Чтобы получить уравнение Шредингера для частицы с массой $m$ и зарядом $е$, движущейся в электромагнитном поле с потенциалами А и $\varphi$ при наличии добавочной потенциальной энергии $V$, нужно добавить к правой части уравнения (23.24) член $V \psi$ :
\[
\begin{array}{l}
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+\frac{i e \hbar}{m c} \mathbf{A} \cdot\right. \operatorname{grad}+\frac{i e \hbar}{2 m c}(\operatorname{div} \mathbf{A})+ \\
\left.+\frac{e^{2}}{2 m c^{2}} \mathbf{A}^{2}+e \varphi+V\right] \psi .
\end{array}
\]

Здесь $V$ представляет собой потенциальную энергию, ответственную за связанные состояния частицы (в случае электрона эта энергия имеет электростатическое происхождение); потенциалы А

и $\varphi$ характеризуют электромагнитное поле, величина которого достаточно мала, чтобы соответствующие члены в (35.1) можно было рассматривать как возмущение. Последнее вызывает переходы между различными стационарными состояниями частицы в поле $V$, и задача состоит в вычислении соответствующих вероятностей. Сначала мы обсудим некоторые свойства поля и рассмотрим решения его уравнений, имеющие вид плоских волн.

Уравнения Максвелла.
В гауссовой системе единиц уравнения Максвелла имеют вид
\[
\begin{array}{rlrl}
\operatorname{rot} \mathbf{E}+\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} & =0, & \operatorname{rot} \mathbf{H}-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{J}, \\
\operatorname{div} \mathbf{E} & =4 \pi \varrho, \quad \operatorname{div} \mathbf{H}=0 .
\end{array}
\]

Беря дивергенцию от второго и производную по времени от третьего уравнения, получим уравнение непрерывности для плотности электрического заряда $\varrho$ и плотности тока J:
\[
\operatorname{div} \mathrm{J}+\frac{\partial \varrho}{\partial t}=0 .
\]

Напряженности электрического и магнитного полей можно выразить через потенциалы по формулам (23.15):
\[
\mathbf{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\operatorname{grad} \varphi, \quad \mathbf{H}=\operatorname{rot} \mathbf{A},
\]

откуда видно, что первое и четвертое из уравнений (35.2) удовлетворяются тождественно. Соотношения (35.4) не определяют потенциалов однозначно, так как напряженности $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, очевидно, не изменятся, если заменить А и $\varphi$ новыми потенциалами $\mathbf{A}^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$ :
\[
\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}+\operatorname{grad} \chi, \quad \varphi^{\prime}=\varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \chi}{\partial t},
\]

где $\chi$ – произвольная функция $\mathbf{r}$ и $t$ (см. также задачу 3).
Подставляя (35.4) во второе и третье уравнения (35.2), получаем
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}+\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{A}}{\partial t^{2}}+\frac{1}{c} \operatorname{grad} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{4 \pi}{c} \mathbf{J}, \\
\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{div} \mathbf{A}+
abla^{2} \varphi=-4 \pi \varrho .
\end{array}
\]

Пользуясь прямоугольными координатами, для вектора А можно написать
\[
\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{A}=\operatorname{grad}(\operatorname{div} \mathbf{A})-
abla^{2} \mathbf{A},
\]

где последний член представляет собой вектор, компоненты которого получаются применением оператора Лапласа к соответствую-

Вектор Пойнтинга (с/4л) E $\times \mathbf{H}$, очевидно, параллелен вектору $\mathbf{k}$, a его абсолютная величина, усредненная по периоду колебаний $2 \pi / \omega$, равна
\[
\frac{\omega^{2}}{2 \pi c}\left|\mathbf{A}_{0}\right|^{2} .
\]

Здесь $\left|\mathbf{A}_{0}\right|^{2}$ представляет собой скалярное произведение вектора $\mathbf{A}_{0}$ на самого себя ( $\left|\mathbf{A}_{0}\right| \cdot\left|\mathbf{A}_{0}\right|$ ) или же скалярное произведение $\mathbf{A}_{0}$ на комплексно сопряженный вектор ( $\mathbf{A}_{0} \cdot \overline{\mathbf{A}}_{0}$ ). Выражение (35.12) определяет интенсивность\”) плоской волны (35.11).

