Классический заряженный осциллятор может либо отбирать энергию у пөля излучения, либо, наоборот, отдавать ему свою энергию в зависимости от соотношения фаз между колебаниями поля и осциллятора. Эти эффекты аналогичны поглощению и вынужденному испусканию, рассмотренным в предыдущем параграфе. Кроме того, классический осциллятор излучает энергию и самопроизвольно, независимо от того, имеется ли внешнее поле излучения или нет. В настоящем параграфе мы рассчитаем электромагнитное излучение классического осциллирующего распределения электрических токов и зарядов в отсутствие внешних полей. Чтобы вычислить затем вероятность спонтанного излучения, полученные формулы несколько произвольно будут переписаны в терминах квантовых матричных элементов. Справедливость полученных результатов будет подтверждена сравнением их с формулой Планка для спектрального распределения теплового излучения в полости.

Классическое поле излучения.
Распределение электрических токов и зарядов можно полностью охарактеризовать заданием плотности тока $\mathbf{J}$, поскольку плотность заряда $\varrho$ связана с Ј уравнением непрерывности (35.3). Аналогично в пустом пространстве вдали от зарядов и токов электромагнитное поле полностью характеризуется заданием любого из векторов $\mathbf{E}$ или $\mathbf{H}$, так как они связаны уравнениями (35.2). Беря ротор от первого из уравнений (35.9), легко находим волновое уравнение для $\mathbf{H}$ :
\[

abla^{2} \mathbf{H}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathbf{H}=-\frac{4 \pi}{c} \text { rot } \mathbf{J} .
\]

Таким образом, в уравнение для $\mathbf{H}$ входит только $\mathrm{J}$, тогда как в аналогичное уравнение для Е входят как J, так и @ (хотя послед-

нюю величину, разумеется, можно исключить). Перейдем теперь к решению уравнения (36.1) для Н. Будем считать, что все три декартовы компоненты вектора J гармонически колеблются с одинаковой частотой $\omega$, но необязательно с одинаковой фазой:
\[
\begin{aligned}
J_{x}(\mathbf{r}, t) & =2\left|J_{x}(\mathbf{r})\right| \cos \left(\omega t-\eta_{x}\right)=J_{x}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\text { к. с. }, \\
J_{x}(\mathbf{r}) & =\left|J_{x}(\mathbf{r})\right| e^{i \eta_{x}} .
\end{aligned}
\]

Аналогичные выражения имеют место для $y$ – и $z$-компонент.
Интересуясь только стационарными решениями для Е и Н с той же частотой $\omega$, положим
\[
\begin{aligned}
\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r}, t) & =2\left|\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r})\right| \cos \left(\omega t-\xi_{x}\right)=\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\mathrm{k} . \mathrm{c} . \\
\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r}, t) & =2\left|\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r})\right| \cos \left(\omega t-\zeta_{x}\right)=\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r}) e^{-i \omega t}+\mathrm{k} . \mathrm{c} . \\
\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r}) & =\left|\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r})\right| e^{i \xi_{x}}, \quad \mathrm{H}_{x}(\mathbf{r})=\left|\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r})\right| e^{i \zeta_{x}},
\end{aligned}
\]

Аналогичные выражения имеют место для $y$ – и $z$-компонент. В пустом пространстве вектор Е выражается через Н с помощью второго уравнения (35.2):
\[
\mathrm{E}(\mathrm{r})=\frac{i c}{\omega} \operatorname{rot} \mathbf{H}(\mathbf{r}) .
\]

С учетом (36.2) и (36.3) уравнение (36.1) принимает вид
\[
\left(
abla^{2}+k^{2}\right) \mathbf{H}(\mathbf{r})=-\frac{4 \pi}{c} \operatorname{rot} \mathbf{J}(\mathbf{r}), \quad k=\frac{\omega}{c} .
\]

Это – неоднородное уравнение типа (26.5); его решение, записанное с помощью функции Грина (26.15), имеет вид
\[
\mathbf{H}(\mathbf{r})=\frac{1}{c} \int \frac{\operatorname{rot} \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right| d \tau^{\prime} .}
\]

Формула (36.6) определяет запаздывающее решение уравнения (36.5); на больших $r$ оно описывает расходящуюся волну, зависящую от $r$ и $t$ по закону
\[
\frac{1}{r} e^{i(k r-\omega t)}+\text { к. с. }
\]

Таким образом, поле, создаваемое данным элементом тока, проявляется в точке $r$ лишь спустя некоторый промежуток времени, т. е. колебания его запаздывают по сравнению с колебаниями J.

