переменная, характеризующая движение частицы, может быть представлена линейным оператором. Последний может быть как просто оператором умножения (например, $\mathbf{r}$, если речь идет 0 пространственной координате частицы), так и дифференциальным оператором (например, – iћ grad для импульса).

С каждым оператором связано линейное уравнение для нахождения собственных значений, аналогичное введенному в начале $\S 8$. Так, оператору $\Omega$ соответствует уравнение
\[
\Omega u_{\omega}=\omega u_{\omega},
\]

где $u_{\omega}$ – собственная функция $\Omega$, принадлежащая собственному значению $\omega$.

Второй постулат гласит, что в результате точного измерения динамической переменной, характеризуемой оператором $\Omega$, может получаться лишь какое-либо из собственных значений $\omega$. Отсюда следует, что собственные значения всех операторов, характеризующих физические переменные, являются вещественными числами.

Разложение по собственным функциям.
Предположим, что все собственные функции любой динамической переменной образуют полную систему в том смысле; что по ним можно разложить произвольную непрерывную функцию. Это предположение носит математический, а не физический характер; в дальнейшем мы обсудим его в связи с вопросом о собственных функциях операторов энергии и импульса.

Предположим теперь, что некоторая волновая функция $\psi$ разложена по собственным функциям $u_{\omega}$ оператора $\Omega$..Примем статистическую интерпретацию $\psi$, изложенную в начале § 7 . Согласно этой интерпретации, в пространстве имеется большое число тождественных неперекрывающихся областей, в каждой из которых находится частица, описываемая функцией $\psi$. Будем теперь для каждой из этих частиц измерять динамическую переменную, характеризуемую оператором $\Omega$. Третий физический постулат утверждает, что число измерений, при которых получается собственное значение $\omega$, пропорционально квадрату абсолютной величины коэффициента при $u_{\oplus}$ в разложении функции $\psi$. Этот постулат, введенный Борном (см. стр. 35), позволяет определять вероятности тех или иных значений любой динамической переменной ${ }^{1}$. Отсюда следует, что мы можем с достоверностью измерить некоторое собственное значение $\omega$ лишь в том случае, если волновая функция, описывающая частицу, совпадает с соответствующей собственной функцией $u_{\omega}$.

Вместо того чтобы выводить следствия из этих постулатов для произвольного оператора $\Omega$, мы рассмотрим в настоящем параграфе полную энергию частицы, а в § 11-ее импульс. Большая часть результатов, которые мы получим, справедлива и для операторов других физических величин.

Оператор полной энергии.
В силу соотношений неопределенности (3.3) полную энергию частицы невозможно точно измерить в течение ограниченного промежутка времени. Поэтому для того, чтобы полная энергия имела определенное значение, существенно, чтобы потенциальная энергия $V(\mathbf{r})$ не зависела от времени. Тогда собственные функции $u(\mathbf{r})$ оператора – $\left(\hbar^{2} / 2 m\right)
abla^{2}+V(\mathbf{r})$, эквивалентного, как показано в \& 8, оператору полной энергии $i \hbar \partial / \partial t$, не должны зависеть от времени. Собственные значения оператора энергии определяются уравнением (8.2)
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] u_{E}(\mathbf{r})=E u_{E}(\mathbf{r}),
\]

где собственная функция $u_{E}(\mathbf{r})$, принадлежащая собственному значению $E$, должна удовлетворять граничным условиям и условиям непрерывности, рассмотренным в § 8 .

Как указывалось в § 8, собственные функции оператора энергии можно разделить на два класса : функции первого класса локализованы в конечной области и принадлежат дискретным собственным значениям ; функции второго класса остаются конечными на больших расстояниях и спектр собственных значений непрерывен.

