array}{l}
u_{1}^{+} \approx A_{+} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{3} c\right)^{1 / 3}}{\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)} x, \quad u_{1}^{-} \approx A_{-} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{3} c\right)^{-1 / 3}}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)}, \\
u_{2}^{+} \approx B_{+} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{3} c\right)^{1 / 3}}{\Gamma\left(\frac{4}{3}\right)}|x|, u_{2} \approx B_{-} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{3} c\right)^{-1 / 3}}{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right)} .
\end{array}
\]

Отсюда ясно, что $u_{1}^{+}$непрерывно переходит в $u_{2}^{+}$, если $B_{+}=-A_{+}$, а $u_{1}^{-}$непрерывно переходит в $u_{2}^{-}$, если $B_{-}=A_{-}$.

С помощью этих соотношений между коэффициентами можно найти асимптотические представления типа (28.7) и (28.8) для двух независимых решений $u^{+}$и $u^{-}$в двух областях (произвольные постоянные множители $A_{ \pm}$опускаются):
\[
\begin{array}{l}
u^{+} \xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{ }\left(\frac{1}{2} \pi k\right)^{-1 / 2} \cos \left(\xi_{1}-\frac{5 \pi}{12}\right), \\
u^{+} \xrightarrow[x \rightarrow-\infty]{\longrightarrow}-(2 \pi x)^{-1 / 2}\left(e^{\xi_{2}}+e^{\left.-\xi_{x}-\frac{5 \pi i}{6}\right)}\right. \text {, } \\
u^{-} \xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{ }\left(\frac{1}{2} \pi k\right)^{-1 / 2} \cos \left(\xi_{1}-\frac{\pi}{12}\right), \\
u^{-} \xrightarrow[x \rightarrow-\infty]{ }(2 \pi x)^{-1 / 2}\left(e^{\xi_{2}}+e^{-\xi_{3}-\frac{\pi i}{6}}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Пользуясь (28.16), можно найти асимптотические представления произвольных линейных комбинаций $u^{+}$и $u^{-}$.

В точке поворота $x_{1}$, отделяющей область типа 2 от области типа 1 (где $x_{1}<x<x_{2}$ ), можно воспользоваться формулой связи (28.17). Единственное отличие состоит в том, что нижний предел в интеграле $\xi_{1}$ нужно взять равным не нулю, а $x_{1}$. Таким образом, справа от точки поворота решение имеет вид (с точностью до произвольного постоянного множителя) :
\[
k^{-1 / 2} \cos \left(\int_{x_{1}}^{x} k d x-\frac{\pi}{4}\right) .
\]

Этой же формулой связи можно воспользоваться и в точке $x_{2}$, если изменить направление оси $x$ на обратное и в качестве фиксированного предела в интеграле $\xi$ взять $x_{2}$, а не нуль; стрелка в (28.17)
Фиг. 26. Применение квазиклассического метода к задаче о движении в потенциальной яме.
Точки $x_{1}$ и $x_{2}$ представляют собой линейные точки поворота.

по-прежнему означает, что мы переходим от решения в области 2 к решению в области 1 , но теперь последняя находится слева от точки поворота, а первая – справа. Изменим определения $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$, полагая
\[
\xi_{1}=\int_{x}^{x_{3}} k d x, \quad \xi_{2}=\int_{x_{2}}^{x} x d x,
\]

так что при удалении от точки поворота эти величины по-прежнему возрастают. В этом случае формулой (28.17) можно пользоваться без каких-либо изменений. Решение слева от данной точки поворота есть $k^{-1 / 2} \cos \left(\int_{x}^{x_{2}} k d x-\frac{\pi}{4}\right)$, что можно переписать
в виде
\[
k^{-1 / 2} \cos \left(\int_{x_{2}}^{x} k d x-\frac{\pi}{4}-\eta\right), \quad \eta \equiv \int_{x_{1}}^{x_{2}} k d x-\frac{\pi}{2} .
\]

Как и при качественном обсуждении вопроса о дискретных уровнях в § 8, уровни энергии данной системы можно найти, требуя, чтобы два решения (28.19) и (28.20) в области 1 непрерывно переходили друг в друга. Так как интеграл $\int_{x_{1}}^{x_{2}} k d x$ обязательно больше нуля, отсюда, очевидно, следует, что величина $\eta$ должна быть равна или нулю, или целому кратномул. Соответственно уравнение для определения собственных значений можно записать в виде
\[
\int_{x_{1}}^{x_{2}} k d x=\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Соотношение (28.21) можно применять вплоть до значений $n$, соответствующих столь большой энергии $E$, что одна или обе точки поворота исчезают.

Правила квантования.
Подставляя выражение (28.5) для $k$ в (28.21), получаем одно из правил квантования Бора-Зоммерфельда, использовавшихся в старой квантовой теории:
\[
2 \int_{x_{\mathrm{I}}}^{x_{2}}\{2 \mu[E-V(x)]\}^{1 / 2} d x=\left(n+\frac{1}{2}\right) h ;
\]

здесь в левой части стоит интеграл от импульса $[2 \mu(E-V)]^{1 / 2}$, взятый по полному периоду классического движения (т. е. для движения от $x_{1}$ к $x_{2}$ и обратно к $x_{1}$ ). Правая часть представляет собой квантовое значение фазового интеграла, но не с целыми, а с полуцелыми квантовыми числами.

Из решения в форме (28.20) явствует, что $n$ представляет собой число узлов квазиклассической волновой функции в области между точками поворота. Поскольку в квазиклассическом методе асимптотические решения типа (28.7) справедливы лишь на расстоянии нескольких длин волн от каждой из точек поворота, наша апроксимация имеет смысл только в том случае, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн; иначе говоря, число $n$ должно быть велико по сравнению с единицей. Это оправдывает название метода, так как он оказывается наиболее полезным в почти классической области, когда квантовые числа велики.

Фактически, однако, квазиклассическое приближение в целом ряде случаев может дать достаточно хорошие результаты и для низших квантовых состояний. Так, если применить соотношение (28.22) к гармоническому осциллятору, когда $V(x)=K x^{2} / 2$, то, как известно из старой квантовой теории, правильные уровни энергии получаются для всех квантовых чисел.