Асимптотическое выражение.
Нам предстоит вычислить энергию и момент количества движения, уносимые полем. Ниже будет показано, что энергию можно найти, зная лишь главный член (порядка $1 / r$ ) в асимптотическом разложении напряженности поля; для вычисления же момента количества движения нужно еще рассмот-

реть некоторые члены порядка $1 / r^{2}$. Зависящую от $r$ часть подинтегрального выражения в (36.6) можно разложить в ряд по степеням $1 / r$ :
\[
\frac{e^{i k\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|} \underset{r \rightarrow \infty}{ } \frac{1}{r}\left(1+\frac{r^{\prime} \cos \theta+1 / 2 i k r^{2} \sin ^{2} \theta}{r}\right) e^{i k\left(r-r^{\prime} \cos \theta\right),}
\]

где $\theta$ – угол между $\mathbf{r}^{\prime}$ и r. Подставляя (36.7) в (36.6) и принимая во внимание (36.4), мы полностью определим асимптотический вид электромагнитного поля с точностью до членов порядка $1 / r^{2}$.

Излученная энергия.
Вектор Пойнтинга, характеризующий поток энергии, равен
\[
\frac{c}{4 \pi}[\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) \times \mathbf{H}(\mathbf{r}, t)] .
\]

С помощью формул (36.3) получаем для типичной компоненты вектора $\mathbf{P}(\mathbf{r})$, полученного усреднением вектора Пойнтинга по периоду колебаний:
\[
\begin{array}{l}
P_{z}(\mathbf{r})=\frac{c}{\pi}\left\{\left|\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r})\right| \mathrm{H}_{y}(\mathbf{r}) \mid\left[\cos \left(\omega t-\xi_{x}\right) \cos \left(\omega t-\zeta_{y}\right)\right]_{\text {cр. вр. }}-\right. \\
\left.\quad-\left|\mathrm{E}_{y}(\mathbf{r})\right|\left|\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r})\right|\left[\cos \left(\omega t-\xi_{y}\right) \cos (\omega t-\zeta)\right]_{\text {cр. вр. }}\right\}= \\
=\frac{c}{2 \pi}\left\{\left|\mathrm{E}_{x}(\mathbf{r})\right|\left|\mathrm{H}_{y}(\mathbf{r})\right| \cos \left(\xi_{x}-\zeta_{y}\right)-\left|\mathrm{E}_{y}(\mathbf{r})\right|\left|\mathrm{H}_{x}(\mathbf{r})\right| \cos \left(\xi_{y}-\zeta_{x}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Принимая во внимание аналогичные выражения для двух других компонент, можно записать этот вектор в виде
\[
\mathbf{P}(\mathbf{r})=\frac{c}{2 \pi} \operatorname{Re}[\mathbf{E}(\mathbf{r}) \times \overline{\mathbf{H}(\mathbf{r})}],
\]

где символ $\operatorname{Re}$ означает вещественную часть. Нас интересуют теперь только те члены в выражении для потока энергии, которые убывают как $1 / r^{2}$, поскольку именно они определяют излученную энергию. Следовательно, в выражениях для $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ нам будут нужны только члены порядка $1 / r$.

Декартову систему координат, в которой выписываются явные выражения компонент напряженностей поля, удобно выбрать так, чтобы ось $z$ была параллельна вектору $\mathbf{r}$, проведенному от центра распределения зарядов и токов до точки, в которой измеряются напряженности поля. Тогда на основании (36.4), (36.6) и (36.7) мы получаем с точностью до членов порядка $1 / r$ (где теперь $r=z$ )
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{H}_{x} \rightarrow-\frac{i k}{r c} e^{i k r} \int J_{y}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}, & \mathrm{E}_{x} \rightarrow \frac{i k}{r c} e^{i k r} \int J_{x}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}, \\
\mathrm{H}_{y} \rightarrow \frac{i k}{r c} e^{i k r} \int J_{x}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}, & \mathrm{E}_{y} \rightarrow \frac{i k}{r c} e^{i k r} \int J_{y}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}, \\
\mathrm{H}_{z} \rightarrow 0, & \mathrm{E}_{z} \rightarrow 0 .
\end{array}
\]

