В $\text{Math input error}$ отмечалось, что в отношении применения метода парциальных волн рассеяние в кулоновском поле представляет особый случай. При столкновении частиц с зарядами $\mathrm{Ze}$ и $Z^{\prime }e$ потенциальная энергия $V(r)=Z{Z}^{\prime }{e}^2/r$, и легко видеть, что асимптотически функция (19.3) имеет вид
$${\chi }_l(r)\sim e^{\pm i(kr-n\ln r)};$$

здесь $n=\mu Z{Z}^{\prime }{e}^2/{\hslash }^{2}k=Z{Z}^{\prime }{e}^2/\hslash v$, где $v-$ скорость относительного движения, а $\mu$ — приведенная масса. Таким образом, решения радиального уравнения никогда не переходят в синусоидальные решения волнового уравнения для свободной частицы, так как на больших расстояниях нельзя пренебречь логарифмической добавкой к фазе. Хотя и в данном случае можно получить решение задачи о рассеянии в сферических координатах (что делается в дальнейшем), но фазы ${\delta }_l$, введенные в $\mathrm{\S }19$, приобретают другой смысл. В настоящем параграфе намечается лишь схема расчета и дается общее описание результатов, заимствованных из более обширных руководств ${}^1$.

Параболические координаты.
Если мы интересуемся лишь сечением $\sigma (\theta )$ для чисто кулоновского поля, то проще разделять переменные не в сферических, а в параболических координатах (см. §16). Это связано с тем, что искомое решение зависит почти исключительно от переменной $\xi$ (16.25), а не от $\eta$ и $\phi$. Из осевой симметрии задачи ясно, что решение не будет зависеть от $\phi$; далее, если выделить в волновой функции множитель $e^{ikz}$, характеризующий плоскую падающую волну, то можно думать, что остающаяся часть функции не будет зависеть и от $\eta$. Действительно, положим
$$u_c=e^{ikz}f\text{, }$$

где $u_c$ — полная кулоновская волновая функция (включающая как падающую, так и рассеянную волну). Функция $u_c$ должна содержать часть, асимптотическое поведение которой характеризуется функцией $r^{-1}{e}^{ikr}$, но не может содержать членов с асимптотическим выражением $r^{-1}{e}^{-ikr}$ [см. (18.10)]. Поскольку такую форму может иметь выражение вида $e^{ikz}f(r-z)$, но не $e^{ikz}f(r+z)$, . можно ожидать, что фигурирующая в (20.2) функция $f$ будет зависеть только от $\xi =r-z$.

Подставим (20.2) в (16.26), заменив там $Z$ на $-Z{Z}^{\prime }$ и принимая во внимание, что $E=0$. Тогда для $f$ получим дифференциаль-

где
$$\begin{array}{rl}{f}_c(\theta )& =\frac{\mathrm{\Gamma }(1+in)}{i\mathrm{\Gamma }(-in)}\frac{e^{-in\ln ({\sin }^{11}/2\theta )}}{2k{\sin }^{21/2}\theta }=\\ & =\frac{n}{2k{\sin }^{2}1/2\theta }{e}^{-in\ln ({\sin }^{21/2}\theta )+i\pi +2i{\eta }_0},\\ {\eta }_0& =\arg \mathrm{\Gamma }(1+in).\end{array}$$

Эффективное сечение рассеяния и нормировка.
Слагаемое с $f_c$ в правой части (20.9) представляет расходящуюся рассеянную волну, так как только в нем имеется множитель $(1/r)e^{ikr}$. Соответственно первый член в (20.9) изображает „плоскую\» падающую волну; в асимптотической области множителем — $n^2/ik(r-z)$ можно пренебречь. Как падающая, так и рассеянная волны даже на бесконечности искажены логарифмическими фазовыми множителями. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния в соответствии с (18.11) равно
$${\sigma }_c(\theta )={|f_c(\theta )|}^2={\left(\frac{n}{2k{\sin }^{2}1/2\theta }\right)}^2={\left(\frac{Z{Z}^{\prime }{e}^2}{2\mu v^2}\right)}^2{\mathrm{cosec}}^4\frac{1}{2}\theta .$$