Применение теории возмущений.
Вернемся теперь к уравнению (35.1) и вычислим вероятность перехода между стационарными состояниями, обусловленную векторным потенциалом (35.11); последний мы будем рассматривать как малое возмущение. Теперь в правой части (35.1) третий (div A) и пятый ( $\varphi$ ) члены равны нулю. Далее, отношение второго члена к первому и четвертого ко второму по порядку величины равно е $A / c p$, где $p$ – импульс частицы. Оценка этого отношения для практически интересного случая дана в задаче 4; результат оказывается столь малым, что использование теории возмущений является оправданным. Таким образом, в первом приближении теории возмущений можно пренебречь чле-
\[
\begin{array}{c}
i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}=\left(H_{0}+H^{\prime}\right) \psi, \\
H_{0}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathrm{r}), \quad H^{\prime}=\frac{i e \hbar}{m c} \mathrm{~A} \cdot \operatorname{grad} .
\end{array}
\]

Поступая так же, как в § 29, разложим $\psi$ по стационарным собственным функциям $u_{k}(\mathbf{r})$ невозмущенного гамильтониана $H_{0}$; коэффициенты разложения $a_{k}(t)$ при этом будут зависеть от времени. Если первоначально система находилась в состоянии $n$ и возмущение начало действовать в момент $t=0$, то в момент времени $t$ в первом приближении мы получим [ср. с (29.17)]
\[
\begin{aligned}
a_{k}^{(1)}(t) & =-\frac{H_{k n}^{\prime 0}}{\hbar} \frac{e^{i\left(\omega_{k n}-\omega\right) t}-1}{\omega_{k n}-\omega}-\frac{H_{k n}^{\prime \prime}}{\hbar} \frac{e^{i\left(\omega_{k n}+\omega\right) t}-1}{\omega_{k n}+\omega}, \\
H_{k n}^{\prime 0} & =\frac{i e \hbar}{m c} \int \bar{u}_{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \mathbf{A}_{0} \cdot \operatorname{grad} u_{n} d \tau, \\
H_{k n}^{* 0} & =\frac{i e \hbar}{m c} \int \bar{u}_{k} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \overline{\mathbf{A}}_{0} \cdot \operatorname{grad} u_{n} d \tau .
\end{aligned}
\]

Как уже отмечалось в § 29, вероятность нахождения системы в состоянии $k$ имеет заметную величину лишь в том случае, когда знаменатель одного из членов в (35.14) практически равен нулю.

Интерференция между двумя членами отсутствует: первый из них существен при $E_{k} \approx E_{n}+\hbar \omega$, а второй при $E_{k} \approx E_{n}-\hbar \omega$. Поэтому вероятность обнаружить систему в состоянии $k$, энергия которого больше энергии начального состояния приблизительно на $\hbar \omega$, будет пропорциональна $\left|H_{k n}^{\prime 0}\right|^{2}$, а вероятность обнаружить систему в состоянии $k^{\prime}$, энергия которого меньше начальной энергии на соответствующую величину, будет пропорциональна $\left|H_{k^{\prime} n}^{\prime \prime}\right|^{2}$.

Вероятность перехода.
В \& 29 было показано, что вероятность перехода, отнесенная к единице времени, не зависит от времени лишь в том случае, если конечные состояния распределены непрерывно илли образуют группу очень близко расположенных дискретных уровней. Это связано с характером представленной на фиг. 27 зависимости вероятности перехода $\left|a_{k}^{(1)}(t)\right|^{2}$ от энергии: пропорциональна $t$ не ордината, соответствующая той или иной абсциссе, а вся площадь под кривой.

