Одной из наиболее важных задач классической механики является задача об одномерном движении материальной точки, удерживаемой у некоторого неподвижного центра силой, пропорциональной расстоянию от него. Изучение этой задачи важно не только само по себе, но и потому, что движение более сложных систем часто можно рассматривать как совокупность нормальных колебаний, формально эквивалентных колебаниям гармонических осцилляторов. В квантовой механике представление 0 линейном гармоническом осцилляторе также очень важно, как в связи с задачами, например, о колебаниях отдельных атомов в молекулах, так и для исследования более сложных систем, например кристаллов или квантованных волновых полей (см. ниже, гл. XIII).

Асимптотическое поведение.
Силу $F=-K x$ можно характеризовать потенциальной энергией $V(x)=K x^{2} / 2$; таким образом,

при всех степенях $\xi$. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
s(s-1) a_{0}=0, \\
(s+1) s a_{1}=0, \\
(s+2)(s+1) a_{2}-(2 s+1-\lambda) a_{0}=0, \\
(s+3)(s+2) a_{3}-(2 s+3-\lambda) a_{1}=0, \\
(s+v+2)(s+v+1) a_{v+2}-(2 s+2 v+1-\lambda) a_{v}=0,
\end{array}
\]

где $v$ — целое число. Поскольку $a_{0}$ не может равняться нулю, из первого уравнения (13.7) следует, что $s=0$ или $s=1$. Из второго уравнения следует, что либо $s$, либо $a_{1}$, либо обе эти величины равны нулю. Тогда третье уравнение связывает $a_{2}$ с $a_{0}$, четвертое $-a_{3}$ с $a_{1}$ и вообще $(v+3)$-е уравнение связывает $a_{v+2}$ с $a_{v}$. Равенства (13.7) показывают, что ряд (13.6) содержит конечное или бесконечное число членов в зависимости от выбора чисел $s, a_{1}$ и собственного значения $\lambda$. Если ряд не обрывается, то его асимптотическое поведение можно найти, определив отношение коэффициентов при достаточно больших $v$ :
\[
\frac{a_{
u+2}}{a_{
u}} \underset{
u \rightarrow \infty}{ } \frac{2}{
u} .
\]

Такое отношение коэффициентов характерно для ряда, представляющего функцию $\xi^{n} e^{\xi 2}$ при произвольном конечном $n$. Из формулы (13.4) явствует, что при этом нарушаются граничные условия, накладываемые на $u(\xi)$ при больших $|\xi|$.

Таким образом, ряд (13.6) должен обрываться. Это означает, что, поскольку $a_{0}
eq 0$,
\[
\lambda=2 s+2 v+1,
\]

где $
u$ — целое четное число. В противном случае члены с четными индексами образовали бы бесконечный ряд. Так как при этом ряд с нечетными индексами не может оборваться, следует положить $a_{1}=0$. Индекс $s$ может еще принимать значения 0 и 1 , соответственно чему $\lambda$ равно $2 v+1$ или $2 v+3$, где $v$ — четное целое число. Вводя квантовое число $n$, можно объединить оба случая, полагая
\[
\lambda=2 n+1, \quad E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_{c}, \quad n=0,1,2, \ldots
\]

Нулевая энергия.
Уровни энергии (13.8) образуют бесконечную последовательность и отстоят друг от друга на равных интервалах. Именно это было постулировано в 1900 г. Планком и соответствует правилам квантования старой квантовой теории. Однако для кван-

товой механики характерно конечное значение энергии основного состояния $\hbar \omega_{c} / 2$. Эта так называемая нулевая энергия связана с принципом неопределенности так же, как и конечный наименьший уровень энергии частицы в прямоугольной яме с идеально твердыми стенками (см. § 9). По порядку величины полная энергия равна $\left[(\Delta p)^{2} / m\right]+K(\Delta x)^{2}$, где $\Delta p$ и $\Delta x$ в соответствии с § 12 характеризуют разбросы значений импульса и координаты. Легко видеть [с учетом соотношения неопределенностей (3.1)], что это выражение имеет минимум при $\Delta p$ порядка $\left(K m \hbar^{2}\right)^{1 / 4}$, откуда следует, что минимум полной энергии имеет величину порядка $\hbar(\mathrm{K} / \mathrm{m})^{1 / 2}$ или $\hbar \omega_{c}$.