Нормировка в ящике.
Часто бывает желательным рассматривать оба класса функций единым образом; это можно сделать, помещая исследуемую частицу в ящик произвольно большого, но конечного объема. Простейшим примером является случай ящика с идеально твердыми стенками, на которых, как показано в § 8, волновая функция обращается в нуль. В этом случае, как показано в §8, все собственные значения дискретны. Если ящики велики по сравнению с характерными для данной задачи размерами, то собственные значения, которые в отсутствие ящика были дискретными, практически не изменяются, так как до введения стенок волновые функции в этих местах были чрезвычайно малы. Что же касается собственных значений, которые при отсутствии ящика были распределены непрерывно, то они очень близко расположены друг к другу; для свободной частицы это будет явно показано в § 11 .

Удобнее предположить, что на стенках ящика волновые функции не обращаются в нуль, а подчиняются периодическим граничным условиям, так как при этом собственные функции оператора импульса имеют более простой вид (см. § 11). Пусть

наш ящик („область периодичности”) имеет форму куба с длиной ребра $L$ и центром в начале координат (куб периодичности); потребуем, чтобы на соответствующих точках противоположных граней куба волновые функции (равно как и их производные по нормали к стенке) принимали одинаковые значения. Без этих граничных условий собственные значения были бы непрерывны, теперь же они становятся дискретными, так как фазы собственных функций на больших расстояниях уже не произвольны [см. дискуссию в связи с соотношениями (8.6)]. Как и в случае ящика с твердыми стенками, влияние, которое оказывают стенки, пренебрежимо мало; их роль ограничивается тем, что непрерывные собственные значения становятся дискретными, и волновые функции можно нормировать в области конечного объема; мы попрежнему будем называть эти функции „непрерывными”, даже если они нормированы в объеме ящика.

Свойство ортонормированности собственных функций оператора энергии.
Интеграл $\int\left|u_{E}(\mathbf{r})\right|^{2} d \tau$, всегда сходящийся для собственных функций дискретного спектра, сходится для всех собственных функций, нормированных в ящике конечного объема $L^{3}$. Коэффициент при $l_{E}$ можно в этом случае выбрать таким образом, чтобы этот интеграл был равен единице; тогда функция $u_{E}(\mathbf{r})$ будет нормирована.

Покажем теперь, что собственные функции, принадлежащие двум различным собственным значениям, $E$ и $E^{\prime}$, являются ортогональными, т. е. интеграл от произведения одной из функций на комплексно-сопряженное значение другой, взятый по общей области определения обеих функций, равен нулю. Из уравнения (10.2) следует, что $\bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r})$ удовлетворяет уравнению
\[
\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r})=E^{\prime} \bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r}),
\]

где, в соответствии с принятой физической интерпретацией, величина $E^{\prime}$ считается вещественной ; в дальнейшем это предположение будет оправдано. Умножим уравнение (10.2) на $\bar{u}_{E^{\prime}}$, а (10.3) на $u_{E}$, проинтегрируем по объему $L^{3}$ и составим разность полученных таким путем выражений. При этом члены, содержащие $V$, сокращаются, и мы получаем
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \int\left(\bar{u}_{E^{\prime}}
abla^{2} u_{E}-u_{E}
abla^{2} \bar{u}_{E^{\prime}}\right) d \tau=\left(E-E^{\prime}\right) \int \bar{u}_{E^{\prime}} u_{E} d \tau .
\]

Интеграл в левой части (10.4) с помощью теоремы Грина можно преобразовать в интеграл по поверхности куба $A$ :
\[
\begin{array}{l}
\int\left(\bar{u}_{E^{\prime}}
abla^{2} u_{E}-u_{E}
abla^{2} \bar{u}_{E^{\prime}}\right) d \tau=\int \operatorname{div}\left(\bar{u}_{E^{\prime}} \operatorname{grad} u_{E}-u_{E} \operatorname{grad} \bar{u}_{E^{\prime}}\right) d \tau= \\
=\int_{A}\left(\bar{u}_{E^{\prime}} \operatorname{grad} u_{E}-u_{E} \operatorname{grad} \bar{u}_{E^{\prime}}\right)_{n} d A,(10.5) \\
\end{array}
\]