Именно эта формула была получена Резерфордом с помощью классической механики. Она была подтверждена экспериментально при исследовании столкновений $\alpha$-частиц (ядер гелия) с более тяжелыми ядрами. Однако следует отметить, что при столкновениях тождественных частиц часть фазового множителя в амплитуде рассеяния $f_c(\theta )$, содержащая угол $\theta$, может дать отклонения от классических закономерностей (см. § 32).

Нормируя падающий пучок на единичную плотность потока, следует взять константу $C$ в виде
$$C=v^{-1/2}\mathrm{\Gamma }(1+in)e^{-n\pi /2}.$$

Таким образом, волновая функция в кулоновском поле есть
$$\begin{array}{rl}{u}_c& =v^{-1/2}\mathrm{\Gamma }(1+in)e^{-n\pi /2}{e}^{ikz}F(-in,1,ik\xi )=\\ & =v^{-1/2}\mathrm{\Gamma }(1+in)e^{-n\pi /2}{e}^{ikr\cos \theta }F(-in,1,2ikr{\sin }^{21}/2\theta ).\end{array}$$

Тогда плотность частиц при $r=0$ можно найти с помощью разложения (20.6)
$${|u_c(0)|}^2=|C{|}^2=v^{-1}|\mathrm{\Gamma }(1+in){|}^2{e}^{-n\pi }=\frac{2n\pi }{v(e^{2n\pi }-1)}.$$

При малых скоростях сталкивающихся частиц ( $|n|\gg 1$ ) отсюда следует :
$$\begin{array}{l}{|u_c(0)|}^2\approx \frac{2\pi |n|}{v}\text{ для сил притяжения, }\dots ..n<0,\\ {|u_c(0)|}^2\approx \frac{2\pi n}{v}{e}^{-2n\pi }\text{ для сил отталкивания, }n>0.\end{array}$$

Вторая из формул (20.14) представляет определенный практический интерес. Экспоненциальный множитель играет основную роль в реакциях между положительно заряженными ядрами малой энергии, когда радиусы ядер можно считать столь малыми, что для возникновения реакции сталкивающиеся ярда должны приблизиться друг к другу на нулевое расстояние. Величина $\exp (-2\pi Z{Z}^{\prime }{e}^2/\hslash v)$ называется множителем $Гамовa^1$ и в основном именно она определяет значения скоростей многих ядерных реакций, происходящих при малых энергиях падающих частиц.

Решения в сферических координатах.
При ядерных столкновениях, например в случае рассеяния протонов с энергией в несколько миллионов электроно-вольт атомами водорода, отклонения от кулоновского закона взаимодействия на малых расстояниях могут привести к изменению эффективного сечения. Для рассмотрения таких задач удобно модифицировать развитый в § 19 метод парциальных волн так, чтобы производить разложение по сферическим функциям для чисто кулоновского поля, а поправки за счет искажения закона взаимодействия вводить в первые несколько членов с малыми $l$. Для этой цели нужно прежде всего решить задачу о рассеянии в чисто кулоновском поле с помощью сферических парциальных волн.
Положим
$$u_c=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{R}_l(r)P_l(\cos \theta ).$$

Радиальное уравнение будет иметь вид
$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d{R}_l}{dr}\right)+[k^2-\frac{2nk}{r}-\frac{l(l+1)}{r^2}]R_l=0.$$

Если сделать подстановку $R_l(r)=r^l{e}^{ikr}{f}_l(r)$, то для функции $f_l$ получим
$$r\frac{d^2{f}_l}{d{r}^2}+[2ikr+2(l+1)]\frac{d{f}_l}{dr}+[2ik(l+1)-2nk]f_l=0.$$