Чтобы исключить производные от компонент $\mathbf{J}$, было произведено интегрирование по частям. Из формулы (36.9) видно, что

в асимптотической области векторы Е и Н перпендикулярны направлению распространения поля. Видно также, что поляризация испускаемого излучения связана с распределением тока; далее, оказывается, что излучение энергии обусловлено лишь компонентами тока, перпендикулярными направлению распространения. Подставляя (36.9) в (36.8), получаем
\[
P_{z}=\frac{k^{2}}{2 \pi r^{2} c}\left(\left|\int J_{x} e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}\right|^{2}+\left|\int J_{y} e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}\right|^{2}\right) .
\]

Обобщая эту формулу, можно найти среднее значение потока энергии в направлении вектора $\mathbf{k}$ :
\[
\frac{k^{2}}{2 \pi r^{2} c}\left|\int J_{\perp \mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}^{\prime}} d \tau^{\prime}\right|^{2},
\]

где $J_{\perp \mathbf{k}}$ – компонента вектора $\mathbf{J}$, перпендикулярная $\mathbf{k}$.

Дипольное излучение.
Формула (36.11) дает точное выражение для энергии, излучаемой классическим распределением тока (36.2). Как и в § 35, в предельном случае больших длин волн справедлива дипольная апроксимация: при $k r^{\prime} \ll 1$ в подинтегральном выражении $e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}^{\prime}}$ заменяется единицей. Поток энергии при этом равен
\[
\frac{k^{2}}{2 \pi r^{2} c}\left|\int J_{\perp \mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}\right|^{2} .
\]

В том же приближении из формул (36.9) вытекает, что поляризация излучения (характеризуемая направлением вектора напряженности электрического поля) определяется вектором полного тока $\mathbf{J}_{0} \equiv \int \mathbf{J}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}$. Если $\mathbf{J}_{0}$ имеет лишь одну компоненту в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, то излучение будет линейно поляризованным. Если в этой плоскости имеются две компоненты $\mathbf{J}_{0}$, перпендикулярные друг другу и сдвинутые по фазе на $90^{\circ}$ (так что одна получается из другой умножением на $i$ ), то излучение будет поляризованным по кругу, и т. д.

Если $\mathbf{J}_{0}$ имеет только одну компоненту, то угловое распределение излучения можно найти, заменяя величину $\left|\int J_{\perp \mathbf{k}}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}\right|^{2}$ в $(36.12)$ на
\[
\left(\mathrm{J}_{0} \cdot \overline{\mathrm{J}}_{0}\right) \sin ^{2} \theta=\left|\mathrm{J}_{0}\right|^{2} \sin ^{2} \theta,
\]

где $\theta$ – угол между векторами $\mathbf{J}_{0}$ и $\mathbf{k}$; $\left|\mathbf{J}_{0}\right|^{2}$ сокращенно означает скалярное произведение вектора $\mathbf{J}_{0}$ на комплексно сопряженный вектор. Тогда полная излученная энергия получается интегрированием выражения (36.12) по поверхности сферы радиуса $r$ и равна
\[
\frac{4 k^{2}}{3 c}\left|\mathrm{~J}_{0}\right|^{2} \text {. }
\]

Выражение (36.13) справедливо и при наличии у $\mathrm{J}_{0}$ нескольких компонент, причем фазы последних необязательно одинаковы (см. задачу 11 ).

Момент количества движения.
Момент количества движения, излучаемый в единицу времени, равен вращающему моменту, действующему на большую идеально поглощающую сферу с центром в источнике излучения. Средний поток энергии равен $\mathbf{P}$, так что плотность энергии (для данного направления) есть ( $1 / c$ ) P, а плотность импульса составляет ( $1 / c^{2}$ ) Р. Поскольку излучение распространяется со скоростью $c$, вращающий момент, действующий на бесконечно малый элемент идеально поглощающей поверхности $d A$, перпендикулярный вектору $\mathbf{r}$, равен векторному произведению r на плотность импульса, умноженному на $c d A$ :
\[
\frac{d A}{c}(\mathbf{r} \times \mathbf{P}) .
\]

Интегрируя эту величину по поверхности радиуса $r$, находим момент количества движения, излучаемый источником в единицу времени. При этом существенны только касательные к сфере компоненты вектора $\mathbf{P}$, т. е. в обозначениях (36.9) величины $P_{x}$ и $P_{y}$ (ось $z$ направлена вдоль $\mathbf{r}$ ).