Четность.
Из соотношений (13.8) и (13.7) явствует, что число $n$ представляет собой наибольшее значение суммы $s+v$ в разложении функции $H$ (13.6). Обозначая соответствующий полином через $H_{n}(\xi)$, видим, что по отношению к переменной $\xi$ он будет иметь степень $n$ и его четность или нечетность будет определяться четностью или нечетностью числа $n$. Поскольку функция $e^{-\xi^{2} / 2}-$ четная и не имеет узлов, соответствующая собственная функция $u_{n}(\xi)$ имеет $n$ узлов и четность ее определяется четностью числа $n$. Эти выводы согласуются с результатами, полученными ранее в 8 и 9 .

Полиномы Эрмита.
Полиномом Эрмита $n$-го порядка $H_{n}(\xi)$ называется полином, четность которого совпадает с четностью $n$ и который удовлетворяет уравнению (13.5) при $\lambda=2 n+1$ :
\[
H_{n}^{n}-2 \xi H_{n}^{\prime}+2 n H_{n}=0 .
\]

Из полученного ранее решения уравнения (13.5) следует, что эти условия однозначно определяют $H_{n}$ с точностью до произвольного постоянного множителя. Поэтому при более подробном изучении свойств полиномов $H_{n}$ можно будет избежать применения рекуррентных соотношений (13.7), если только удастся найти какуюлибо другую форму решения, удовлетворяющую поставленным условиям. Действительно, существует гораздо более удобное представление $H_{n}$ через производящую функцию $\mathcal{S}(\xi, s)$ :
\[
S(\xi, s)=e^{\xi^{2}-(s-\xi)^{n}}=e^{-8^{2}+2 s \xi}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(\xi)}{n !} s^{n} .
\]

Разлагая экспоненциальное выражение в (13.10) в ряд по степеням $s$ и $\xi$, легко установить, что члены с некоторой заданной степенью $s$ будут содержать $\xi$ либо в той же степени, либо в степени, меньшей данной на четное число. Следовательно, определяемый таким путем полином $H_{n}(\xi)$ будет иметь степень $n$ и четность его совпадет с четностью $n$.

Чтобы убедиться в том, что полиномы $H_{n}$ удовлетворяют дифференциальному уравнению (13.9), продифференцируем обе части

Интеграл в правой части можно представить как коэффициент ряда, получаемого в результате разложения интеграла от произведения двух производящих функций:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^{2}+2 s \xi} e^{-t^{v}+2 t \xi} e^{-\xi^{2}} d \xi=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{s^{n} t^{m}}{n ! m !} \int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(\xi) H_{m}(\xi) e^{-\xi^{2}} d \xi .(13.14)
\]

Интеграл в левой части (13.14) легко вычисляется, давая в результате
\[
\pi^{1 / 2} e^{2 s t}=\pi^{1 / 3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 s t)^{n}}{n !} .
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $s$ и $t$ в правых частях (13.14) и (13.15), находим
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{\infty} H_{n}^{2}(\xi) e^{-\xi^{2}} d \xi=\pi^{1 / 2} 2^{n} n ! \\
\int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(\xi) H_{m}(\xi) e^{-\xi^{2}} d \xi=0, \quad n
eq m .
\end{array}
\]

Согласно первой формуле (13.16), нормировочную постоянную можно выбрать в виде
\[
N_{n}=\left(\frac{\alpha}{\pi^{1 / 3} 2^{n} n !}\right)^{1 / 2}
\]

здесь еще остается неопределенным постоянный фазовый множитель, модуль которого равен единице. Из второй формулы вытекает, что при $n
eq m$ функции $u_{n}(x)$ и $u_{m}(x)$ взаимно ортогональны. Это находится в соответствии с общим результатом, полученным в § 10 для невырожденных собственных функций оператора энергии, так как, согласно (13.8), $E_{n}
eq E_{m}$ при $n
eq m$, т. е. вырождение отсутствует.

