Исходным пунктом для нахождения релятивистского волнового уравнения Дираку ${ }^{1 \prime}$ послужила гамильтонова форма волнового уравнения (23.1):
\[
i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t)=H \psi(\mathbf{r}, t) .
\]

Классический релятивистский гамильтониан свободной частицы дается положительным квадратным корнем из правой части (42.2). Однако, если подставить его в (43.1) и заменить р оператором – iћ grad, то получающееся волновое уравнение будет несимметрично по отношению к временно́й и пространственным производным, а потому не будет релятивистски инвариантно. В связи с этим Дирак видоизменил гамильтониан так, чтобы и пространственные производные входили в него линейно.

Уравнение для свободной частицы.
Простейший гамильтониан, линейный относительно импульса и массы, имеет вид
\[
H=-c \alpha \cdot \mathbf{p}-\beta m c^{2} .
\]

Подставляя это выражение в (43.1), получаем волновое уравнение
\[
\left(E+c \alpha \cdot \mathbf{p}+\beta m c^{2}\right) \psi=0
\]

или
\[
\left(i \hbar \frac{\partial}{\partial t}-i \hbar c \alpha \cdot \operatorname{grad}+\beta m c^{2}\right) \psi=0 .
\]

Рассмотрим теперь четыре величины $\alpha_{x}, \alpha_{y}, \alpha_{z}$ и $\beta$. Если уравнение (43.3) описывает свободную частицу, то в гамильтониане не должно быть членов, зависящих от пространственных координат или от времени. Действительно, наличие их означало бы соответствующую зависимость энергии, что приводило бы к возникновению сил. Производные по координатам и времени, фигурирующие в $E$ и р, также не могут входить в $\alpha$ и $\beta$, так как уравнение (43.3) должно быть линейно относительно этих производных. Итак, величины $\alpha$ и $\beta$ не зависят от $\mathbf{r}, t, \mathbf{p}$ и $E$ и, следовательно, коммутируют со всеми этими переменными. Это еще не означает, что $\alpha$ и $\beta$ представляют собой числа, так как они могут не коммутировать друг с другом.

Дополнительные сведения об $\alpha$ и $\beta$ можно получить, потребовав, чтобы любое решение (43.3) удовлетворяло и релятивистскому уравнению Шредингера (42.4) (обратное – необязательно). Это требование является разумным, так как в отсутствие внешних полей для волновых пакетов, удовлетворяющих (43.3) и характеризующих движение „почти классической” частицы, должно выполняться классическое соотношение (42.2) между энергией, импульсом и массой (см. задачу 1). Поэтому умножим уравнение (43.3) слева на ( $E-c \alpha \cdot \mathbf{p}-\beta m c^{2}$ ); при этом получим
\[
\begin{array}{l}
\left\{E^{2}-c^{2}\left[\alpha_{x}^{2} p_{x}^{2}+\alpha_{y}^{2} p_{y}^{2}+\alpha_{z}^{2} p_{z}^{2}+\left(\alpha_{x} \alpha_{y}+\alpha_{y} \alpha_{x}\right) p_{x} p_{y}+\right.\right. \\
\left.\quad+\left(\alpha_{y} \alpha_{z}+\alpha_{z} \alpha_{y}\right) p_{y} p_{z}+\left(\alpha_{z} \alpha_{z}+\alpha_{x} \alpha_{z}\right) p_{z} p_{x}\right]-m^{2} c^{4} \beta^{2}- \\
\left.-m c^{3}\left[\left(\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}\right) p_{x}+\left(\alpha_{y} \beta+\beta \alpha_{y}\right) p_{y}+\left(\alpha_{z} \beta+\beta \alpha_{z}\right) p_{z}\right]\right\} \psi=0 .
\end{array}
\]

Здесь подразумевается, что $E$ и р выражены через дифференциальные операторы по формулам (42.3). Уравнение (43.4) совпадает с (42.4), если величины $\alpha, \beta$ удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{x}^{2}=\alpha_{y}^{2}=\alpha_{z}^{2}=\beta^{2}=1, \\
\alpha_{i} \alpha_{y}+\alpha_{y} \alpha_{x}=\alpha_{y} \alpha_{z}+\alpha_{z} \alpha_{y}=\alpha_{z} \alpha_{x}+\alpha_{x} \alpha_{z}=0, \\
\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}=\alpha_{y} \beta+\beta \alpha_{y}=\alpha_{z} \beta+\beta \alpha_{z}=0 .
\end{array}
\]

Про такие четыре величины говорят, что они попарно антикоммутируют и квадраты их равны единице.