Если бы компоненты $\mathrm{E}_{z}$ и $\mathrm{H}_{z}$ были равны нулю, то тангенциальные составляющие $P_{x}$ и $P_{y}$ тоже были бы равны нулю, и излучение момента количества движения не имело бы места. Третье и шестое из выражений (36.9) говорят лишь о том, что радиальные компоненты напряженностей поля (параллельно оси $z$ ) представляют собой величины меньшего порядка, чем $1 / r$; фактически они имеют порядок $1 / r^{2}$. Это означает, что при больших $r$ компоненты $P_{x}$ и $P_{y}$ убывают как $1 / r^{3}$. При этом полный момент количества движения, поглощаемый большой сферой, не зависит от $r$, так как выражение для момента количества движения определяется величиной $\mathbf{r} \times \mathbf{P}$, а поверхность поглощающей сферы пропорциональна $r^{2}$.

Таким образом, необходимо найти члены порядка $1 / r^{2}$ в выражениях для $\mathrm{E}_{z}$ и $\mathrm{H}_{z}$, но не в выражениях для других компонент напряженности поля:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{H}_{z} \rightarrow \frac{i k}{r^{2} c} e^{i k r} \int\left[y^{\prime} J_{i}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)-x^{\prime} J_{y}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime}, \\
\mathrm{E}_{z} \rightarrow \frac{1}{r^{2} c} e^{i k r} \int\left[2 J_{z}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+i k x^{\prime} J_{c}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)+i k y^{\prime} J_{y}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] e^{-i k z^{\prime}} d \tau^{\prime} .
\end{array}
\]

Формулы (36.9) и (36.14) позволяют точно вычислить величину излучаемого момента количества движения ${ }^{1}$.

Дипольный случай.
В дипольном приближении выражения для $P_{x}$ и $P_{y}$ принимают более простой вид, так как в этом случае в формулах (36.9) и (36.14) нужно оставить лишь члены наименьшего порядка относительно $k r^{\prime}$. Легко видеть, что, например, в выражении для $P_{x}$ главным членом будет не $(c / 2 \pi) \operatorname{Re}\left(\hat{\mathrm{E}}_{y} \overline{\mathrm{H}}_{z}\right)$, а – $(c / 2 \pi) \operatorname{Re}\left(\overline{\mathrm{E}}_{z} \overline{\mathrm{H}}_{y}\right)$. С точностью до членов низшего порядка относительно $k r^{\prime}$ получим
\[
\begin{array}{l}
P_{x}=\frac{k}{\pi r^{3} c} \operatorname{Re}\left(i \int J_{z} d \tau^{\prime} \int \vec{J}_{x} d \tau^{\prime}\right), \\
P_{y}=\frac{k}{\pi r^{3} c} \operatorname{Re}\left(i \int J_{z} d \tau^{\prime} \int \vec{J}_{y} d \tau^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Равенства (36.15) написаны в системе координат, связанной с элементом поглощающей поверхности $d A$, положение которого характеризуется вектором r. Чтобы найти компоненты момента количства движения относительно некоторой фиксированной в пространстве оси, эти формулы нужно переписать для произвольной декартовой системы. Эта операция в принципе подобна переходу от выражения (36.10) для потока энергии к более общей формуле (36.11), но более сложна.