Равным образом и в рассматриваемой сейчас задаче вероятность перехода, отнесенная к единице времени, будет постоянной, если падающее излучение монохроматично (частота $\omega$ строго определена) и конечные состояния образуют непрерывную (или дискретную, но с очень малыми интервалами) группу. В результате мы получим формулу (29.12), в которой матричный элемент $H_{k m}^{\prime}$ нужно заменить на $H_{k n}^{\prime 0}$ или $H_{k^{\prime} n}^{\prime \prime}$. Однако часто представляет интерес вычисление вероятности перехода между двумя дискретными состояниями. Если в этом случае падающее излучение строго монохроматично, то вероятность перехода, отнесенная к единице времени, с течением времени не будет оставаться постоянной и будет заметно зависеть от разности между $\omega$ и величиной
\[
\left|\omega_{k n}\right|=\frac{\left|E_{k}-E_{n}\right|}{\hbar} .
\]

В этом случае мы допустим, что излучение занимает целый интервал частот, причем между различными компонентами Фурье нет никаких фазовых соотношений. Тогда излучение можно характеризовать интенсивностью, отнесенной к единичному интервалу (постоянной в окрестности $\left|\omega_{k n}\right|^{1}$.

В этом случае вероятность обнаружить систему в конечном состоянии будет пропорциональна $\left|H_{k n}^{\prime 0}\right|^{2}$ или $\left|H_{k^{\prime} n}^{\prime \prime}\right|^{2}$, что в свою очередь пропорционально $\left|\mathbf{A}_{0}\right|^{2}$ и, следовательно, интенсивности. Если интенсивность, приходящаяся на малый интервал частот $\Delta \omega$, равна $I(\omega) \Delta \omega$, то в силу (35.12) можно положить
\[
\left|A_{0}\right|^{2}=\frac{2 \pi c}{\omega^{2}} I(\omega) \Delta \omega,
\]

где $\mathbf{A}_{0}$ – амплитуда векторного потенциала в интервале частот $\downarrow \omega$. Тогда вероятность перехода системы в состояние с более высокой энергией ( $\left.E_{k} \approx E_{n}+\hbar \omega\right)$ к моменту времени $t$ оказывается равной
\[
\begin{array}{l}
\left|a_{k}^{(1)}(t)\right|^{2}=\sum_{\omega} \frac{4\left|H_{k n}^{\prime 0}\right|^{2} \sin ^{2}\left[\left(\omega_{k n}-\omega\right) t / 2\right]}{\hbar^{2}\left(\omega_{k n}-\omega\right)^{2}}= \\
=\sum_{\omega} \frac{8 \pi e^{2}}{m^{2} c \omega^{2}} I(\omega) \Delta \omega\left|\int \bar{u}_{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau\right|^{2} \frac{\sin ^{2}\left[\left(\omega_{k n}-\omega\right) t / 2\right]}{\left(\omega_{k n}-\omega\right)^{2}},
\end{array}
\]

где символ $\operatorname{grad}_{A}$ означает компоненту градиента в направлении вектора поляризации $\mathbf{A}_{0}$. Поскольку между различными компонентами Фурье нет фазовых соотношений, вклады различных интервалов частот в вероятность перехода оказываются аддитивными.

Все интервалы частот $\Delta \omega$ в (35.16) можно выбрать бесконечно малыми и перейти от суммирования к интегрированию. Поскольку временно́й множитель имеет острый максимум при $\omega=\omega_{k n}$, другие зависящие от $\omega$ величины можно вынести за знак интеграла и интегрировать по $\omega$ в пределах от $-\infty$ до $+\infty$ [так, как это делалось при переходе от (29.10) к (29.11)]. Таким образом, отнесенная к единице времени вероятность перехода в состояние с более высокой энергией оказывается равной
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{t}\left|a_{k}^{(1)}(t)\right|^{2}=\frac{8 \pi e^{2}}{m^{2} \omega_{k n}^{2}} I\left(\omega_{k n}\right) \times \\
\times\left|\int \bar{u}_{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau\right|_{-\infty}^{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ^{2}\left[\left(\omega_{k n}-\omega\right) t / 2\right]}{t\left(\omega_{k n}-\omega\right)^{2}} d \omega= \\
= \frac{4 \pi^{2} e^{2}}{m^{2} c \omega_{n}^{2}} I\left(\omega_{k n}\right)\left|\int \bar{u}_{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau\right|^{2},
\end{array}
\]