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ не коммутируют, а антикоммутируют друг с другом, они не могут быть числами. В гл. VI мы видели, что величины такого типа можно выразить с помощью матриц, причем матричное представление оказывается удобным при проведении вычислений. Прежде всего заметим, что поскольку гамильтониан (43.2) эрмитов, то эрмитовыми должны быть и все четыре матрицы $\alpha, \beta$. Следовательно, они являются квадратными. Задача заключается в том, чтобы найти явный вид этих матриц в каком-нибудь представлении, когда, например, одна из них диагональна (в связи с чем другие матрицы уже не будут диагональны, так как они не коммутируют с данной). Простоты ради потребуем, чтобы представление имело наинизший возможный ранг.

Матрицы $\alpha$ и $\beta$.
Квадрат каждой из четырех матриц равен единице, и, следовательно, их собственные значения равны +1 и -1. Потребуем (вполне произвольно), чтобы матрица $\beta$ была диагональной, и расположим ее строки и столбцы так, чтобы все собственные значения, равные +1 , были сгруппированы в матрицу ранга $n$, а все собственные значения, равные – 1 , – в матрицу ранга $m$. Поскольку $\beta$ антикоммутирует с $\alpha$, она не может быть постоянной и, следовательно, оба числа, $n$ и $m$, должны быть отличны от нуля. Схематически $\beta$ можно представить в виде
\[
\beta=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right),
\]

что сокращенно изображает матрицу

Сплошные линии в (43.7) разделяют входящие в (43.6) субматрицы 1, 0, 0 и –11).

Рассмотрим теперь матричное уравнение $\alpha_{x} \beta+\beta \alpha_{x}=0$, jl-й элемент которого имеет вид
\[
\left(\alpha_{x}\right)_{j l}\left(\beta_{j}+\beta_{l}\right)=0 .
\]

нять $\sigma_{x}$ и т.д. Таким образом, находим явные представления матриц $\beta, \alpha$ :
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right), \quad \alpha_{x}=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right), \\
\alpha_{y}=\left(\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0
\end{array}\right), \quad \alpha_{z}=\left(\begin{array}{rrrr}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{array}\right) \\
\end{array}
\]

Очевидно, эти матрицы эрмитовы. Для краткости будем обозначать их следующим образом:
\[
\beta=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right), \quad \alpha=\left(\begin{array}{ll}
0 & \sigma \\
\sigma & 0
\end{array}\right) .
\]

Здесь каждый „элемент” представляет собой матрицу с двумя строками и столбцами ${ }^{1}$.
\”.
Решения для свободной частицы.
Теперь, когда величины $\alpha$ и $\beta$ представлены в виде матриц, уравнение (43.3) будет иметь смысл, только если и сама волновая функция $\psi$ является матрицей с четырьмя строками и одним столбцом:
\[
\psi(\mathrm{r}, t)=\left(\begin{array}{l}
\psi_{1}(\mathrm{r}, t) \\
\psi_{2}(\mathrm{r}, t) \\
\psi_{3}(\mathrm{r}, t) \\
\psi_{4}(\mathrm{r}, t)
\end{array}\right) .
\]

Тогда уравнение (43.3) фактически представляет собой систему четырех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, линейных и однородных относительно четырех компонент $\psi$.
Будем искать решения в виде плоских волн:
\[
\psi_{j}(\mathbf{r}, t)=u_{j} e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-\omega t)}, \quad j=1,2,3,4,
\]

где $u_{j}$ – числа. Выражения (43.15) являются собственными функциями операторов энергии и импульса (42.3), принадлежащими соответственно собственным значениям $\hbar \omega$ и $\hbar \mathbf{k}$. Подставляя (43.15)

и (43.12) в (43.3), получаем систему алгебраических уравнений для $u_{j}$, где теперь $E=\hbar \omega$ и $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ – числа:
\[
\begin{array}{l}
\left(E+m c^{2}\right) u_{1}+c p_{z} u_{3}+c\left(p_{x}-i p_{y}\right) u_{4}=0 \\
\left(E+m c^{2}\right) u_{2}+c\left(p_{x}+i p_{y}\right) u_{3}-c p_{z} u_{4}=0 \\
\left(E-m c^{2}\right) u_{3}+c p_{z} u_{1}+c\left(p_{x}-i p_{y}\right) u_{2}=0 \\
\left(E-m c^{2}\right) u_{4}+c\left(p_{x}+i p_{y}\right) u_{1}-c p_{z} u_{2}=0 .
\end{array}
\]

