Теперь мы можем приступить к определению уровней энергии связанных состояний, соответствующих тому или иному част-

Фиг. 13. Сферически симметричная прямоугольная потенциальная яма глубиной $V_{0}$ и радиусом $a$. ному виду потенциальной энергии $V(r)$ и данному значению орбитального квантового числа $l$. Для этого надо будет решить радиальное волновое уравнение (14.3) при заданной функции $V(r)$. В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную потенциальную яму конечной глубины, для которой $V(r)=-V_{0}$ при $r<a$ и $V(r)=0$ при $r>a$, где $V_{0}>0$ (фиг. 13). Сферическая область данного типа, внутри которой потенциал меньше, чем в остальных точках пространства, является центром притяжения так же, как это имело место в одномерном случае, рассмотренном в § 9 .
Нулевой момент количества движения.
При $l=0$ проще решать волновое уравнение, записанное в виде (14.17), а не (14.3). В этом случае $R(r)=\chi(r) / r$ и уравнение имеет вид
\[
\begin{aligned}
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \chi}{d r^{2}}-V_{0} \chi & =E \chi, \quad r<a, \\
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \chi}{d r^{2}} & =E \chi, \quad r>a .
\end{aligned}
\]

Уравнения (15.1) решаются так же, как и в § 9 (случай конечного скачка потенциала), с той лишь разницей, что, во-первых, в настоящей задаче энергия отсчитывается не от нуля, а от $V_{0}$; во вторых, в § 9 переменная $x$ изменялась от $-\infty$ до $+\infty$, тогда как теперь $r$ изменяется от 0 до $+\infty$; в-третьих, граничное условие, согласно которому волновая функция не должна обращаться в бесконечность при $x=-\infty$, заменяется теперь таким же условием в точке $r=0$.

суммы произведений $\sin \varrho$ и $\cos \varrho$ на полиномы нечетного порядка относительно $\varrho^{-1 / 2}$. В частности, явные выражения для первых трех функций $j$ и $n$ имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
j_{0}(\varrho)=\frac{\sin \varrho}{\varrho}, & n_{0}(\varrho)=-\frac{\cos \varrho}{\varrho}, \\
j_{1}(\varrho)=\frac{\sin \varrho}{\varrho^{2}}-\frac{\cos \varrho}{\varrho}, & n_{1}(\varrho)=-\frac{\cos \varrho}{\varrho^{2}}-\frac{\sin \varrho}{\varrho}, \\
j_{2}(\varrho)=\left(\frac{3}{\varrho^{3}}-\frac{1}{\varrho}\right) \sin \varrho-\frac{3}{\varrho^{2}} \cos \varrho, n_{2}(\varrho)=-\left(\frac{3}{\varrho^{3}}-\frac{1}{\varrho}\right) \cos \varrho-\frac{3}{\varrho^{2}} \sin \varrho .
\end{array}
\]

Главные члены при малых $\varrho$ запишутся следующим образом¹):
\[
\begin{array}{c}
j_{l}(\varrho) \xrightarrow[\varrho \rightarrow 0]{\longrightarrow} \frac{\varrho^{l}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 l+1)}, \\
n_{l}(\varrho) \underset{\varrho \rightarrow 0}{ }-\frac{1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 l-1)}{\varrho^{l+1}},
\end{array}
\]

а главные члены в асимптотических разложениях функций $j_{l}$ и $n_{l}$ равны $^{2)}$ :
\[
\begin{array}{l}
j_{l}(\varrho) \underset{\varrho \rightarrow \infty}{ } \frac{1}{\varrho} \cos \left[\varrho-\frac{1}{2}(l+1) \pi\right], \\
n_{l}(\varrho) \underset{\varrho \rightarrow \infty}{ } \frac{1}{\varrho} \sin \left[\varrho-\frac{1}{2}(l+1) \pi\right] .
\end{array}
\]

Некоторые свойства функций $j$ и $n$ характеризуются соотношениями
\[
\begin{array}{l}
\int j_{0}^{2}(\varrho) \varrho^{2} d \varrho=\frac{1}{2} \varrho^{3}\left[j_{0}^{2}(\varrho)+n_{0}(\varrho) j_{1}(\varrho)\right], \\
\int n_{0}^{2}(\varrho) \varrho^{2} d \varrho=\frac{1}{2} \varrho^{3}\left[n_{0}^{2}(\varrho)-j_{0}(\varrho) n_{1}(\varrho)\right], \\
n_{l-1}(\varrho) j_{l}(\varrho)-n_{l}(\varrho) j_{l-1}(\varrho)=\frac{1}{\varrho^{2}}, \quad l>0, \\
j_{l}(\varrho) \frac{d}{d \varrho} n_{l}(\varrho)-n_{l}(\varrho) \frac{d}{d \varrho} j_{l}(\varrho)=\frac{1}{\varrho^{2}} .
\end{array}
\]

Следующие равенства справедливы как для $j$, так и для $n$ :
\[
\begin{aligned}
j_{l-1}(\varrho)+j_{l+1}(\varrho) & =\frac{2 l+1}{\varrho} j_{l}(\varrho), \quad l>0, \\
\frac{d}{d \varrho} j_{l}(\varrho) & =\frac{1}{2 l+1}\left[l j_{l-1}(\varrho)-(l+1) j_{l+1}(\varrho)\right] \\
\frac{d}{d \varrho}\left[\varrho^{l+1} j_{l}(\varrho)\right] & =\varrho^{l+1} j_{l-1}(\varrho), \quad l>0, \\
\frac{d}{d \varrho}\left[\varrho^{-l} j_{l}(\varrho)\right] & =-\varrho^{-l} j_{l+1}(\varrho), \\
\int j_{1}(\varrho) d \varrho & =-j_{0}(\varrho), \\
\int j_{0}(\varrho) \varrho^{2} d \varrho & =\varrho^{2} j_{1}(\varrho), \\
\int j_{l}^{2}(\varrho) \varrho^{2} d \varrho & =\frac{1}{2} \varrho^{3}\left[j_{l}^{2}(\varrho)-j_{l-1}(\varrho) j_{l+1}(\varrho)\right], \quad l>0 .
\end{aligned}
\]