где абсолютная величина вектора $\mathbf{k}$ теперь равна $\omega_{k n} /$.
Аналогичное выражение получается и для отнесенной к единице времени вероятности перехода в состояние с более низкой энергией $\left(E_{k^{\prime}} \approx E_{n}-\hbar \omega\right)$ :
\[
\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{m^{2} c \omega_{n k^{\prime}}^{2}} I\left(\omega_{n k^{\prime}}\right)\left|\int \bar{u}_{k^{\prime}} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau\right|^{2} .
\]

В этом случае абсолютная величина вектора $\mathbf{k}$ равна $\omega_{n k^{\prime}} / c$.
Истолкование в терминах поглощения и испускания.
Формулы (35.17) и (35.18) определяют (отнесенные к единице времени) вероятности переходов между стационарными состояниями под действием классического поля излучения. Эти выражения можно теперь истолковать в терминах поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения. Следует предположить, что такие кванты (элементарные порции энергии поля излучения) действи-

тельно существуют и что энергия поля и частицы в сумме сохраняется. Переходя под влиянием излучения с круговой частотой $\omega_{k n}$ в более высокое состояние, частица приобретает энергию $E_{k}-E_{n}$. Соответствующий квант энергии равен $\hbar \omega_{k n}=E_{k}-E_{n}$, так что каждому переходу частицы в более высокое состояние естественно сопоставить поглощение одного кванта.

Аналогично переход с уменьшением энергии связан с испусканием одного кванта, энергия которого соответствует частоте поля излучения. В соответствии с (35.18) вероятность испускания пропорциональна интенсивности наличного излучения. Поэтому такой процесс называется вынужденным испусканием.

Иногда оказывается удобным переписать выражение (35.18) в виде перехода, обратного фигурирующему в (35.17). Последняя формула описывает переход из начального (более низкого) состояния $n$ в конечное (верхнее) состояние $k$; выражение (35.18) будет соответствовать обратному переходу, если заменить там $n$ на $k$, а $k^{\prime}$ на $n$. Тогда вместо (35.18) мы получим
\[
\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{m^{2} c \omega_{k n}^{2}} I\left(\omega_{k n}\right)\left|\int \bar{u}_{n} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} u_{i} d \tau\right|^{2} .
\]

Покажем теперь, что интеграл, входящий в (35.19), с точностью до знака совпадает с комплексно сопряженным значением интеграла, входящего в (35.17). Именно, интегрируя по частям [или же пользуясь (22.10)], представим его в виде ${ }^{1)}$
\[
-\int u_{k} \operatorname{grad}_{A}\left[\bar{u}_{n} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\right] d \tau .
\]

Сюда входит только составляющая градиента в направлении вектора поляризации $\mathbf{A}_{\mathbf{0}}$. Поскольку волновой вектор $\mathbf{k}$ перпендикулярен $\mathbf{A}_{0}$, оператор $
abla_{A}$ фактически не действует на $e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}}$ и, следовательно, интеграп в (35.19) равен
\[
-\int u_{k} e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \operatorname{grad}_{A} \bar{u}_{n} d \tau .
\]

По абсолютной величине это выражение совпадает с интегралом в (35.17).

Поскольку правые части (35.17) и (35.19) совпадают, вероятности прямого и обратного переходов между любыми двумя состояниями под действием одного и того же поля излучения также оказываются одинаковыми.

