В $₹ 19$ отмечалось, что в отношении применения метода парциальных волн рассеяние в кулоновском поле представляет особый случай. При столкновении частиц с зарядами $\mathrm{Ze}$ и $Z^{\prime} e$ потенциальная энергия $V(r)=Z Z^{\prime} e^{2} / r$, и легко видеть, что асимптотически функция (19.3) имеет вид
\[
\chi_{l}(r) \sim e^{ \pm i(k r-n \ln r)} ;
\]

здесь $n=\mu Z Z^{\prime} e^{2} / \hbar^{2} k=Z Z^{\prime} e^{2} / \hbar v$, где $v-$ скорость относительного движения, а $\mu$ – приведенная масса. Таким образом, решения радиального уравнения никогда не переходят в синусоидальные решения волнового уравнения для свободной частицы, так как на больших расстояниях нельзя пренебречь логарифмической добавкой к фазе. Хотя и в данном случае можно получить решение задачи о рассеянии в сферических координатах (что делается в дальнейшем), но фазы $\delta_{l}$, введенные в $\S 19$, приобретают другой смысл. В настоящем параграфе намечается лишь схема расчета и дается общее описание результатов, заимствованных из более обширных руководств ${ }^{1}$.

Параболические координаты.
Если мы интересуемся лишь сечением $\sigma(\theta)$ для чисто кулоновского поля, то проще разделять переменные не в сферических, а в параболических координатах (см. §16). Это связано с тем, что искомое решение зависит почти исключительно от переменной $\xi$ (16.25), а не от $\eta$ и $\varphi$. Из осевой симметрии задачи ясно, что решение не будет зависеть от $\varphi$; далее, если выделить в волновой функции множитель $e^{i k z}$, характеризующий плоскую падающую волну, то можно думать, что остающаяся часть функции не будет зависеть и от $\eta$. Действительно, положим
\[
u_{c}=e^{i k z} f \text {, }
\]

где $u_{c}$ – полная кулоновская волновая функция (включающая как падающую, так и рассеянную волну). Функция $u_{c}$ должна содержать часть, асимптотическое поведение которой характеризуется функцией $r^{-1} e^{i k r}$, но не может содержать членов с асимптотическим выражением $r^{-1} e^{-i k r}$ [см. (18.10)]. Поскольку такую форму может иметь выражение вида $e^{i k z} f(r-z)$, но не $e^{i k z} f(r+z)$, . можно ожидать, что фигурирующая в (20.2) функция $f$ будет зависеть только от $\xi=r-z$.

Подставим (20.2) в (16.26), заменив там $Z$ на $-Z Z^{\prime}$ и принимая во внимание, что $E=0$. Тогда для $f$ получим дифференциаль-

где
\[
\begin{aligned}
f_{c}(\theta) & =\frac{\Gamma(1+i n)}{i \Gamma(-i n)} \frac{e^{-i n \ln \left(\sin ^{11} / 2 \theta\right)}}{2 k \sin ^{21 / 2} \theta}= \\
& =\frac{n}{2 k \sin ^{2} 1 / 2 \theta} e^{-i n \ln \left(\sin ^{21 / 2} \theta\right)+i \pi+2 i \eta_{0}}, \\
\eta_{0} & =\arg \Gamma(1+i n) .
\end{aligned}
\]

Эффективное сечение рассеяния и нормировка.
Слагаемое с $f_{c}$ в правой части (20.9) представляет расходящуюся рассеянную волну, так как только в нем имеется множитель $(1 / r) e^{i k r}$. Соответственно первый член в (20.9) изображает „плоскую\” падающую волну; в асимптотической области множителем – $n^{2} / i k(r-z)$ можно пренебречь. Как падающая, так и рассеянная волны даже на бесконечности искажены логарифмическими фазовыми множителями. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния в соответствии с (18.11) равно
\[
\sigma_{c}(\theta)=\left|f_{c}(\theta)\right|^{2}=\left(\frac{n}{2 k \sin ^{2} 1 / 2 \theta}\right)^{2}=\left(\frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{2 \mu v^{2}}\right)^{2} \operatorname{cosec}^{4} \frac{1}{2} \theta .
\]

Именно эта формула была получена Резерфордом с помощью классической механики. Она была подтверждена экспериментально при исследовании столкновений $\alpha$-частиц (ядер гелия) с более тяжелыми ядрами. Однако следует отметить, что при столкновениях тождественных частиц часть фазового множителя в амплитуде рассеяния $f_{c}(\theta)$, содержащая угол $\theta$, может дать отклонения от классических закономерностей (см. § 32).

