Теперь мы можем приступить к определению уровней энергии связанных состояний, соответствующих тому или иному част-

Фиг. 13. Сферически симметричная прямоугольная потенциальная яма глубиной $V_0$ и радиусом $a$. ному виду потенциальной энергии $V(r)$ и данному значению орбитального квантового числа $l$. Для этого надо будет решить радиальное волновое уравнение (14.3) при заданной функции $V(r)$. В качестве первого примера рассмотрим прямоугольную потенциальную яму конечной глубины, для которой $V(r)=-V_0$ при $r<a$ и $V(r)=0$ при $r>a$, где $V_0>0$ (фиг. 13). Сферическая область данного типа, внутри которой потенциал меньше, чем в остальных точках пространства, является центром притяжения так же, как это имело место в одномерном случае, рассмотренном в § 9 .
Нулевой момент количества движения.
При $l=0$ проще решать волновое уравнение, записанное в виде (14.17), а не (14.3). В этом случае $R(r)=\chi (r)/r$ и уравнение имеет вид
$$\begin{array}{rl}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\chi }{d{r}^2}-V_0\chi & =E\chi ,r<a,\\ -\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\chi }{d{r}^2}& =E\chi ,r>a.\end{array}$$

Уравнения (15.1) решаются так же, как и в § 9 (случай конечного скачка потенциала), с той лишь разницей, что, во-первых, в настоящей задаче энергия отсчитывается не от нуля, а от $V_0$; во вторых, в § 9 переменная $x$ изменялась от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$, тогда как теперь $r$ изменяется от 0 до $+\mathrm{\infty }$; в-третьих, граничное условие, согласно которому волновая функция не должна обращаться в бесконечность при $x=-\mathrm{\infty }$, заменяется теперь таким же условием в точке $r=0$.

суммы произведений $\sin \varrho$ и $\cos \varrho$ на полиномы нечетного порядка относительно ${\varrho }^{-1/2}$. В частности, явные выражения для первых трех функций $j$ и $n$ имеют вид
$$\begin{array}{ll}{j}_0(\varrho )=\frac{\sin \varrho }{\varrho },& n_0(\varrho )=-\frac{\cos \varrho }{\varrho },\\ j_1(\varrho )=\frac{\sin \varrho }{{\varrho }^2}-\frac{\cos \varrho }{\varrho },& n_1(\varrho )=-\frac{\cos \varrho }{{\varrho }^2}-\frac{\sin \varrho }{\varrho },\\ j_2(\varrho )=(\frac{3}{{\varrho }^3}-\frac{1}{\varrho })\sin \varrho -\frac{3}{{\varrho }^2}\cos \varrho ,n_2(\varrho )=-(\frac{3}{{\varrho }^3}-\frac{1}{\varrho })\cos \varrho -\frac{3}{{\varrho }^2}\sin \varrho .\end{array}$$

Главные члены при малых $\varrho$ запишутся следующим образом¹):
$$\begin{array}{c}{j}_l(\varrho )\underset{\varrho \to 0}{\overset{⟶}{\to }}\frac{{\varrho }^l}{1\cdot 3\cdot 5\dots (2l+1)},\\ n_l(\varrho )\underset{\varrho \to 0}{}-\frac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\dots (2l-1)}{{\varrho }^{l+1}},\end{array}$$

а главные члены в асимптотических разложениях функций $j_l$ и $n_l$ равны ${}^{2)}$ :
$$\begin{array}{l}{j}_l(\varrho )\underset{\varrho \to \mathrm{\infty }}{}\frac{1}{\varrho }\cos [\varrho -\frac{1}{2}(l+1)\pi ],\\ n_l(\varrho )\underset{\varrho \to \mathrm{\infty }}{}\frac{1}{\varrho }\sin [\varrho -\frac{1}{2}(l+1)\pi ].\end{array}$$

Некоторые свойства функций $j$ и $n$ характеризуются соотношениями
$$\begin{array}{l}\int j_0^2(\varrho ){\varrho }^{2}d\varrho =\frac{1}{2}{\varrho }^3[j_0^2(\varrho )+n_0(\varrho )j_1(\varrho )],\\ \int n_0^2(\varrho ){\varrho }^{2}d\varrho =\frac{1}{2}{\varrho }^3[n_0^2(\varrho )-j_0(\varrho )n_1(\varrho )],\\ n_{l-1}(\varrho )j_l(\varrho )-n_l(\varrho )j_{l-1}(\varrho )=\frac{1}{{\varrho }^2},l>0,\\ j_l(\varrho )\frac{d}{d\varrho }{n}_l(\varrho )-n_l(\varrho )\frac{d}{d\varrho }{j}_l(\varrho )=\frac{1}{{\varrho }^2}.\end{array}$$

Следующие равенства справедливы как для $j$, так и для $n$ :
$$\begin{array}{rl}{j}_{l-1}(\varrho )+j_{l+1}(\varrho )& =\frac{2l+1}{\varrho }{j}_l(\varrho ),l>0,\\ \frac{d}{d\varrho }{j}_l(\varrho )& =\frac{1}{2l+1}[l{j}_{l-1}(\varrho )-(l+1)j_{l+1}(\varrho )]\\ \frac{d}{d\varrho }[{\varrho }^{l+1}{j}_l(\varrho )]& ={\varrho }^{l+1}{j}_{l-1}(\varrho ),l>0,\\ \frac{d}{d\varrho }[{\varrho }^{-l}{j}_l(\varrho )]& =-{\varrho }^{-l}{j}_{l+1}(\varrho ),\\ \int j_1(\varrho )d\varrho & =-j_0(\varrho ),\\ \int j_0(\varrho ){\varrho }^{2}d\varrho & ={\varrho }^2{j}_1(\varrho ),\\ \int j_l^2(\varrho ){\varrho }^{2}d\varrho & =\frac{1}{2}{\varrho }^3[j_l^2(\varrho )-j_{l-1}(\varrho )j_{l+1}(\varrho )],l>0.\end{array}$$