Эта система уравнений однородна относительно $u_{j}$ и имеет решения, только если детерминант из коэффициентов обращается в нуль. Этот детерминант равен
\[
\left(E^{2}-m^{2} c^{4}-c^{2} \mathbf{p}^{2}\right)^{2},
\]

и, следовательно, связь энергии с импульсом имеет вид (42.2). Чтобы при заданном импульсе р получить явные решения, нужно выбрать определенный знак энергии, например положить
\[
E_{+}=+\left(c^{2} \mathbf{p}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{\frac{1}{2}} .
\]

Тогда мы будем иметь два линейно независимых решения, которые удобно записать в виде
\[
\begin{array}{ll}
u_{1}=-\frac{c p_{z}}{E_{+}+m c^{2}}, \quad u_{2}=-\frac{c\left(p_{x}+i p_{y}\right)}{E_{+}+m c^{2}}, \quad u_{3}=1, \quad u_{4}=0, \\
u_{1}=-\frac{c\left(p_{x}-i p_{y}\right)}{E_{+}+m c^{2}}, \quad u_{2}=\frac{c p_{z}}{E_{+}+m c^{2}}, \quad u_{3}=0, \quad u_{4}=1 .
\end{array}
\]

Аналогично выбрав перед квадратным корнем отрицательный знак
\[
E_{-}=-\left(c^{2} \mathbf{p}^{2}+m^{2} c^{4}\right)^{1 / 2}
\]

получим два других решения, которые запишем в виде
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=1, \quad u_{2}=0, \quad u_{3}=\frac{c p_{z}}{-E_{-}+m c^{2}}, \quad u_{4}=\frac{c\left(p_{x}+i p_{y}\right)}{-E_{-}+m c^{2}}, \\
u_{1}=0, \quad u_{2}=1, \quad u_{3}=\frac{c\left(p_{x}-i p_{y}\right)}{-E_{-}+m c^{2}}, \quad u_{4}=-\frac{c p_{z}}{-E_{-}+m c^{2}} . \\
\end{array}
\]

Каждое из этих четырех решений можно нормировать, умножая на величину
\[
\left\{1+\left[\frac{c^{2} \mathbf{p}^{2}}{\left(E_{+}+m c^{2}\right)^{2}}\right]\right\}^{-1 / 2} ;
\]

тогда $\psi^{*} \psi=1$, где $\psi^{*}$ — матрица с одной строкой и четырьмя столбцами, эрмитово сопряженная с $\psi$.

Ясно, что решения (43.17) соответствуют положительной, а решения (43.18) – отрицательной энергии. В нерелятивистском случае, когда энергия $E_{+}=-E_{-}$близка к $m c^{2}$ и велика по сравнению с $c|\mathbf{p}|$, для решений с положительной энергией функции $u_{1}$ и $u_{2}$

по порядку величины в $c / v$ раз меньше $u_{3}$ и $u_{4}(v-$ скорость движения частицы); для решений с отрицательной энергией соотношения обратны. Чтобы выяснить, в чем состоит физическое различие между двумя решениями, соответствующими данному знаку энергии, введем три новые спиновые матрицы $\sigma_{x}^{\prime}, \sigma_{y}^{\prime}$ и $\sigma_{z}^{\prime}$ с четырьмя строками и столбцами
\[
\sigma^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}
\sigma & 0 \\
0 & \sigma
\end{array}\right) \cdot
\]

В начале § 44 мы увидим, что матрицу $1 / 2 \hbar \sigma^{\prime}$ можно рассматривать как оператор спина. В пренебрежении малыми компонентами волновой функции легко убедиться, что $\psi$ есть собственная функция оператора $\sigma_{z}^{\prime}$, принадлежащая к собственному значению +1 для первых решений (43.17) и (43.18) и к собственному значению – 1для вторых решений.

Плотности заряда и тоқа. Чтобы получить уравнение непрерывности, умножим (43.3) слева на $\psi^{*}$, а эрмитово сопряженное уравнение
\[
-i \hbar \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}+i \hbar c\left(\operatorname{grad} \psi^{*}\right) \cdot \alpha+\psi^{*} \beta m c^{2}=0
\]
– справа на $\psi$ и вычтем результаты один из другого. Тогда если ввести вещественные величины
\[
P(\mathbf{r}, t)=\psi^{*} \psi, \quad \mathbf{S}(\mathbf{r}, t)=-c \psi^{*} \alpha \psi,
\]

