Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Если потенциальная энергия имеет вид $V(r)=-Z e^{2} / r$ (кулоновское притяжение между атомным ядром с зарядом $+Z e$ и электроном с зарядом — $e$ ), то волновое уравнение также можно решить аналитически. Данная задача представляет непосредственный физический интерес, так как с точностью до релятивистских эффектов (см. гл. XII) вычисляемые при этом собственные значения оператора энергии соответствуют наблюдаемым уровням энергии атома водорода ( $Z=1$ ), однократно ионизованного атома гелия ( $Z=2$ ) и т. д. Приведенная масса. Аналогичное обобщение, связанное с переходом от трех к шести прямоугольным координатам, непосредственно приводит к волновому уравнению Шредингера для двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ : Потенциальная энергия здесь может произвольным образом зависеть от шести координат и от времени. Если теперь потенци- альная энергия зависит только от относительных координат, т. е. $V=V\left(x_{1}-x_{2}, y_{1}-y_{2}, z_{1}-z_{2}\right)$, то возможно важное упрощение. Именно, введем относительные координаты $x, y, z$ и координаты центра инерции $X, Y, Z$, полагая здесь $M=m_{1}+m_{2}$ — полная масса системы. В новых координатах уравнение (16.1) принимает вид где так называемая приведенная масса. где оператор $ В задаче об атоме водорода нас будут интересовать уровни энергии $E$, связанные с относительным движением. Поскольку масса атомного ядра значительно больше массы электрона, приведенная масса $\mu$ в этом случае очень близка к последней. Асимптотическое поведение. производится так же, как и в § 14. При этом радиальное уравнение, соответствующее данному значению орбитального квантового числа $l$, имеет вид причем для связанного состояния $E<0$. Мы воспользуемся полиномиальным методом, применявшимся в § 13 при решении уравнения для гармонического осциллятора, и прежде всего попытаемся переписать уравнение (16.6) в безразмерном виде, вводя безразмерную независимую переменную $\varrho=\alpha r$. Однако в противоположность (13.1), где главную роль при больших $x$ играла потенциальная энергия $K x^{2} / 2$, в уравнении (16.6) главным членом при больших $r$ будет слагаемое $E R$. Поэтому удобно выбрать $\alpha$ так, чтобы это слагаемое стало заданным числом; тогда асимптотическое поведение решения не будет зависеть от собственного значения $E$. Соответственно перепишем уравнение (16.6) в виде где вместо члена с $E$ теперь фигурирует $1 / 4$ (выбор именно этого числа диктуется лишь соображениями дальнейшего удобства). Сопоставляя уравнения (16.6) и (16.7), видим, что Как и в случае уравнения для гармонического осциллятора, выясним прежде всего асимптотическое поведение функции $R$ ( $\varrho$ при $\varrho \rightarrow \infty$. Принимая во внимание лишь главные члены (порядка $R$ ), легко понять, что при достаточно большом $\varrho$ уравнению (16.7) удовлетворяет фунқция $R(\varrho)=\varrho^{n} e^{ \pm e / 2}$, где $n$-любое конечное число. Это наводит на мысль искать точное решение уравнения (16.7) в виде где $F(\varrho)$ — полином конечного порядка относительно $\varrho$. Подставляя (16.9) в (16.7), получим уравнение для $F(\varrho)$ : где штрихи означают дифференцирование по $\varrho$. При $\varrho=0$ это выражение остается конечным. Подстановка (16.11) в (16.10) дает уравнение для $L$ : Если положить здесь $\varrho$ равным нулю, то из вида $L$ следует, что $s(s+1)-l(l+1)=0$. Это квадратное уравнение имеет два корня: $s=l$ и $s=-(l+1)$. Поскольку при $\varrho=0$ функция $R(\varrho)$ должна оставаться конечной, следует положить $s=l$. Соответственно уравнение для $L$ принимает вид Для решения уравнения (16.12) подставим в него степенные ряды вида (16.11). Как легко