Выберем новую фиксированную декартову систему координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Положение старых осей в новой системе зависит от $r$ (см. фиг. 29) следующим образом:
Фиг. 29. Соотношение между нештрихованной и штрихованной системами координат, использованными в выражениях (36.15) и (36.16). ось $z$ параллельна $\mathbf{r}$, и в новой системе координат ее положение характеризуется углами $\theta, \varphi$. Ось $y$ перпендикулярна $\mathbf{r}$ и лежит в плоскости, содержащей $\mathbf{r}$ и $z^{\prime}$; наконец, ось $x$ перпендикулярна плоскости, содержащей $\mathbf{r}$ и $z^{\prime}$. Для вычисления вклада в $z^{\prime}$-ю компоненту момента количества движения, обусловленного поглощением в элементе поверхности
\[
d A=r^{2} \sin \theta^{\circ} d \theta d \varphi,
\]

взятом в точке $\mathbf{r}$, нужно знать лишь величину $P_{x}$, определяемую формулой (36.15). При помощи компонент полного вектора тока $\mathbf{J}_{0}$ в новой системе координат это выражение можно переписать

Поскольку излучение энергии связано с переходом из верхнего состояния $u_{k}$ в нижнее состояние $u_{n}$, то вектор $\mathbf{J}$ нужно заменить плотностью тока, связанной с переходом из $k$ в $n$. Плотность тока естественно представить в виде произведения плотности заряда на скорость, вместо которой можно взять оператор импульса, деленный на массу – $(i \hbar / \mathrm{m})$ grad. В стационарном состоянии плотность заряда следует приравнять заряду частицы, умноженному на плотность вероятности координат $e|p|^{2}$. Нас, однако, интересуют переходы между состояниями, поэтому мы заменим это выражение на $e \bar{u}_{n} u_{k}$. Характер действия оператора grad, фигурирующего в формуле для скорости, на волновые функции, описывающие плотность заряда, определяется с помощью соображений, приведенных в § 7 [см. (7.3)]. Таким путем получается величина, заменяющая классическую плотность тока:
\[
\mathrm{J}(\mathbf{r}) \rightarrow-\frac{i e \hbar}{m} \bar{u}_{n}(\mathbf{r}) \operatorname{grad} u_{k}(\mathbf{r}) .
\]

Мы предположим, что переход к квантовой теории осуществляется подстановкой (36.20) во все полученные выше классические соотношения ${ }^{1)}$.

Интегрируя (36.20) по координатам, получим полный вектор тока:
\[
\mathbf{J}_{0}=-\frac{i e \hbar}{m} \int \bar{u}_{n} \operatorname{grad} u_{k} d \tau=-i e \omega_{n k} \int \bar{u}_{n} \mathbf{r} u_{k} d \tau=i e \omega_{k n} \overline{(\mathbf{r})_{k n}} .
\]
[Мы воспользовались здесь равенством (35.20).] Излучаемую энергию можно найти, подставляя (36.21) в (36.13). Мы рассматриваем получающееся выражение как произведение числа самопроизвольных переходов $k \rightarrow n$ в единицу времени на энергию кванта $\hbar \omega_{k n}=$ $=\hbar\left(E_{k}-E_{n}\right)$, излучаемого при каждом переходе. Соответственно вероятность спонтанного излучения, отнесенная к единице времени, принимае т вид (мы используем соотношение $\omega_{i n}=k c$ )
\[
\frac{4 e^{2} k^{2} \omega_{k n}}{3 \hbar c}\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2}=\frac{4 e^{2} \omega_{k n}^{3}}{3 \hbar c^{3}}\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2} .
\]

Формула распределения Планқа.
Переход от классического выражения (36.13) к квантовому (36.22) не является достаточно убедительным. Однако в справедливости полученного результата можно убедиться, показав, что из равенств (36.22) и (35.23) получается формула Планка для спектрального распределения интенсивности теплового излучения в полости. Именно таким путем

было впервые найдено соотношение между вероятностями поглощения и вынужденного и спонтанного излучения).

Пусть стенки полости с излучением состоят из частиц с зарядами и массой $m$, движущихся (в связанных состояниях) под действием потенциала $V$ [того же типа, что и в (35.1)]. Если эти частицы находятся в равновесии с тепловым излучением при абсолютной температуре $T$, то в любом интервале частот в единицу времени должно испускаться столько же квантов, сколько их поглощается. Число квантов с частотой $\omega_{k n}$, испускаемых в единицу времени, определяется суммой выражений (35.23) и (36.22), умноженной на число частиц в верхнем состоянии $k$. Число квантов, поглощенных за это же время, равно произведению (35.23) на число частиц в нижнем состоянии $n$. Однако, как известно из статистической механики ${ }^{2}$, при равновесии отношение чисел частиц в верхнем и нижнем состояниях составляет $e^{-\left(E_{k}-E_{n}\right) / * T}$, где $x$ – постоянная Больцмана. Поэтому, опуская индексы у $\omega_{k n}$, получаем
\[
e^{-\hbar \omega / \times T}\left[\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{3 \hbar^{2} c} I(\omega)\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2}+\frac{4 e^{2} \omega^{3}}{3 \hbar c^{3}}\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2}\right]=\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{3 \hbar^{2} c} I(\omega)\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2} .
\]

