Рассмотрим прежде всего столкновение одномерно движущейся частицы с прямоугольным потенциальным барьером $V(x)$, изображенным на фиг. 14. Будем считать, что частица приходит из области отрицательных значений $x$ и либо отражается барьером, либо проходит через него. В соответствующей классической задаче частица или отражается или обязательно проходит через барьер в зависимости от того, меньше или больше ее энергия, чем высота барьера. Мы увидим, что в квантовой механике почти при любой энергии частицы вероятность как отражения, так и прохождения принимает определенное конечное значение. Поскольку в самой постановке задачи отсутствует симметрия между положительным и отрицательным направлениями оси $x$, нет смысла вводить решения с определенными четностями и, следовательно, необязательно считать функцию $V(x)$ симметричной относительно точки $x=0$, как это делалось в 9. Поэтому допустим, что $V(x)=0$ при $x<0$ и $x>a$ и $V(x)=V_{0}>0$ при $0<x<a$.

Асимптотическое поведение.
Нам надлежит описать частицу, которая приходит слева с энергией $E>0$ и может либо отразиться от потенциального барьера, либо пройти через него. Таким образом асимптотическое поведение волновой функции [в областях, где $V(x)=0$ ] будет следующим: при $x<0$ волновая функция должна описывать частицу, движущуюся как влево (в результате отражения), так и вправо (падающая частица); при $x>a$ волновая функция должна соответствовать лишь частице, прошедшей через барьер (и движущейся вправо). Частица, свободно движущаяся в определенном направлении с определенной энергией, обязательно имеет и определенный импульс, и, следовательно, описывается одномерной собственной функцией оператора импульса $u(x) \sim e^{i p x / \hbar}$, если частица движется с импульсом $p$ в положительном направлении вдоль оси $x$, и $u(x) \sim e^{-i p x / \hbar}$, если частица движется в отрицатель:

Фиг. 14. Одномерный прямоугольный потенциальный барьер высотой $V_{0}$ и толщиной $a$. ном направлении. Принимая во внимание это обстоятельство и замечая, что волновое уравнение в области с $V(x)=0$ имеет вид
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} u}{d x^{2}}=E u,
\]

находим асимптотические решения для нашего случая:
\[
\begin{array}{ll}
u(x)=A e^{i k x}+B e^{-i k x}, & x \leqslant 0, \\
u(x)=C e^{i k x}, & x \geqslant a .
\end{array}
\]

Здесь $k=p / \hbar=\left(2 m E / \hbar^{2}\right)^{1 / 2}$ – волновое число. Решения (17.1) в областях, где отсутствуют внешние силы, справедливы не только для простого барьера, изображенного на фиг. 14 , но и при рассеянии на потенциальном барьере любого вида.

Нормировка.
Чтобы выяснить физический смысл коэффициентов $A, B$ и $C$, подставим (17.1) в выражение (7.3) для одномерной плотности тока вероятности:
\[
\begin{array}{ll}
S(x)=v\left(|A|^{2}-|B|^{2}\right), & x<0, \\
S(x)=v|C|^{2}, & x>a,
\end{array}
\]

где $v=\hbar k / m-$ скорость частицы с волновым числом $k$. Поскольку эти выражения не зависят от $x$, то из результатов \& 7 следует, что их можно истолковать как результирующий ток соответственно в первой и второй областях (за положительное принимаем направление вправо). Эта интерпретация соответствует сделанному выше замечанию о смысле величин $A, B$ и $C$ как амплитуд падающей, отраженной и прошедшей через потенциальный барьер волн.

Поскольку в данной задаче представляют интерес лишь отношения $|B|^{2}$ и $|C|^{2}$ к $|A|^{2}$, определяющие соответственно коэффи-

циенты отражения и прозрачности, абсолютная нормировка волновых функций (17.1) здесь не обязательна. Однако иногда удобно нормировать волновую функцию падающей частицы так, чтобы поток был равен единице; тогда нужно положить $A=1 / v^{1 / 2}$. Эту нормировку не следует истолковывать в том смысле, что $u(x)$ характеризует не одну, а много частиц; правильнее будет сказать, что мы выбираем, как это описывалось в § 7 , достаточно большое число тождественных, независимых и не перекрывающихся систем [каждая из которых описывается функцией $u(x)$ ], причем полный падающий поток во всех системах равен единице. Более аккуратной, но часто менее удобной была бы нормировка $u(x)$ на единицу в одномерном „ящике\” длины $L$ с периодическими граничными условиями.