где индекс $n$ означает проекцию вектора на внешнюю нормаль к элементу поверхности $d A$. Поверхностный интеграл в (10.5) равен нулю, так как в силу условия периодичности волновая функция и ее производная в направлении нормали на соответствующих точках противоположных граней куба имеют одинаковые значения, а производные в направлении внешней нормали на противоположных гранях куба имеют противоположные знаки. Тогда из равенства (10.4) следует, что при $E
eq E^{\prime}$ функции $u_{E}$ и $u_{E^{\prime}}$ ортогональны ${ }^{1}$.

Собственное значение $E$ оператора энергии называют вырожденным, если ему соответствуют две или более линейно независимые собственные функции $u_{1}, u_{2}, \ldots$ Составляя линейные комбинации вырожденных собственных функций, можно многими различными способами получить взаимно ортогональные функции. Например, функцию $u_{a}=a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}$ можно сделать ортогональной к $u_{1}$, выбирая коэффициенты так, чтобы они удовлетворяли соотношению
\[
\frac{a_{1}}{a_{2}}=-\frac{\int \bar{u}_{1} u_{2} d \tau}{\int\left|u_{1}\right|^{2} d \tau} ;
\]

это не нарушает условия нормировки $u_{a}$, и $u_{a}$ по-прежнему является собственной функцией оператора энергии, принадлежащей собственному значению $E$. Выбор ортогональных линейных комбинаций, очевидно, не однозначен. Описанным способом можно сделать взаимно ортогональными все собственные функции оператора энергии, даже если некоторые из собственных значений вырождены.

Совокупность подобных собственных функций, каждая из которых нормирована и ортогональна ко всем остальным, называется ортонормированной системой функций. Ортонормированная система невырожденных собственных функций оператора энергии характеризуется соотношением
\[
\int \bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r}) u_{E}(\mathbf{r}) d \tau=\delta_{E E^{\prime}},
\]

где $\delta_{E K^{\prime}}$ – символ Кронекера, равный единице, если $E=E^{\prime}$, и равный нулю, если $E
eq E^{\prime}$. При наличии вырождения равенство (10.6) нужно заменить на
\[
\int \bar{u}_{E^{\prime} s^{\prime}}(\mathbf{r}) u_{E_{s}}(\mathbf{r}) d \tau=\delta_{E E^{\prime}} \delta_{s s^{\prime}},
\]

Допуская, что можно изменить порядок суммирования и интегрирования’), получим с помощью (10.6) или (10.7)
\[
\int \bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \tau=\sum_{E} A_{E} \int \bar{u}_{E^{\prime}}(\mathbf{r}) u_{E}(\mathbf{r}) d \tau=\sum_{E} A_{E} \delta_{E E^{\prime}}=A_{E^{\prime}}(10.9)
\]

Условие полноты.
Подставляя выражение (10.9) для $A_{E}$. обратно в формулу (10.8), получаем
\[
\psi(\mathbf{r})=\sum_{E}\left[\int \bar{u}_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}\right] u_{E}(\mathbf{r}),
\]

или, изменяя порядок суммирования и интегрирования,
\[
\psi(\mathbf{r})=\int \varphi\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left[\sum_{E} \bar{u}_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{E}(\mathbf{r})\right] d \tau^{\prime} .
\]