то получится уравнение (42.7). Выражение для $P$ имеет нерелятивистский вид (7.1); поскольку величина $P$ не отрицательна, ее можно интерпретировать как плотность вероятности координат. Можно показать, что в нерелятивистском случае выражение (43.20) для S переходит в (7.3) (см. задачу 6). Оператор – са непосредственно связан со скоростью частицы. Действительно, вычислим с помощью (23.2) производную по времени от радиус-вектора $\mathbf{r}$. Пользуясь выражением (43.2) для гамильтониана и перестановочными соотношениями (23.16), получаем
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{1}{i \hbar}(x H-H x)=-c \alpha_{x} .
\]

Таким образом, собственные значения компонент оператора скорости равны $\pm c$. Этот результат можно сделать физически наглядным с помощью соотношения неопределенности (3.1). Очень точное определение мгновенного значения скорости [которая, согласно (43.21), в релятивистской теории отличается от импульса] требует точного измерения координат частицы для двух слегка отличающихся моментов времени. Такое точное измерение координат означает, что импульс частицы остается полностью неизвестным, вследствие чего все его значения примерно равновероятны. Таким

образом, очень большие импульсы будут значительно более вероятны, чем малые, а это соответствует близости скорости частицы к скорости света.

Электромагнитные потенциалы.
Члены с электромагнитными потенциалами можно релятивистски инвариантным образом ввести в (43.3); производя обычную замену $c \mathbf{p} \rightarrow c \mathbf{p}-e \mathbf{A}$ и $E \rightarrow E-e \varphi$ (предполагается, что уравнение описывает частицу с зарядом $е$ ). Тогда мы получим
\[
\left[E-e \varphi+\boldsymbol{\alpha} \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})+\beta m c^{2}\right] \psi=0 .
\]

Здесь через $E$ и р обозначены операторы (42.3). Умножая это уравнение слева на
\[
\left[\dot{E}-e \varphi-\alpha \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})-\beta m c^{2}\right],
\]

можно привести его к виду, аналогичному (42.10). В результате получим
\[
\begin{array}{l}
\left\{(E-e \varphi)^{2}-[\boldsymbol{\alpha} \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})]^{2}-m^{2} c^{4}+\right. \\
+(E-e \varphi) \boldsymbol{\alpha} \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})-\alpha \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})(E-e \varphi)\} \psi=0 .
\end{array}
\]

Второй оператор в (43.23) можно преобразовать с помощью соотношения
\[
(\boldsymbol{\alpha} \cdot \mathbf{B})(\alpha \cdot \mathbf{C})=\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}+i \sigma^{\prime}(\mathbf{B} \times \mathbf{C}),
\]

где В и с коммутируют с $\alpha$, но необязательно коммутируют друг с другом (см. задачу 7). В данном случае $\mathbf{B}=\mathbf{C}=(c \mathbf{p}-e \mathbf{A}$ ). Воспользуемся также равенством
$(c \mathbf{p}-e \mathbf{A}) \times(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})=-c e(\mathbf{A} \times \mathbf{p}+\mathbf{p} \times \mathbf{A})=i e \hbar c \operatorname{rot} \mathbf{A}=i e \hbar c \mathbf{H}$
[см. (23.15)]. Подставляя это выражение в (43.24), получаем
\[
[\alpha \cdot(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})]^{2}=(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})^{2}-e \hbar c \sigma^{\prime} \cdot \mathbf{H} .
\]

Два последних оператора в (43.23) можно переписать в виде [вновь принимая во внимание (23.15)]
\[
\begin{aligned}
-e \alpha \cdot(E \mathbf{A}-\mathbf{A} E) & -c e \alpha \cdot(\varphi \mathbf{p}-\mathbf{p} \varphi)= \\
& =-i e \hbar \alpha \cdot \frac{\partial A}{\partial t}-i e \hbar c \alpha \cdot \operatorname{grad} \varphi=i e \hbar c \alpha \cdot \mathbf{E} .
\end{aligned}
\]

Тогда вместо уравнения (43.23) находим
\[
\left[(E-e \varphi)^{2}-(c \mathbf{p}-e \mathbf{A})^{2}-m^{2} c^{4}+e \hbar c \sigma^{\prime} \cdot \mathbf{H}+i e \hbar c \alpha \cdot \mathbf{E}\right] \psi=0 .
\]

Здесь первые три члена в точности совпадают.с (42.9). Физический смысл последних двух слагаемых удобно выяснить, переходя к нерелятивистскому случаю.

В противоположность этому при рассмотрении соотношений (39.9) и (39.10) мы уже видели, что член с Н в (43.27) имеет такой же порядок величины, как и другие магнитные члены, линейные относительно А. В то время как член с Е в (43.27) в нерелятивистском приближении нужно опустить, в релятивистском уравнении (43.25) он играет существенную роль, обеспечивая инвариантность относительно преобразований Лоренца.