Решая это уравнение относительно $I(\omega)$, находим
\[
I(\omega)=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{2}\left(e^{\hbar \omega / x T}-1\right)} .
\]

Интересно отметить, что из выражения для $I(\omega)$ выпадают параметры $e, m$ и (r) $)_{k n}$, характеризующие испускающую и поглощающую системы.

Совпадение (36.23) с формулой Планка показывает, что наша теория дает правильное значение отношения (35.23) к (36.22). Следовательно, если верна первая из этих формул, то верна и вторая.

Ширина линии.
При испускании электромагнитных волн классический осциллятор теряет энергию, и, следовательно, амплитуда его колебаний убывает со временем. Соответственно напряженность излучаемого им поля с течением времени затухает по закону $e^{-\gamma t / 2} \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right)$. Разлагая это выражение в интеграл Фурье, находим спектральную плотность излучения осциллятора. Для круговой частоты $\omega$ интенсивность излучения, отнесенная к единичному интервалу частот, оказывается пропорциональной величине
\[
\frac{1}{\left(\omega-\omega_{0}\right)^{2}+\frac{1}{4} \gamma^{2}} .
\]

В соответствии с (36.24) интенсивность излучаемой спектральной линии равна половине максимального значения при $\omega=\omega_{0} \pm(\gamma / 2)$. Величина $\gamma$ называется естественной шириной линии; в случаях, представляющих практический интерес, она мала по сравнению с $\omega_{0}$.

Очевидно, ширина линии равна удвоенной величине начального значения логарифмической производной амплитуды классического осциллятора по времени (или начальному значению логарифмической производной от энергии осциллятора). Представляется естественным связать скорость убывания энергии классического осциллятора со скоростью убывания вероятности того, что соответствующая квантовая система находится в начальном верхнем состоянии. Если это сделать, то квантовым аналогом классической естественной ширины линии $\gamma$ будет (отнесенная к единице времени) начальная вероятность перехода со спонтанным излучением, определяемая формулой (36.22) ${ }^{1}$.

Указанное соотношение между вероятностью перехода и шириной линии можно качественно (но зато в более общем виде) получить с помощью соотношения неопределенности (3.3). Обратная величина вероятности перехода в единицу времени по порядку величины равна времени пребывания квантовой системы в верхнем состоянии. Следовательно, определение энергии верхнего состояния должно производиться за время, не слишком превышающее его время жизни $1 / \gamma$. В соответствии с соотношением неопределенности это означает, что точность определения энергии не может заметно превышать постоянную Планка, деленную на время жизни, т. е. величину $\hbar \gamma$. Если неопределенность энергии верхнего состояния будет равна этой величине, то неопределенность частоты излучения (уширение линии) будет равно $\gamma$. В общем случае квантовый уровень энергии уширяется при наличии любых процессов, сокращающих его время жизни: уровень будет идеально резким только в том случае, если время жизни соответствующего состояния бесконечно велико (истинно стационарное состояние).
Переписывая выражение (36.22) для $\gamma$ в виде
\[
\frac{\gamma}{\omega_{k n}}=\frac{4}{3} \frac{e^{2}}{\hbar c} k^{2}\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2},
\]

можно получить качественное представление об естественной ширине линии дипольного излучения квантовой системы. Множитель $e^{2} / \hbar$ п представляет безразмерную постоянную, значение которой очень близко к $1 / 137^{2}$ ), если $e$ – заряд электрона. Что касается множителя $k^{2}\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2}$, то, применяя дипольное приближение, мы уже предположили, что он мал по сравнению с единицей. Поэтому можно ожидать, что отношение ширины линии к частоте будет очень мало(для типичных атомных дипольных линий это величина порядка 10(-6)