Это есть вырожденное гипергеометрическое уравнение (20.4), и его решение, регулярное в точке $r=0$, имеет вид
$$f_l(r)=C_{l}F(l+1+in,2l+2,-2ikr).$$

Пользуясь (20.7), можно найти асимптотическое представление (20.18) на больших расстояниях, откуда получаем
$$R_l(r)\underset{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{c_l{e}^{(n\pi /2)+i{\eta }_l\mathrm{\Gamma }}(2l+2)}{(2k{)}^l\mathrm{\Gamma }(l+1+in)kr}\sin (kr-\frac{1}{2}l\pi -n\ln 2kr+{\eta }_l),$$

где
$${\eta }_l={\arg }_{-}^{\ast }\mathrm{\Gamma }(l+1+in).$$

Коэффициенты $C_l$ следует определить так, чтобы разложение по нарциальным волнам (20.15) совпадало с решением уравнения в параболических координатах (20.12). В силу ортогональности полиномов Лежандра имеет место соотношение
$$R_l(r)=\frac{2l+1}{2}{\int }_0^{\pi }{P}_l(\cos \theta )u_c(r,\theta )\sin \theta d\theta ,$$

где функция $u_c(r,\theta )$ дается второй из формул (20.12). Полного вычисления интеграла можно избежать, заметив, что в функции $R_l(r)$ нам неизвестен только постоянный множитель $C_l$. Соответственно можно взять правую и левую части (20.20) лишь вблизи точки $r=0$; тогда находим
$$C_l=\frac{(2ik{)}^l{e}^{-n\pi /2}\mathrm{\Gamma }(l+1+in)}{v^{1/2}(2l)!}.$$

Таким образом, мы получаем другое выражение для (20.12):
$$\begin{array}{rl}{u}_c=v^{-1/2}{e}^{-n\pi /2}& \sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(l+1+in)}{(2l)!}(2ikr{)}^l{e}^{ikr}\times \\ & \times F(l+1+in,2l+2,-2ikr)P_l(\cos \theta ).\end{array}$$

Исқаженное кулоновское поле.
Если истинный потенциал отклоняется от кулоновского выражения лишь при малых $r$, то по аналогии с результатами $\mathrm{\S }19$ можно ожидать, что в сумме (20.21) изменятся лишь несколько первых членов. Поскольку вне области аномального потенциала все радиальные функции должны удовлетворять уравнению (20.16) [и, следовательно, $f_l$-уравнению (20.17)], то единственная возможность изменения $f_l$ состоит в том, чтобы добавить к ней нерегулярное решение $G(l+1+in,2l+2,-2ikr)$, определяемое формулой (20.8). Коэффициент при $G$ определяется из условия, чтобы асимптотическое выражение для полной воліновой функции складывалось из кулоновских падающей и рассеянной волн, а также из добавочной расходящейся волны.

Поэтому в каждом члене (20.21) нужно заменить $F$ на линейную комбинацию $F$ и $G$, причем член $W_2$, характеризующий падающую волну, должен оставаться неизменным. Такой комбинацией будет
$$e^{i{\delta }_l}(F\cos {\delta }_l+G\sin {\delta }_l)=W_1{e}^{2i{\delta }_l}+W_2.$$

Тогда модифицированную волновую функцию, удовлетворяющую волновому уравнению вне области аномального потенциала, можно

записать в виде
$$\begin{array}{rl}{u}_m=& u_c+v^{-1/2}{e}^{-n\pi /2}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(l+1+in)}{(2l)!}(2ikr{)}^l{e}^{ikr}\times \\ & \times (e^{2i{\delta }_l}-1)W_1(l+1+in,2l+2,-2ikr)P_l(\cos \theta ).\end{array}$$

Это асимптотически дает
$$\begin{array}{rl}{u}_m\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\overset{⟶}{\to }}& v^{-1/2}\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}(2l+1)i^l{e}^{i({\eta }_l+{\delta }_l)}(kr{)}^{-1}\times \\ & \times \sin (kr-\frac{1}{2}l\pi -n\ln 2kr+{\eta }_l+{\delta }_l))P_l(\cos \theta ).\end{array}$$

Как было показано в связи с (19.5), каждый член в правой части (20.23) с точностью до комплексного множителя должен быть вещественной функцией $r$, так что все фазы ${\delta }_l$ должны быть вещественны.