Типичным примером других интегралов, которые можно вычислить с помощью производящей функции, является следующий:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \bar{u}_{n}(x) x u_{m}(x) d x=\frac{\bar{N}_{n} N_{m}}{\alpha^{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \xi H_{n}(\xi) H_{m}(\xi) e^{-\xi^{\prime}} d \xi .
\]

Составим два разложения для интеграла:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-8^{2}+2 s \xi} e^{-t^{2}+2 t \xi} \xi e^{-\xi^{2}} d \xi=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{s^{n} t^{m}}{n ! m !} \int_{-\infty}^{\infty} \xi H_{n}(\xi) H_{m}(\xi) e^{-\xi^{2}} d \xi
\]

и
\[
\pi^{2 / 2}(s+t) e^{2 s t}=\pi^{1 / 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}\left(s^{n+1} t^{n}+s^{n} t^{n+1}\right)}{n !} .
\]

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $s$ и принимая во- внимание (13.17), получаем
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \bar{u}_{n}(x) x u_{m}(x) d x=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\alpha}\left(\frac{n+1}{2}\right)^{1 / 3}, & m=n+1, \\
\frac{1}{\alpha}\left(\frac{n}{2}\right)^{1 / 2}, & m=n-1, \\
0, & \text { во всех остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Соответствие с классической теорией.
На фиг. 10 показаны графики первых шести волновых функций гармонического осциллятора. Легко видеть, что плотности вероятности для координат $\left|u_{n}\right|^{2}$,
¿Фиг. 10. Собственные функции оператора энергии для первых] шести состояний гармонического осциллятора (Паулинг и Вильсон [3]).

соответствующие этим стационарным волновым функциям, мало похожи на соответствующие плотности для классического гармонического осциллятора; последние пропорциональны $\left(\xi_{0}^{2}-\xi^{2}\right)^{-1 / 2}$, где $\xi_{0}$ — амплитуда классического осциллятора, энергия которого равна квантовомеханическому собственному значению оператора энергии. С возрастанием $n$ классическая и квантовая плотности вероятности становятся все более и более близкими. На фиг. 11 приводятся графики $\left|u_{n}\right|^{2}$ для $n=10$ (сплошная кривая) и плотности для классического осциллятора с полной энергией $(21 / 2) \hbar \omega_{c}$ (пунқтирная кривая). В среднем соответствие является очень

хорошим; главное отличие состоит в быстрых колебаниях функции $\left|u_{n}\right|^{2}$.

Из равенства (7.6) можно получить среднее значение потенциальной энергии:
\[
\begin{aligned}
\langle V\rangle_{n}=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{u}_{n}(x) \frac{1}{2} K x^{2} u_{n} & (x) d x= \\
& =\frac{1}{2} K\left(\frac{2 n+1}{2 \alpha^{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_{c}=\frac{1}{2} E_{n}
\end{aligned}
\]
[интеграл $\left.\left|x^{2}\right| u_{n}\right|^{2} d x$ можно вычислить с помощью производящей функции аналогично (13.18)]. Таким образом, как и у классического
Фиг. 11. Плотность вероятности координат для гармонического осциллятора в состоянии $n=10$ (сплошная кривая) и для классического осциллятора с той же полной энергией (пунктирная кривая). (Паулинг и Вильсон [3].)

осциллятора, средние значения потенциальной и кинетической энергии при любом $n$ равны половине полной энергии.