Поскольку при $r=0$ функция $R(r)$ должна оставаться конечной, искомое решение при $r<a$ имеет вид
\[
R(r)=A j_{l}(\alpha r) .
\]

Решения во внешней области при произвольном $\boldsymbol{I}$.
При $r>a$ волновое уравнение можно привести к виду (15.4), если положить $\varrho=i \beta r$, где величина $\beta$ определена в (15.2). Поскольку область изменения $\varrho$ теперь не содержит нуля, то нет оснований исключать $n_{l}$ из решения. Из функций $j_{l}$ и $n_{l}$ надо составить такую линейную комбинацию, которая экспоненциально убывала бы при больших $r$. В связи с этим определим сферические функции Ганкеля
\[
\begin{array}{l}
h_{l}^{(1)}(\varrho)=j_{l}(\varrho)+i n_{l}(\varrho), \\
h_{l}^{(2)}(\varrho)=j_{l}(\varrho)-i n_{l}(\varrho),
\end{array}
\]

асимптотические выражения для которых в соответствии с (15.8) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{l}^{(1)}(\varrho) \underset{\varrho \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\varrho} e^{i\left[\varrho-\frac{1}{2}(l+1) \pi\right]}, \\
h^{(2)}(\varrho) \underset{\varrho \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\varrho} e^{-i\left[\varrho-\frac{1}{2}(l+1) \pi\right]} .
\end{array}
\]

Можно показать, что асимптотические разложения, главные члены которых определяются формулами (15.13), не содержат экспонент с противоположным знаком показателя степени.
Таким образом, при $r>a$ искомое решение есть
\[
R(r)=B h_{l}^{(1)}(i \beta r)=B\left[j_{l}(i \beta r)+i n_{l}(i \beta r)\right] .
\]

Первые три из этих функций имеют вид
\[
\begin{array}{l}
h_{0}^{(1)}(i \beta r)=-\frac{1}{\beta r} e^{-\beta r}, \\
h_{1}^{(1)}(i \beta r)=i\left(\frac{1}{\beta r}+\frac{1}{\beta^{2} r^{2}}\right) e^{-\beta r}, \\
h_{2}^{(1)}(i \beta r)=\left(\frac{1}{\beta r}+\frac{3}{\beta^{2} r^{2}}+\frac{3}{\beta^{3} r^{3}}\right) e^{-\beta r} .
\end{array}
\]

Уровни энергии.
Уровни энергии получаются из условия непрерывности $(1 / R)(d R / d r)$ при $r=a$. Накладывая это условие на внутреннее (15.11) и внешнее (15.15) решения при $l=0$, мы получим уравнение (15.3). Последнее можно переписать в виде
\[
\xi \operatorname{ctg} \xi=-\eta, \quad \xi^{2}+\eta^{2}=\frac{2 m V_{0} a^{2}}{\hbar^{2}},
\]

где, как и в $\S 9, \xi=\alpha a$ и $\eta=\beta a$. При $l=1$ условие непрерывности в силу (15.6) и (15.15) приводится к виду
\[
\frac{\operatorname{ctg} \xi}{\xi}-\frac{1}{\xi^{2}}=\frac{1}{\eta}+\frac{1}{\eta^{2}}, \quad \xi^{2}+\eta^{2}=\frac{2 m V_{0} a^{2}}{\hbar^{2}} .
\]

Уравнения (15.17) можно решить либо численно, либо графически, с помощью методов, применявшихся в § 9. В общем случае собственные значения, получающиеся при решении уравнений типа (15.16) и (15.17) с различными значениями $l$, являются невырожденными.

Число уровней энергии, допускаемых уравнениями (15.17) при различных значениях $V_{0} a^{2}$, легко определить и без помощи численных расчетов. Новый уровень появляется, если $\eta$ обращается в нуль или $\operatorname{ctg} \xi$ – в бесконечность. Это имеет место при $\xi=\pi, 2 \pi \ldots$ Поэтому если $l=1$, то при
\[
V_{0} a^{2} \leqslant \frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m}
\]

уровни энергии отсутствуют, при $\pi^{2} \hbar^{2} / 2 m<V_{0} a^{2}-2 \pi^{2} \hbar^{2} / m$ имеется одно связанное состояние и т. д.

Наименьшее значение $V_{0} a^{2}$, для которого имеется связанное состояние при $l=1$, больше соответствующего значения $V_{0} a^{2}$ при $l=0$. Физически это вполне естественно. Действительно, фигурирующий в радиальном волновом уравнении член с $l$ был истолкован в \& 14 как добавочная потенциальная энергия, соответствующая отталкивающей „центробежной силе\”. Соответственно для удержания частицы, обладающей конечным моментом количества движения, требуется большая сила притяжения, чем для частицы, момент количества движения которой равен нулю. В самом деле, оказывается, что минимальная „сила\” $V_{0} a^{2}$
прямоугольной потенциальной ямы, необходимая для удержания частицы, монотонно возрастает с возрастанием орбитального квантового числа $l^{1}$.