Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим прежде всего столкновение одномерно движущейся частицы с прямоугольным потенциальным барьером $V(x)$, изображенным на фиг. 14. Будем считать, что частица приходит из области отрицательных значений $x$ и либо отражается барьером, либо проходит через него. В соответствующей классической задаче частица или отражается или обязательно проходит через барьер в зависимости от того, меньше или больше ее энергия, чем высота барьера. Мы увидим, что в квантовой механике почти при любой энергии частицы вероятность как отражения, так и прохождения принимает определенное конечное значение. Поскольку в самой постановке задачи отсутствует симметрия между положительным и отрицательным направлениями оси $x$, нет смысла вводить решения с определенными четностями и, следовательно, необязательно считать функцию $V(x)$ симметричной относительно точки $x=0$, как это делалось в 9. Поэтому допустим, что $V(x)=0$ при $x<0$ и $x>a$ и $V(x)=V_{0}>0$ при $0<x<a$. Асимптотическое поведение. Фиг. 14. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер высотой $V_{0}$ и толщиной $a$. ном направлении. Принимая во внимание это обстоятельство и замечая, что волновое уравнение в области с $V(x)=0$ имеет вид находим асимптотические решения для нашего случая: Здесь $k=p / \hbar=\left(2 m E / \hbar^{2}\right)^{1 / 2}$ — волновое число. Решения (17.1) в областях, где отсутствуют внешние силы, справедливы не только для простого барьера, изображенного на фиг. 14 , но и при рассеянии на потенциальном барьере любого вида. Нормировка. где $v=\hbar k / m-$ скорость частицы с волновым числом $k$. Поскольку эти выражения не зависят от $x$, то из результатов \& 7 следует, что их можно истолковать как результирующий ток соответственно в первой и второй областях (за положительное принимаем направление вправо). Эта интерпретация соответствует сделанному выше замечанию о смысле величин $A, B$ и $C$ как амплитуд падающей, отраженной и прошедшей через потенциальный барьер волн. Поскольку в данной задаче представляют интерес лишь отношения $|B|^{2}$ и $|C|^{2}$ к $|A|^{2}$, определяющие соответственно коэффи- циенты отражения и прозрачности, абсолютная нормировка волновых функций (17.1) здесь не обязательна. Однако иногда удобно нормировать волновую функцию падающей частицы так, чтобы поток был равен единице; тогда нужно положить $A=1 / v^{1 / 2}$. Эту нормировку не следует истолковывать в том смысле, что $u(x)$ характеризует не одну, а много частиц; правильнее будет сказать, что мы выбираем, как это описывалось в § 7 , достаточно большое число тождественных, независимых и не перекрывающихся систем [каждая из которых описывается функцией $u(x)$ ], причем полный падающий поток во всех системах равен единице. Более аккуратной, но часто менее удобной была бы нормировка $u(x)$ на единицу в одномерном „ящике\» длины $L$ с периодическими граничными условиями. Коэффициенты отражения и прозрачности. Условия непрерывности $u$ и $d u / d x$ при $x=0$ и $x=a$ приводят к четырем соотношениям между пятью коэффициентами. Мы можем исключить $F$ и $G$ и найти отношения $B / A$ и $C / A$ : Квадраты модулей этих отношений представляют собой соответственно коэффициенты отражения и прозрачности: Пользуясь (17.5), легко проверить, что $|B / A|^{2}+|C / A|^{2}=1$, как и следовало ожидать. Из формул (17.5) следует, что когда энергия частицы приближается к высоте барьера ( $E \rightarrow V_{0}$ ), коэффициент прозрачности стремится к значению При увеличении $E\left(E>V_{0}\right)$ коэффициент прозрачности колеблется между единицей и непрерывно возрастающим нижним пределом $8^{*}-13$ — (см. фиг. 15). При $\alpha a=\pi, 2 \pi, \ldots$, т. е. когда на протяжении барьера укладывается целое число полуволн, имеет место полное пропускание ${ }^{1}$. Как известно, интерференционные явления подобного типа имеют место при прохождении света через тонкие преломляющие пластинки. В результате для коэффициента прозрачности получим При уменьшении $E$, начиная от $E=V_{0}$, коэффициент прозрачности (17.7) монотонно убывает от значения (17.6). При $\beta a \gg 1$ он становится очень малым и приближенно дается выражением На фиг. 15 изображен график коэффициента прозрачности (17.5) и (17.7), вычисленный для случая довольно мало проницаемого барьера ( $\left.m V_{0} a^{2} / \hbar^{2}=8\right)$.
|
1 |
Оглавление
|