Аналогичным путем можно показать, что $\langle x\rangle=\langle p=0$ для любой волновой функции гармонического осциллятора и, следовательно, в силу (12.1) $(\Delta x)^{2}=\left\langle x^{2}\right\rangle$ и $(\Delta p)^{2}=\left\langle p^{2}\right\rangle$. В связи с этим легко видеть, что произведение неопределенностей равно
\[
\Delta x \cdot \Delta p=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar .
\]

Для собственной функции основного состояния
\[
u_{0}(x)=\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi^{1 / 4}} e^{-\alpha^{2} x^{2} / 2} ;
\]

жениях интеграла:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^{2}+2 s \xi} e^{-\left(\xi^{2}-\xi \xi_{0}+\xi_{0}^{2} / 2\right)} d \xi=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{s^{n}}{n !} \int_{-\infty}^{\infty} H_{n}(\xi) e^{-\left(\xi^{2}-\xi \xi_{0}+\xi_{0}^{2} / 2\right)} d \xi
\]

и
\[
\pi^{1 / 2} e^{-\xi_{0}^{2} / 4+s \xi_{0}}=\pi^{1 / 2} e^{-\xi_{0}^{2} / 4} \sum_{n=0}^{\infty}-\frac{\left(s \xi_{0}\right)^{n}}{n !} .
\]

Принимая во внимание (13.17), получаем
\[
A_{n}=\frac{\xi_{0}^{n} e^{-\xi_{0}^{2} / 4}}{\left(2^{n} n !\right)^{1 / 2}} \text {. }
\]

Подставляя это в (13.20), находим
\[
\begin{array}{l}
\psi(x, t)=\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi^{1 / 4}} e^{-\xi^{2} / 2-\xi_{0}^{2} / 4-i \omega_{c} t / 2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{n}(\xi)}{n !}\left(\frac{1}{2} \xi_{0} e^{-i \omega_{c} t}\right)^{n}= \\
=\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi^{1 / 4}} \exp \left(-\frac{1}{2} \xi^{2}-\frac{1}{4} \xi_{0}^{2}-\frac{1}{2} i \omega_{c} t-\frac{1}{4} \xi_{0}^{2} e^{-2 i \omega_{c} t}+\xi \xi_{0} e^{-i \omega_{c} t}\right)= \\
=\frac{\alpha^{1 / 2}}{\pi^{1 / 4}} \exp \left[-\frac{1}{2}\left(\xi-\xi_{0} \cos \omega_{c} t\right)^{2}-\right. \\
\left.\quad-i\left(\frac{1}{2} \omega_{c} t+\xi \xi_{0} \sin \omega_{c} t-\frac{1}{4} \xi_{0}^{2} \sin 2 \omega_{c} t\right)\right]
\end{array}
\]
[сумма вычислена с помощью производящей функции (13.10)]. Плотность вероятности координат определяется квадратом модуля $\psi(x, t)$ :
\[
|\psi(x, t)|^{2}=\frac{\alpha}{\pi^{1 / 2}} e^{-a^{2}\left(x-a \cos \omega_{c} t\right)^{2}} .
\]

Отсюда видно, что функция $\psi$ в данном случае описывает волновой пакет, осциллирующий без изменения формы около точки $x=0$ с амплитудой а и классической частотой $\omega_{c}$. Волновая функция $\psi$ при $a \rightarrow 0$ стремится к собственной функции $u_{0}(x) e^{-i \omega_{c} t / 2}$, соответствующей-наименьшей энергии. С увеличением $a$ возрастает число стационарных состояний, играющих заметную роль в образовании пакета, и увеличивается квантовое число $n_{0}$, для которого $A_{n}$ в (13.22) принимает максимальное значение. При $n \gg 1$ для нахождения максимального значения $\ln A_{n}$ можно воспользоваться формулой Стирлинга; пренебрегая членами, порядок величины которых меньше или равен $\ln n$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\ln A_{n} \approx n\left(\ln \xi_{0}-\frac{1}{2} \ln 2\right)-\frac{1}{2} n(\ln n-1), \\
n_{0} \approx \frac{1}{2} \xi_{0}^{2}=\frac{K a^{2}}{2 \hbar \omega_{c}} .
\end{array}
\]