Поскольку $\psi(\mathbf{r})$ – произвольная непрерывная функция, из равенства (10.10) следует, что заключенная в квадратные скобки часть подинтегрального выражения равна нулю при всех значениях $\mathbf{r}^{\prime}$, кроме $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}$. Действительно, в противном случае при изменении $\psi$ в точках $\mathbf{r}^{\prime}
eq \mathbf{r}$ в силу (10.10) изменится и значение $\psi$ в точке $\mathbf{r}$, что противоречит допущению о произвольности $\psi$. Если же область пространства, по которой производится интегрирование, содержит точку $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}$, то интеграл от выражения в скобках должен быть равен единице. Таким образом,
\[
\begin{aligned}
\sum_{E} \bar{u}_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{E}(\mathbf{r})=0, \quad \mathbf{r}^{\prime} &
eq \mathbf{r}, \\
\int \sum_{E} \bar{u}_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) u_{E}(\mathbf{r}) d \tau^{\prime} & =1,
\end{aligned}
\]

если область, по которой производится интегрирование, содержит точку $\mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}$.

Равенства (10.11) носят название условия полноты для ортонормированных функций $u_{E}(\mathbf{r})$. Они вытекают непосредственно из полноты системы, выражаемой соотношением (10.8), и справедливы независимо от того, являются ли данные функции собственными функциями оператора энергии или нет.

Вероятность и среднее значение.
Согласно второму и третьему физическим постулатам, сформулированным в начале настоящего параграфа, при точном измерении полной энергии могут получаться лишь собственные значения оператора энергии; если

частица описывается волновой функцией $\psi(\mathbf{r})$, то вероятность того, что при измерении получится некоторое значение $E$, пропорциональна $\left|A_{E}\right|^{2}$. Нетрудно видеть, что множитель пропорциональности равен единице, так как если вероятность некотоporo значения энергии
\[
P(E)=\left|A_{E}\right|^{2},
\]

то при суммировании по всем $P(E)$ получается единица:
\[
\begin{aligned}
\sum_{E} P(E) & =\sum_{E} \int \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \tau \int u_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}= \\
& =\iint \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \psi(\mathbf{r})\left[\sum_{E} \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) u_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau d \tau^{\prime}=\int|\psi(\mathbf{r})|^{2} d \tau=1 .\right.
\end{aligned}
\]

Мы воспользовались здесь соотношением (10.11) и условием нормировки функции $\psi$.

С помощью выражения для вероятности можно вычислить и среднее значение энергии:
\[
\langle E\rangle=\sum_{E} E P(E)=\sum_{E} \int E \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \tau \int u_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\]

В первый интеграл подставим вместо $E \vec{u}_{E}$ соответствующее выражение из уравнения (10.3) и дважды проинтегрируем по частям:
\[
\begin{aligned}
\int E \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d \tau=\int \psi(\mathbf{r})\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) d \tau= \\
\quad=\int \bar{u}_{E}(\mathbf{r})\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \psi(\mathbf{r}) d \tau .
\end{aligned}
\]

Два поверхностных интеграла, получающиеся при интегрировании по частям, обращаются в нуль в силу периодических граничных условий, которым подчиняются функции $u_{E}$ и $\psi$. Таким образом, с помощью (10.11) и (10.13) получаем
\[
\begin{array}{r}
\langle E\rangle=\sum_{E} \int \bar{u}_{E}(\mathbf{r})\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \psi(\mathbf{r}) d \tau \int u_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right) d \tau^{\prime}= \\
=\iint \bar{\psi}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\left\{\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \psi(\mathbf{r})\right\}\left[\sum_{E} \bar{u}_{E}(\mathbf{r}) u_{E}\left(\mathbf{r}^{\prime}\right)\right] d \tau d \tau^{\prime}= \\
=\int \bar{\psi}(\mathbf{r})\left[-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2}+V(\mathbf{r})\right] \psi(\mathbf{r}) d \tau .(10.1
\end{array}
\]

Результат, содержащийся в (10.14), подтверждает сделанное в § 7 предположение о том, что для вычисления среднего значения некоторой величины нужно поместить соответствующий оператор между $\bar{\psi}(\mathbf{r})$ и $\psi(\mathbf{r})$ так, чтобы он действовал только на $\psi(\mathbf{r})$, а затем проинтегрировать по всем $\mathbf{r}$.