убедиться, рекуррентная формула для коэффициентов имеет вид Если ряды не обрываются, то их асимптотическое поведение определяется отношением коэффициентов при высоких степенях $r$ : Это отношение соответствует степенному разложению функции $\varrho^{n} e^{\varrho}$, где $n$ — произвольное конечное число. Из соотношений (16.9) и (16.11) видно, что при этом нарушаются граничные условия, налагаемые на функцию $R$ при больших $\varrho$. Таким образом, ряд для функции $L$ должен обрываться на некотором члене. Обозначим через $n^{\prime}$ наивысшую степень $\varrho$ в разложении $L\left(n^{\prime} \geqslant 0\right)$; тогда величина $\lambda$ должна быть равна целому положительному числу $n^{1)}$ Число $n^{\prime}$ называется радиальным, а $n$ — полным квантовым числом. Поскольку $n^{\prime}$ и $l$ могут быть равны нулю или положительным целым числам, $n$ может принимать значения $1,2, \ldots$ Собственные значения оператора энергии даются формулой (16.8) в согласии со старой квантовой теорией и с опытом. В противоположность рассмотренному в § 15 случаю прямоугольной потенциальной ямы в задаче о кулоновском поле при любом конечном значении $Z$ имеется бесконечное число дискретных уровней энергии, лежащих в пределах от $-\mu Z^{2} e^{4} / 2 \hbar^{2}$ до нуля. Это связано с медленным убыванием абсолютной величины кулоновского потенциала при больших значениях $r$. Полиномы Лагерра. Дифференцирование производящей функции по $\varrho$ и $s$ приводит к соотношениям типа уравнений (13.11) для полиномов Эрмита и уравнений (14.11) для полиномов Лежандра: Легко видеть, что дифференциальное уравнение наименьшего порядка, которое вытекает из (16.17) и содержит только $L_{q}$, имеет вид Это уравнение напоминает (16.12), но не совпадает с ним. Определим присоединенные полиномы Лагерра, полагая Дифференцируя (16.18) p раз, находим дифференциальное уравнение для $L_{q}^{p}(\varrho)$ : Сравнивая это с (16.12) (при $\lambda=n$ ), видим, что искомые полиномиальные решения представляют собой присоединенные полиномы Лагерра $L_{n+l}^{2 l+1}(\varrho)$, порядок которых в соответствии с (16.14) равен $(n+l)-(2 l+1)=n-l-1$. Дифференцируя (16.16) p раз по е, получаем производящую функцию для присоединенных полиномов Лагерра: Явное выражение для них имеет вид Вырождение. Из результатов § 14 явствует, что вырождение по отношению к числу $m$ характерно для любого центрального силового поля, для которого $V$ зависит только от расстояния $r$ до некоторой точки. Однако вырождение по отношению к орбитальному квантовому числу характерно именно для кулоновского случая и отсутствует у большинства других центральных полей. В некоторых задачах, например в задаче о движении валентного электрона в атоме щелочного металла, потенциальная энергия зависит только от расстояния до центра, но имеет лишь приближенно кулоновский вид. В результате $n$ уровней энергии с данным значением главного квантового числа $n$, но с различными значениями $l$ не совпадают друг с другом и $n$-й водородоподобный уровень энергии расщепляется на $n$ различных уровней. Если, кроме того, накладывается еще некоторое внешнее (например, магнитное) поле, снимающее сферическую симметрию, то исчезает и $(2 l+1)$-кратное вырождение по $m$ и $n$-й водородоподобный уровень расщепляется на $n^{2}$ различных уровней. Наличие вырожденных собственных значений оператора энергии означает, что линейные комбинации соответствующих собственных функций также удовлетворяют волновому уравнению с тем же самым значением энергии. В случае вырождения по $m$ можно найти такие линейные комбинации сферических функций $Y_{l m}(\dot{\theta}, \varphi)$, которые соответствуют новому выбору полярной оси. Поэтому естественно ожидать, что и в водородной