Нормируя падающий пучок на единичную плотность потока, следует взять константу $C$ в виде
\[
C=v^{-1 / 2} \Gamma(1+i n) e^{-n \pi / 2} .
\]

Таким образом, волновая функция в кулоновском поле есть
\[
\begin{aligned}
u_{c} & =v^{-1 / 2} \Gamma(1+i n) e^{-n \pi / 2} e^{i k z} F(-i n, 1, i k \xi)= \\
& =v^{-1 / 2} \Gamma(1+i n) e^{-n \pi / 2} e^{i k r \cos \theta} F\left(-i n, 1,2 i k r \sin ^{21} / 2 \theta\right) .
\end{aligned}
\]

Тогда плотность частиц при $r=0$ можно найти с помощью разложения (20.6)
\[
\left|u_{c}(0)\right|^{2}=|C|^{2}=v^{-1}|\Gamma(1+i n)|^{2} e^{-n \pi}=\frac{2 n \pi}{v\left(e^{2 n \pi}-1\right)} .
\]

При малых скоростях сталкивающихся частиц ( $|n| \gg 1$ ) отсюда следует :
\[
\begin{array}{l}
\left|u_{c}(0)\right|^{2} \approx \frac{2 \pi|n|}{v} \text { для сил притяжения, } \ldots . . n<0, \\
\left|u_{c}(0)\right|^{2} \approx \frac{2 \pi n}{v} e^{-2 n \pi} \text { для сил отталкивания, } n>0 .
\end{array}
\]

Вторая из формул (20.14) представляет определенный практический интерес. Экспоненциальный множитель играет основную роль в реакциях между положительно заряженными ядрами малой энергии, когда радиусы ядер можно считать столь малыми, что для возникновения реакции сталкивающиеся ярда должны приблизиться друг к другу на нулевое расстояние. Величина $\exp \left(-2 \pi Z Z^{\prime} e^{2} / \hbar v\right)$ называется множителем $Г а м о в a^{1}$ и в основном именно она определяет значения скоростей многих ядерных реакций, происходящих при малых энергиях падающих частиц.

Решения в сферических координатах.
При ядерных столкновениях, например в случае рассеяния протонов с энергией в несколько миллионов электроно-вольт атомами водорода, отклонения от кулоновского закона взаимодействия на малых расстояниях могут привести к изменению эффективного сечения. Для рассмотрения таких задач удобно модифицировать развитый в § 19 метод парциальных волн так, чтобы производить разложение по сферическим функциям для чисто кулоновского поля, а поправки за счет искажения закона взаимодействия вводить в первые несколько членов с малыми $l$. Для этой цели нужно прежде всего решить задачу о рассеянии в чисто кулоновском поле с помощью сферических парциальных волн.
Положим
\[
u_{c}=\sum_{l=0}^{\infty} R_{l}(r) P_{l}(\cos \theta) .
\]

Радиальное уравнение будет иметь вид
\[
\frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left(r^{2} \frac{d R_{l}}{d r}\right)+\left[k^{2}-\frac{2 n k}{r}-\frac{l(l+1)}{r^{2}}\right] R_{l}=0 .
\]

Если сделать подстановку $R_{l}(r)=r^{l} e^{i k r} f_{l}(r)$, то для функции $f_{l}$ получим
\[
r \frac{d^{2} f_{l}}{d r^{2}}+[2 i k r+2(l+1)] \frac{d f_{l}}{d r}+[2 i k(l+1)-2 n k] f_{l}=0 .
\]

Это есть вырожденное гипергеометрическое уравнение (20.4), и его решение, регулярное в точке $r=0$, имеет вид
\[
f_{l}(r)=C_{l} F(l+1+i n, 2 l+2,-2 i k r) .
\]