Коэффициенты отражения и прозрачности.
Внутри потенциального барьера характер решения зависит от того, превышает ли $E$ высоту барьера $V_{0}$ или нет. Предположим сначала, что $E>V_{0}$, так что внутри барьера можно определить волновое число $\alpha=$ $=\left[2 m\left(E-V_{0}\right) / \hbar^{2}\right]^{1 / 2}$. Тогда решение во внутренней области будет иметь вид
\[
u(x)=F e^{i a x}+G e^{-i \alpha x}, \quad 0 \leqslant x \leqslant a .
\]

Условия непрерывности $u$ и $d u / d x$ при $x=0$ и $x=a$ приводят к четырем соотношениям между пятью коэффициентами. Мы можем исключить $F$ и $G$ и найти отношения $B / A$ и $C / A$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{B}{A}=\frac{\left(k^{2}-\alpha^{2}\right)\left(1-e^{2 i \alpha a}\right)}{(k+\alpha)^{2}-(k-\alpha)^{2} e^{2 i \alpha a}}, \\
\frac{C}{A}=\frac{4 k \alpha e^{i(\alpha-k) a}}{(k+\alpha)^{2}-(k-\alpha)^{2} e^{2 i \alpha a}} .
\end{array}
\]

Квадраты модулей этих отношений представляют собой соответственно коэффициенты отражения и прозрачности:
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{B}{A}\right|^{2}=\left[1+\frac{4 k^{2} \alpha^{2}}{\left(k^{2}-\alpha^{2}\right)^{2} \sin ^{2} \alpha a}\right]^{-1}=\left[1+\frac{4 E\left(E-V_{0}\right)}{V_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha a}\right]^{-1}, \\
\left|\frac{C}{A}\right|^{2}=\left[1+\frac{\left(k^{2}-\alpha^{2}\right)^{2} \sin ^{2} \alpha a}{4 k^{2} \alpha^{2}}\right]^{-1}=\left[1+\frac{V_{0}^{2} \sin ^{2} \alpha a}{4 E\left(E-V_{0}\right)}\right]^{-1} .
\end{array}
\]

Пользуясь (17.5), легко проверить, что $|B / A|^{2}+|C / A|^{2}=1$, как и следовало ожидать.

Из формул (17.5) следует, что когда энергия частицы приближается к высоте барьера ( $E \rightarrow V_{0}$ ), коэффициент прозрачности стремится к значению
\[
\left(1+\frac{m V_{0} a^{2}}{2 \hbar^{2}}\right)^{-1} .
\]

При увеличении $E\left(E>V_{0}\right)$ коэффициент прозрачности колеблется между единицей и непрерывно возрастающим нижним пределом $8^{*}-13$ –

(см. фиг. 15). При $\alpha a=\pi, 2 \pi, \ldots$, т. е. когда на протяжении барьера укладывается целое число полуволн, имеет место полное пропускание ${ }^{1}$. Как известно, интерференционные явления подобного типа имеют место при прохождении света через тонкие преломляющие пластинки.
Фиг. 15. Зависимость\” коэффициента прозрачности прямоугольного барьера от энергии частицы при $m V_{0} a^{2} / \hbar^{2}=8.1$
$П р и ̆ 0<E<V_{0}$ коэффициенты отражения и прозрачности проще всего найти, заменяя в уравнениях (17.4) $\alpha$ на $i \beta$, где
\[
\beta=\left[\frac{2 m\left(V_{0}-E\right)}{\hbar^{2}}\right]^{1 / 2} .
\]

В результате для коэффициента прозрачности получим
\[
\left|\frac{C}{A}\right|^{2}=\left[1+\frac{V_{0}^{2} \operatorname{sh}^{2} \beta a}{4 E\left(V_{0}-E\right)}\right]^{-1} .
\]

При уменьшении $E$, начиная от $E=V_{0}$, коэффициент прозрачности (17.7) монотонно убывает от значения (17.6). При $\beta a \gg 1$ он становится очень малым и приближенно дается выражением
\[
\frac{16 E\left(V_{0}-E\right)}{V_{0}^{2}} e^{-2 \beta a} .
\]

На фиг. 15 изображен график коэффициента прозрачности (17.5) и (17.7), вычисленный для случая довольно мало проницаемого барьера ( $\left.m V_{0} a^{2} / \hbar^{2}=8\right)$.