задаче при данном $l$ и различных $n$ существуют линейные комбинации вырожденных собственных функций, соответствующие некоторому новому выбору системы координат. Действительно, волновое уравнение для атома водорода допускает разделение переменных не только в сферических, но и в параболических координатах. Вообще вырождение всегда имеет место, если волновое уравнение можно решить несколькими способами (в различных системах координат или в одной системе координат, ориентируемой различным образом), поскольку при отсутствии вырождения волновые функции в различных системах координат отличались бы только постоянным множителем, что обычно невозможно. Случай $l=0$ (для центрального поля общего вида) представляет собой исключение, так как В оставшейся части уравнения (16.27) можно разделить переменные $\xi$ и $\eta$ : где постоянную разделения $v$ нужно определить из граничных условий. Таким образом, уравнения для функции $f$ и $g$ имеют вид Поскольку они имеют одинаковый вид, отличаясь только постоянными членами, достаточно решить лишь одно из них. Уровни энергии. коль скоро параметры $\alpha$ и $\lambda_{1}$ даются формулами Второе из уравнений (16.30) также приводится к виду (16.31), если положить $\zeta=\alpha \eta$, где $\alpha$ — то же, что и в (16.32); при этом $\lambda_{1}$ заменяется на Будем теперь решать уравнение (16.31) так же, как и (16.7). Асимптотическое поведение решения определяется множителем $e^{ \pm \zeta}$, где в показателе надо выбрать знак минус. Ряд, на который умножается экспоненциальная функция, начинается с члена $\zeta^{8}$, где, как легко показать, $s= \pm m / 2$. Поэтому положим Подставляя это в (16.31), получаем для $L$ уравнение Как и в случае (16.12), волновая функция (16.34) расходится при больших $\zeta$; если ряд для $L$ не обрывается, превращаясь в полином. Полиномиальные решения представляют собой присоединенные полиномы Лагерра; сравнение (16.20) и (16.35) показывает, что они равны $L_{n_{1}+|m|}^{|m|}(\zeta)$, где есть положительное целое число или нуль. также есть положительное целое число или нуль. Равенства (16.36) и (16.37) дают где $n$ — положительное целое число, не равное нулю. Уровни энергии находим, комбинируя (16.32), (16.33) и (16.38): в согласии с (16.15). Поскольку, согласно (16.38), число $n$ можно различными способами выразить через три квантовые числа $n_{1}, n_{2}$ и $m$, то уровень энергии $E_{n}$ является вырожденным. При $m=0$ $n_{1}$ и $n_{2}$ можно выбрать $n$ способами. При $|m|>0$ можно двояким образом выбрать значение $m(= \pm|m|)$, после чего остается еще $n-|m|$ возможностей задать $n_{1}$ и $n_{2}$. Таким образом, кратность вырождения $n$-го уровня в соответствии с полученным ранее результатом равна Волновые фунқции. При заданных значениях уровня энергии $E_{n}$ и магнитного қвантового числа $m(n>|m|)$ параболические квантовые числа $n_{1}$ и $n_{2}$ можно выбрать так, что $n_{1}+n_{2}=n-|m|-1$, т. е. $n-|m|$ различными способами. Аналогично при заданных $n$ и $m$ азимутальное квантовое число $l$ можно выбрать так, что $|m| \leqslant l \leqslant n-1$, т. е. также $n-|m|$ различными способами. Поэтому $n-|m|$ произведений функций от $\xi$ и $\eta$ представляют собой линейные комбинации $n-|m|$ произведений функций от $r$ и $\theta$. Связь между решениями в параболических и сферических координатах выглядит особенно просто для основного состояния. В этом случае $n_{1}=n_{2}=m=0$, и в параболических координатах решение есть просто $\exp \left[-\mu Z e^{2}(\xi+\eta) ! 2 \hbar^{2}\right]$. При этом в сферических координатах мы имеем $n=1, l=m=0$, и собственная функция имеет вид $\exp \left[-\mu Z e^{2} r / \hbar^{2}\right]$. Из (16.25) ясно, что эти два решения тождественны.
|
1 |
Оглавление
|