Пользуясь (20.7), можно найти асимптотическое представление (20.18) на больших расстояниях, откуда получаем
\[
R_{l}(r) \underset{r \rightarrow \infty}{\longrightarrow} \frac{c_{l} e^{(n \pi / 2)+i \eta_{l} \Gamma}(2 l+2)}{(2 k)^{l} \Gamma(l+1+i n) k r} \sin \left(k r-\frac{1}{2} l \pi-n \ln 2 k r+\eta_{l}\right),
\]

где
\[
\eta_{l}=\arg _{-}^{*} \Gamma(l+1+i n) .
\]

Коэффициенты $C_{l}$ следует определить так, чтобы разложение по нарциальным волнам (20.15) совпадало с решением уравнения в параболических координатах (20.12). В силу ортогональности полиномов Лежандра имеет место соотношение
\[
R_{l}(r)=\frac{2 l+1}{2} \int_{0}^{\pi} P_{l}(\cos \theta) u_{c}(r, \theta) \sin \theta d \theta,
\]

где функция $u_{c}(r, \theta)$ дается второй из формул (20.12). Полного вычисления интеграла можно избежать, заметив, что в функции $R_{l}(r)$ нам неизвестен только постоянный множитель $C_{l}$. Соответственно можно взять правую и левую части (20.20) лишь вблизи точки $r=0$; тогда находим
\[
C_{l}=\frac{(2 i k)^{l} e^{-n \pi / 2} \Gamma(l+1+i n)}{v^{1 / 2}(2 l) !} .
\]

Таким образом, мы получаем другое выражение для (20.12):
\[
\begin{aligned}
u_{c}=v^{-1 / 2} e^{-n \pi / 2} & \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\Gamma(l+1+i n)}{(2 l) !}(2 i k r)^{l} e^{i k r} \times \\
& \times F(l+1+i n, 2 l+2,-2 i k r) P_{l}(\cos \theta) .
\end{aligned}
\]

Исқаженное кулоновское поле.
Если истинный потенциал отклоняется от кулоновского выражения лишь при малых $r$, то по аналогии с результатами $\S 19$ можно ожидать, что в сумме (20.21) изменятся лишь несколько первых членов. Поскольку вне области аномального потенциала все радиальные функции должны удовлетворять уравнению (20.16) [и, следовательно, $f_{l}$-уравнению (20.17)], то единственная возможность изменения $f_{l}$ состоит в том, чтобы добавить к ней нерегулярное решение $G(l+1+i n, 2 l+2,-2 i k r)$, определяемое формулой (20.8). Коэффициент при $G$ определяется из условия, чтобы асимптотическое выражение для полной воліновой функции складывалось из кулоновских падающей и рассеянной волн, а также из добавочной расходящейся волны.

Поэтому в каждом члене (20.21) нужно заменить $F$ на линейную комбинацию $F$ и $G$, причем член $W_{2}$, характеризующий падающую волну, должен оставаться неизменным. Такой комбинацией будет
\[
e^{i \delta_{l}}\left(F \cos \delta_{l}+G \sin \delta_{l}\right)=W_{1} e^{2 i \delta_{l}}+W_{2} .
\]

Тогда модифицированную волновую функцию, удовлетворяющую волновому уравнению вне области аномального потенциала, можно

записать в виде
\[
\begin{aligned}
u_{m}= & u_{c}+v^{-1 / 2} e^{-n \pi / 2} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{\Gamma(l+1+i n)}{(2 l) !}(2 i k r)^{l} e^{i k r} \times \\
& \times\left(e^{2 i \delta_{l}}-1\right) W_{1}(l+1+i n, 2 l+2,-2 i k r) P_{l}(\cos \theta) .
\end{aligned}
\]

Это асимптотически дает
\[
\begin{aligned}
u_{m} \xrightarrow[r \rightarrow \infty]{\longrightarrow} & v^{-1 / 2} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) i^{l} e^{i\left(\eta_{l}+\delta_{l}\right)}(k r)^{-1} \times \\
& \left.\times \sin \left(k r-\frac{1}{2} l \pi-n \ln 2 k r+\eta_{l}+\delta_{l}\right)\right) P_{l}(\cos \theta) .
\end{aligned}
\]

Как было показано в связи с (19.5), каждый член в правой части (20.23) с точностью до комплексного множителя должен быть вещественной функцией $r$, так что все фазы $\delta_{l}$ должны быть вещественны.