Дипольные переходы²).
В большинстве практически интересных случаев длина волны излучения во много раз превышает линейные

размеры области, в которой волновая функция частицы заметно отлична от нуля. Это означает, что всюду, где функции $u_{n}$ и $u_{k}$ дают заметный вклад в интеграл, величина $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}$, входящая в экспоненциальное выражение в интеграле (35.17), мала по сравнению с единицей. Поэтому с хорошим приближением $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ можно заменить на единицу. Получающийся интеграл можно упростить, выразив его через матричный элемент импульса частицы:
\[
\int \bar{u}_{k} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau=\frac{i}{\hbar} \int \bar{u}_{k} p_{A} u_{n} d \tau=\frac{i}{\hbar}\left(p_{A}\right)_{k n} ;
\]

здесь $p_{A}$– компонента импульса частицы р в направлении поляризации падающего излучения. Как видно из матричной теории ( $\$ 23$ ), матрица импульса для невозмущенной частицы имеет вид $\mathbf{p}=$ $=m(d \mathbf{r} / d t)$. Таким образом, в силу (23.27) имеем
\[
\frac{1}{m}(\mathbf{p})_{\imath n}=\frac{d}{d t}(\mathbf{r})_{k n}=\frac{i}{\hbar}\left(E_{k}-E_{n}\right)(\mathbf{r})_{k n}=i \omega_{k n}(\mathbf{r})_{k n} .
\]

В этом приближении формула (35.17) принимает вид
\[
\int \bar{u}_{k} \operatorname{grad}_{A} u_{n} d \tau=-\frac{m}{\hbar} \omega_{k n}\left(r_{A}\right)_{k n}=-\frac{m}{\hbar} \omega_{k n} \int \bar{u}_{k} r_{A} u_{n} d \tau,
\]

где $r_{A}$ – компонента вектора $\mathbf{r}$ в направлении поляризации. Выражение (35.20), разумеется, можно вывести и без помощи матричных методов (см. задачу 3).

Переходы, вероятности которых можно вычислить, подставляя (35.20) в (35.17), называются дипольными. Такое название связано с тем, что в этом случае вероятность перехода зависит только от матричного элемента дипольного момента частицы ет $\mathbf{r}^{1)}$. В дипольном приближении вероятности перехода для поглощения и вынужденного испускания, отнесенные к единице времени, принимают вид
\[
\frac{4 \pi^{2} e^{2}}{\hbar^{2} c} I\left(\omega_{k n}\right)\left|\left(r_{A}\right)_{k n}\right|^{2} .
\]

Удобно обозначить через (r) $)_{k n}$ вектор, компоненты которого в декартовой системе координат равны $k n$-м матричным элементам $x, y$ и $z$, и положить
\[
\left.\left|(\mathbf{r})_{k n}\right|^{2}=(\mathbf{r})_{k n} \cdot \overline{(\mathbf{r}}\right)_{k n} .
\]

Это выражение представляет собой скалярное произведение (r) $k_{k n}$ на комплексно сопряженный вектор. Дело в том, что обычно существует неколько пар состояний $k$ и $n$, для которых векторы (r) $k_{n}$

образом, $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}=e^{i\left(k_{\boldsymbol{y}} y+k_{z} z\right)}$ не зависит от $x$. Поэтому подинтегральное выражение в целом будет нечетной функцией $x$, и интеграл (35.17) обращается в нуль. Переходы между этими состояниями называются строго запрешенными, так как соответствующие вероятности, определяемые формулой (35.17), равны нулю. Но переходы могут все-таки возникать за счет членов более высокого порядка малости относительно возмущения $H^{\prime}$, определяемого формулой (35.13); в таких вычислениях в $H^{\prime}$ необходимо включить и отброшенный ранее член $e^{2} \mathbf{A}^{2} / 2 m c^{2}$. Однако с помощью квантовой электродинамики можно показать, что в таких переходах более высокого порядка участвует более одного кванта, так что эти переходы уже не являются простыми процессами испускания или поглощения, в которых энергия кванта равна разности энергий невозмущенных состояний частицы.