Дополнительные сдвиги фаз ${\delta }_l$ можно найти, как и в $\mathrm{\S }19$, из условия непрерывности всех парциальных волн на границе области аномального потенциала. Однако если в $\S 19$ фазы ${\delta }_l$ характеризовали отклонение волновой функции от вида, соответствующего свободной частице, то здесь они описывают отклонение от волновой функции для частицы, рассеиваемой чисто кулоновским полем), С помощью формулы (20.22) можно показать, что асимптотическое представление $u_m$ имеет вид (20.9) с заменой $f_c(\theta )$ на
$$f_m(\theta )=f_c(\theta )+\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{k}^{-1}(2l+1)e^{i(2{\eta }_l+{\delta }_l)}\sin {\delta }_l{P}_l(\cos \theta ).$$

Дифференциальное эффективное сечение рассеяния равно ${|f_m(\theta )|}^2$; в общем случае оно содержит член, возникающий в результате интерференции между амплитудой кулоновского рассеяния $f_c(\theta )$ и добавочными членами, зависящими от фаз ${\delta }_l$.

Классический предельный случай для чисто кулоновского поля.
Как указывалось в § 12, следует ожидать совпадения результатов квантовой и классической теорий во всех тех случаях, когда можно образовать волновые пакеты, движущиеся по классическим траекториям без заметного расплывания и притом настолько малые, что во всех точках пакета действующие силы можно считать одинаковыми. Там же было найдено, что наименьшее расширение волнового пакета за время $t$ по порядку величины равно $(\hslash t/\mu {)}^{1/2}$ или $(\hslash d/\mu v{)}^{1/2}=(\hslash d{)}^{1/2}$, где $d=vt$ — расстояние,

проходимое пакетом за время $t$, а $\lambda \equiv \lambda /2\pi =\hslash /\mu v-$ приведенная длина волны для относительного движения. Таким образом, классическую теорию можно применять; если ( $(d{)}^{\frac{1}{2}}\ll d$ или $(d/\hslash {)}^{1/2}\gg 1$, где $d$ — расстояние, в пределах которого сила изменяется заметным образом. В кулоновском поле отталкивания длина $d$ по порядку величины совпадает с классическим прицельным расстоянием $\left|Z{Z}^{\prime }{e}^2/\frac{1}{2}\mu v^2\right|$. Это дает также полезную оценку и для кулоновского поля притяжения, поскольку при всех столкновениях, за исключением относительно небольшого числа случаев рассеяния на большие углы, частицы никогда не приближаются друг к другу ближе, чем на это расстояние.

Таким образом, условие применимости классической теории есть
$${|n^{1/2}=|\frac{Z{Z}^{\prime }{e}^2}{\hslash v}|}^{1/2}⩾1.$$
В силу больших значений $n$ угловая часть фазы $f_c(\theta )$, определяемая равенством (20.10), быстро осциллирует с изменением $\theta$ и, следовательно, лишь в малой степени влияет на характер столкновений одинаковых частиц (см. задачу 6, гл. IX). Интересно отметить, что для кулоновского поля классический предельный случай осуществляется при малых скоростях $v$, тогда как для потенциала с конечным радиусом действия $a$ (типа рассмотренного в § 19) он имеет место при $(a/\lambda {)}^{1/2}⩾1$, т. е. при больших $v$. Это связано с тем, что при уменьшении $v$ „протяженность\» $\left|Z{Z}^{\prime }{e}^2/\mu v^2\right|$ кулоновского поля увеличивается быстрее; чем $\lambda =\hslash /\mu v$.