Поскольку при $r=0$ функция $R(r)$ должна оставаться конечной, искомое решение при $r<a$ имеет вид
$$R(r)=A{j}_l(\alpha r).$$

Решения во внешней области при произвольном $\mathit{I}$.
При $r>a$ волновое уравнение можно привести к виду (15.4), если положить $\varrho =i\beta r$, где величина $\beta$ определена в (15.2). Поскольку область изменения $\varrho$ теперь не содержит нуля, то нет оснований исключать $n_l$ из решения. Из функций $j_l$ и $n_l$ надо составить такую линейную комбинацию, которая экспоненциально убывала бы при больших $r$. В связи с этим определим сферические функции Ганкеля
$$\begin{array}{l}{h}_l^{(1)}(\varrho )=j_l(\varrho )+i{n}_l(\varrho ),\\ h_l^{(2)}(\varrho )=j_l(\varrho )-i{n}_l(\varrho ),\end{array}$$

асимптотические выражения для которых в соответствии с (15.8) имеют вид
$$\begin{array}{l}{h}_l^{(1)}(\varrho )\underset{\varrho \to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{1}{\varrho }{e}^{i[\varrho -\frac{1}{2}(l+1)\pi ]},\\ h^{(2)}(\varrho )\underset{\varrho \to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{1}{\varrho }{e}^{-i[\varrho -\frac{1}{2}(l+1)\pi ]}.\end{array}$$

Можно показать, что асимптотические разложения, главные члены которых определяются формулами (15.13), не содержат экспонент с противоположным знаком показателя степени.
Таким образом, при $r>a$ искомое решение есть
$$R(r)=B{h}_l^{(1)}(i\beta r)=B[j_l(i\beta r)+i{n}_l(i\beta r)].$$

Первые три из этих функций имеют вид
$$\begin{array}{l}{h}_0^{(1)}(i\beta r)=-\frac{1}{\beta r}{e}^{-\beta r},\\ h_1^{(1)}(i\beta r)=i(\frac{1}{\beta r}+\frac{1}{{\beta }^2{r}^2})e^{-\beta r},\\ h_2^{(1)}(i\beta r)=(\frac{1}{\beta r}+\frac{3}{{\beta }^2{r}^2}+\frac{3}{{\beta }^3{r}^3})e^{-\beta r}.\end{array}$$

Уровни энергии.
Уровни энергии получаются из условия непрерывности $(1/R)(dR/dr)$ при $r=a$. Накладывая это условие на внутреннее (15.11) и внешнее (15.15) решения при $l=0$, мы получим уравнение (15.3). Последнее можно переписать в виде
$$\xi \mathrm{ctg}\xi =-\eta ,{\xi }^2+{\eta }^2=\frac{2m{V}_0{a}^2}{{\hslash }^2},$$

где, как и в $\mathrm{\S }9,\xi =\alpha a$ и $\eta =\beta a$. При $l=1$ условие непрерывности в силу (15.6) и (15.15) приводится к виду
$$\frac{\mathrm{ctg}\xi }{\xi }-\frac{1}{{\xi }^2}=\frac{1}{\eta }+\frac{1}{{\eta }^2},{\xi }^2+{\eta }^2=\frac{2m{V}_0{a}^2}{{\hslash }^2}.$$

Уравнения (15.17) можно решить либо численно, либо графически, с помощью методов, применявшихся в § 9. В общем случае собственные значения, получающиеся при решении уравнений типа (15.16) и (15.17) с различными значениями $l$, являются невырожденными.

Число уровней энергии, допускаемых уравнениями (15.17) при различных значениях $V_0{a}^2$, легко определить и без помощи численных расчетов. Новый уровень появляется, если $\eta$ обращается в нуль или $\mathrm{ctg}\xi$ — в бесконечность. Это имеет место при $\xi =\pi ,2\pi \dots$ Поэтому если $l=1$, то при
$$V_0{a}^2⩽\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m}$$

уровни энергии отсутствуют, при ${\pi }^2{\hslash }^2/2m<V_0{a}^2-2{\pi }^2{\hslash }^2/m$ имеется одно связанное состояние и т. д.

Наименьшее значение $V_0{a}^2$, для которого имеется связанное состояние при $l=1$, больше соответствующего значения $V_0{a}^2$ при $l=0$. Физически это вполне естественно. Действительно, фигурирующий в радиальном волновом уравнении член с $l$ был истолкован в \& 14 как добавочная потенциальная энергия, соответствующая отталкивающей „центробежной силе\». Соответственно для удержания частицы, обладающей конечным моментом количества движения, требуется большая сила притяжения, чем для частицы, момент количества движения которой равен нулю. В самом деле, оказывается, что минимальная „сила\» $V_0{a}^2$
прямоугольной потенциальной ямы, необходимая для удержания частицы, монотонно возрастает с возрастанием орбитального квантового числа $l^1$.