Дополнительные сдвиги фаз $\delta_{l}$ можно найти, как и в $\S 19$, из условия непрерывности всех парциальных волн на границе области аномального потенциала. Однако если в $§ 19$ фазы $\delta_{l}$ характеризовали отклонение волновой функции от вида, соответствующего свободной частице, то здесь они описывают отклонение от волновой функции для частицы, рассеиваемой чисто кулоновским полем), С помощью формулы (20.22) можно показать, что асимптотическое представление $u_{m}$ имеет вид (20.9) с заменой $f_{c}(\theta)$ на
\[
f_{m}(\theta)=f_{c}(\theta)+\sum_{l=0}^{\infty} k^{-1}(2 l+1) e^{i\left(2 \eta_{l}+\delta_{l}\right)} \sin \delta_{l} P_{l}(\cos \theta) .
\]

Дифференциальное эффективное сечение рассеяния равно $\left|f_{m}(\theta)\right|^{2}$; в общем случае оно содержит член, возникающий в результате интерференции между амплитудой кулоновского рассеяния $f_{c}(\theta)$ и добавочными членами, зависящими от фаз $\delta_{l}$.

Классический предельный случай для чисто кулоновского поля.
Как указывалось в § 12, следует ожидать совпадения результатов квантовой и классической теорий во всех тех случаях, когда можно образовать волновые пакеты, движущиеся по классическим траекториям без заметного расплывания и притом настолько малые, что во всех точках пакета действующие силы можно считать одинаковыми. Там же было найдено, что наименьшее расширение волнового пакета за время $t$ по порядку величины равно $(\hbar t / \mu)^{1 / 2}$ или $(\hbar d / \mu v)^{1 / 2}=(\hbar d)^{1 / 2}$, где $d=v t$ – расстояние,

проходимое пакетом за время $t$, а $\lambda \equiv \lambda / 2 \pi=\hbar / \mu v-$ приведенная длина волны для относительного движения. Таким образом, классическую теорию можно применять; если ( $(d)^{\frac{1}{2}} \ll d$ или $(d / \hbar)^{1 / 2} \gg 1$, где $d$ – расстояние, в пределах которого сила изменяется заметным образом. В кулоновском поле отталкивания длина $d$ по порядку величины совпадает с классическим прицельным расстоянием $\left|Z Z^{\prime} e^{2} / \frac{1}{2} \mu v^{2}\right|$. Это дает также полезную оценку и для кулоновского поля притяжения, поскольку при всех столкновениях, за исключением относительно небольшого числа случаев рассеяния на большие углы, частицы никогда не приближаются друг к другу ближе, чем на это расстояние.

Таким образом, условие применимости классической теории есть
\[
\left.\left|n^{1 / 2}=\right| \frac{Z Z^{\prime} e^{2}}{\hbar v}\right|^{1 / 2} \geqslant 1 .
\]
В силу больших значений $n$ угловая часть фазы $f_{c}(\theta)$, определяемая равенством (20.10), быстро осциллирует с изменением $\theta$ и, следовательно, лишь в малой степени влияет на характер столкновений одинаковых частиц (см. задачу 6, гл. IX). Интересно отметить, что для кулоновского поля классический предельный случай осуществляется при малых скоростях $v$, тогда как для потенциала с конечным радиусом действия $a$ (типа рассмотренного в § 19) он имеет место при $(a / \lambda)^{1 / 2} \geqslant 1$, т. е. при больших $v$. Это связано с тем, что при уменьшении $v$ „протяженность\” $\left|Z Z^{\prime} e^{2} / \mu v^{2}\right|$ кулоновского поля увеличивается быстрее; чем $\lambda=\hbar / \mu v$.